Kolmio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 35 muokkausta .

Kolmio

kylkiluut	3
Schläfli-symboli	{3}
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Kolmio ( euklidisessa avaruudessa ) on geometrinen kuvio , joka muodostuu kolmesta segmentistä , jotka yhdistävät kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla . Näitä kolmea pistettä kutsutaan kolmion huipuiksi ja segmenttejä kutsutaan kolmion sivuiksi . Sivujen rajoittamaa tason osaa kutsutaan kolmion sisäpuolelle : usein kolmiota tarkastellaan yhdessä sen sisäosan kanssa (esimerkiksi pinta-alan käsitteen määrittämiseksi) [1] .

Kolmion sivut muodostavat kolme kulmaa kolmion huipuissa , joten kolmio voidaan määritellä myös monikulmioksi , jolla on täsmälleen kolme kulmaa [2] ts. osana tasoa, jota rajoittaa kolme segmenttiä, jotka yhdistävät kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Kolmio on yksi tärkeimmistä tieteessä ja tekniikassa laajalti käytetyistä geometrisista hahmoista, joten sen ominaisuuksia on tutkittu muinaisista ajoista lähtien.

Kolmion käsite sallii erilaisia yleistyksiä. Voit määrittää tämän käsitteen ei-euklidisessa geometriassa (esimerkiksi pallolla ): sellaisilla pinnoilla kolmio määritellään kolmeksi pisteeksi, jotka on liitetty geodetiikkaan . -ulotteisessa geometriassa kolmion analogi on -: s ulottuvuus simpleksi . $n$ $n$

Joskus ajatellaan rappeutunutta kolmiota, jonka kolme kärkeä ovat samalla suoralla. Ellei toisin mainita, tässä artikkelissa olevan kolmion oletetaan olevan rappeutumaton.

Kolmion peruselementit

Vertices, sivut, kulmat

Perinteisesti kolmion kärjet on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla: , ja niitä vastakkaiset sivut - samoilla pienillä kirjaimilla (katso kuva). Kolmio, jonka kärjet , ja on merkitty nimellä . Sivut voidaan myös merkitä niiden rajoituspisteiden kirjaimilla: , , . $A, B, C$ $A$ $B$ $C$ $\Delta ABC$ $AB=c$ $BC=a$ $CA=b$

Kolmiolla on seuraavat kulmat: $\Delta ABC$

kulma - sivujen ja sivua vastapäätä muodostama kulma ; $\kulma A=\kulma BAC$ $AB$ $AC$ $eKr$
kulma - sivujen ja sivua vastapäätä muodostama kulma ; $\kulma B=\kulma ABC$ $AB$ $eKr$ $AC$
kulma - sivujen ja sivua vastapäätä muodostama kulma . $\angle C=\angle ACB$ $eKr$ $AC$ $AB$

Kulmien arvot vastaavissa pisteissä on perinteisesti merkitty kreikkalaisilla kirjaimilla ( , , ). $\alpha$ $\beeta$ $\gamma$

Tasaisen kolmion ulkokulma tietyssä kärjessä on kulma, joka on kolmion sisäkulman vieressä tässä kärjessä (katso kuva). Jos kolmion tietyssä kärjessä oleva sisäkulma muodostuu kahdesta annetusta kärjestä lähtevästä sivusta, niin kolmion ulkokulma muodostuu siten, että toinen sivu lähtee annetusta kärjestä ja toisen sivun jatko lähtee samasta kärjestä kärkipiste. Ulkokulma voi ottaa arvot välillä - . $DCA$ $ABC$ $C$ $ACB$ $0$ $180^{\circ }$

Kolmion kehä on sen kolmen sivun pituuksien summa, ja puolta tästä arvosta kutsutaan puolikehäksi .

Kolmioiden luokitus

Kulmien koon mukaan

Koska euklidisessa geometriassa kolmion kulmien summa on , niin vähintään kahden kolmion kulman on oltava terävä (pienempi kuin ). On olemassa seuraavan tyyppisiä kolmioita [2] . $180^{\circ }$ $90^{\circ }$

Jos kaikki kolmion kulmat ovat teräviä, niin kolmiota kutsutaan teräväksi .
Jos yksi kolmion kulmista on suora (yhtä ), niin kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi . Suoran kulman muodostavia kahta sivua kutsutaan jaloiksi ja oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta hypotenuusaksi . $90^{\circ }$
Jos yksi kolmion kulmista on tylppä (suurempi kuin ), kolmiota kutsutaan tylpäksi . Loput kaksi kulmaa ovat selvästi teräviä (ei voi olla kolmioita, joissa on kaksi tylppää tai suorakulmaista kulmaa). $90^{\circ }$

Samansuuruisten sivujen lukumäärän mukaan

Kolmiota kutsutaan skaalaiseksi , jos kaikki kolme sivua eivät ole yhtä suuret.
Tasakylkinen kolmio on sellainen, jonka kaksi sivua ovat yhtä suuret. Näitä puolia kutsutaan sivuksi , kolmatta sivua kutsutaan pohjaksi . Tasakylkisessä kolmiossa pohjan kulmat ovat yhtä suuret.
Kutsutaan tasasivuista tai suorakulmaista kolmiota, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret. Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat yhtä suuret kuin 60 °, ja piirrettyjen ja piirrettyjen ympyröiden keskipisteet ovat samat . Tasakylkinen kolmio on tasakylkisen kolmion erikoistapaus.

Mediaanit, korkeudet, puolittajat

Tietystä kärjestä piirretyn kolmion mediaani on jana, joka yhdistää tämän kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen (mediaanin kantaan). Kolmion kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessä pisteessä. Tätä leikkauspistettä kutsutaan kolmion painopisteeksi tai painopisteeksi. Sukunimi johtuu siitä, että homogeenisesta materiaalista valmistetulla kolmiolla on painopiste mediaanien leikkauspisteessä. Sentroidi jakaa jokaisen mediaanin 1:2 mediaanin pohjasta. Kolmiota, jonka kärjet ovat mediaanien keskipisteissä, kutsutaan mediaanikolmioksi . Tietyn kolmion mediaanien kantat muodostavatniin sanotun täydentävän kolmion . Sivulle lasketunmediaanin pituuslöytyy kaavoista: $m_{c},$ $c,$

m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};

samoin muille mediaaneille.

Korkeus erityyppisissä kolmioissa
Korkeudet leikkaavat ortosenttiä

Tietystä kärjestä vedetyn kolmion korkeutta kutsutaantästä kärjestä vastakkaiselle puolelle pudotettua kohtisuoraa tai sen jatkoa. Kolmion kolme korkeutta leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan kolmion ortosenteriksi . Kolmiota , jonka kärjet ovat korkeuksien kannassa, kutsutaan ortokolmioksi .

Sivulle lasketun korkeuden pituus löytyy kaavoista: $h_{c}$ $c$

h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\,{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))

; samanlainen muille korkeuksille.

Korkeuksien pituudet alennettu sivuille. voidaan löytää myös käyttämällä kaavoja: [3] :s.64

h_{c}={\frac {ab}{2R)),\quad h_{a}={\frac {bc}{2R)),\quad h_{b}={\frac {ca} {2R}}

Tietystä kärjestä piirretyn kolmion puolittaja ( bisector ) on jana, joka yhdistää tämän kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen ja jakaa kulman annetussa kärjessä kahtia. Kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä, ja tämä piste on sama kuin piirretyn ympyrän keskipiste ( incenter ).

Jos kolmio on mittakaavainen (ei tasakylkinen), niin mistä tahansa sen kärjestä piirretty puolittaja on mediaanin ja samasta kärjestä vedetyn korkeuden välissä. Toinen puolittajan tärkeä ominaisuus: se jakaa vastakkaisen puolen osiin, jotka ovat verrannollisia sen viereisiin sivuihin [4] .

Sivulle lasketun puolittajan pituus voidaan löytää jollakin kaavoista: $l_{c}$ $c$

l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, missä on puolikehä .

s

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {c\,\sin \alpha \cdot \sin \ beta }{\sin(\alpha +\beta )\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

l_{c}={\frac {h_{c)){\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

; tässä on korkeus.

h_{c}

Tasakylkisen kolmion korkeus, mediaani ja puolittaja, laskettuna kantaan, ovat samat. Päinvastoin on myös totta: jos yhdestä kärjestä vedetty puolittaja, mediaani ja korkeus ovat samat, niin kolmio on tasakylkinen.

Piirretyt ja kaiverretut ympyrät

Rajoitettu ympyrä (katso kuvaa oikealla) on ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kolmen kärjen kautta. Piirretty ympyrä on aina ainutlaatuinen, sen keskipiste osuukolmion sivujen kohtisuorien leikkauspisteeseen, joka on piirretty sivujen keskipisteiden läpi. Tylsässä kolmiossa tämä keskipiste on kolmion ulkopuolella [4] .

Piirretty ympyrä (katso kuvaa oikealla) on ympyrä , joka tangentti kolmion kaikkia kolmea sivua. Hän on ainoa. Piirretyn ympyrän keskustaa kutsutaan incenteriksi , se on sama kuin kolmion puolittajien leikkauspiste.

Seuraavien kaavojen avulla voit laskea rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden säteet . $R$ $r$

r={S \over p},

missä on kolmion pinta-ala ja sen puolikehä .

S

s

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))))

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))))))

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}

missä ovat vastaavien excirclejen säteet ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$

Kaksi muuta hyödyllistä suhdetta:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[5]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

On myös Carnot'n kaava [6] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})

jossa , , ovat etäisyydet keskustasta rajatun ympyrän Vastaavasti sivuille , , kolmion, , , ovat etäisyydet orthocenter Vastaavasti, vertices , , kolmion. ${\näyttötyyli k_{a))$ ${\näyttötyyli k_{b))$ ${\displaystyle k_{c))$ $a$ $b$ $c$ $d_{A}$ $d_{B}$ $d_{C}$ $A$ $B$ $C$

Etäisyys esimerkiksi rajatun ympyrän keskipisteestä kolmion sivuun on: $a$

k_{a}=a/(2\operaattorin nimi {tg} A)

;

etäisyys esimerkiksi ortosenteristä kolmion kärkeen on : $A$

d_{A}=a/\operaattorin nimi {tg} A

Tasa-arvoisten kolmioiden merkit

Euklidisen tason kolmio voidaan määrittää yksiselitteisesti ( kongruenssiin asti ) seuraavilla peruselementtitripleteillä: [7]

$a$ , , (tasa-arvo molemmilla puolilla ja niiden välinen kulma); $b$ $\gamma$
$a$ , , (sivujen ja kahden vierekkäisen kulman yhtäläisyys); $\beeta$ $\gamma$
$a$ , , (tasa-arvo kolmella puolella). $b$ $c$

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit:

jalkaa ja hypotenuusaa pitkin;
kahdella jalalla;
jalkaa pitkin ja terävä kulma;
hypotenuusa ja terävä kulma.

Lisäominaisuus: kolmiot ovat samanarvoisia, jos niillä on kaksi sivua ja kulma, joka on vastakkainen näistä suuremmista sivuista [8] .

Pallogeometriassa ja Lobatševskin geometriassa on merkki, että kolmiot ovat yhtä suuret kolmessa kulmassa.

Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta

Kolmioelementtien perusominaisuudet

Corner Properties

Missä tahansa kolmiossa suurempi kulma on suurempaa sivua vastapäätä ja päinvastoin. Samat kulmat ovat yhtä suuria sivuja vasten [8] .

Kolmion jokainen ulkokulma on yhtä suuri kuin 180°:n ja vastaavan sisäisen kulman välinen ero. Ulkokulmalle pätee myös kolmion ulkokulmalause : ulkokulma on yhtä suuri kuin kahden muun sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä [8] .

Kolmion epäyhtälö

Ei-degeneroituneessa kolmiossa sen kahden sivun pituuksien summa on suurempi kuin kolmannen sivun pituus, degeneroituneessa se on yhtä suuri. Toisin sanoen ei-degeneroituneen kolmion sivujen pituudet liittyvät seuraaviin epäyhtälöihin:

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

Lisäominaisuus: kolmion kumpikin sivu on suurempi kuin kahden muun sivun erotus [8] .

Kolmion summalause

Kolmion sisäkulmien summa on aina 180°:

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

Lobatševskin geometriassa kolmion kulmien summa on aina pienempi kuin 180°, kun taas pallolla se on aina suurempi.

Sinilause

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

missä on kolmion ympärille piirretyn ympyrän säde. $R$

Kosinilause

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Se on yleistys Pythagoraan lauseesta .

huomautus . kosinilausetta kutsutaan myös kahdeksi seuraavaksi kaavaksi, jotka ovat helposti pääteltävissä pääkosiniluoreemasta (ks. s. 51, f. (1.11-2)) [9] .

a^{2}=(b+c)^{2}-4bc\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2)),\quad a^{2}=(bc)^ {2}+4bc\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))

Projektiolause

Lähde: [10] .

c=a\cos \beta +b\cos \alpha ,\quad a=b\cos \gamma +c\cos \beta ,\quad b=c\cos \alpha +a\cos \gamma

Tangenttilause

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\operaattorinnimi {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operaattorinimi {tg } [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}});{\frac {bc}{b+c}}={\frac {\operaattorinimi {tg} [{\frac { 1}{2}}(\beta -\gamma )]}{\operaattorinimi {tg} [{\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )]}});{\frac {ac }{ a+c))={\frac {\operaattorinnimi {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\gamma )]}{\operaattorinimi {tg} [{\frac {1} {2 }}(\alpha +\gamma )]}}.

Toinen nimi: Regiomontanus formula .

Kotangenttilause

{\frac {pa}{\operaattorinimi {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {pb}{\operaattorinimi {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc }{\operaattorinimi {ctg} (\gamma /2)}}=r

Mollweiden kaavat

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}},\ quad {\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\frac {AB}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}

Kolmioiden ratkaiseminen

Kolmion tuntemattomien sivujen, kulmien ja muiden ominaisuuksien laskemista tunnetuista on historiallisesti kutsuttu " kolmion ratkaisemiseksi ". Tämä käyttää yllä olevia yleisiä trigonometrisia lauseita sekä kolmioiden yhtäläisyyden ja samankaltaisuuden merkkejä .

Kolmion pinta-ala

Seuraavaksi käytämme merkintää

$\ h_{a},h_{b},h_{c}$ - sivuille vedetyt korkeudet , ${\näyttötyyli \ a,b,c}$
$\m$ - mediaani kulman kärjestä sivuilla ${\näyttötyyli \a,b,}$
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - puolikehä,
$\ p_{m}={\frac {a+b+2m}{2))$ ,
$\r$ on piirretyn ympyrän säde ,
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$ ovat sivujen ulkopuolisen tangentin säteet , ${\näyttötyyli \ a,b,c}$
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$
$\R$ on rajatun ympyrän säde .

Kolmion pinta-ala liittyy sen pääelementteihin seuraavilla suhteilla.

$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
$S_{\kolmio ABC}={\frac {abc}{4R))$
$S_{\kolmio ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)}}={1 \yli 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb )(a+bc)}}$ - Heronin kaava
${\displaystyle S_{\triangle ABC}=(pb)r_{b))$ [yksitoista]
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p_{m}(p_{m}-a)(p_{m}-b)(p_{m}-2m)))$

${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c))))$ [12]
$S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
$S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(\operaattorinimi {ctg} \alpha +\operaattorinimi {ctg} \beta )))$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {CA}}\wedge {\overrightarrow {CB}})={\frac {1}{2}}( x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{C})-{\frac {1}{2}}(x_{B}-x_{C})(y_{A}-y_ {C})$ on kolmion suuntautunut alue.
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b ))}+{\frac {1}{h_{c}}}\right)\left({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}} -{\frac {1}{h_{a}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\ frac {1}{h_{b}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1 }{h_{c}}}\oikea)}}}}}$ - katso Heronin kaavan analogit
$S_{\triangle ABC}=r^{2}\operaattorinnimi {ctg} ({\frac {\alpha }{2)))\operaattorin nimi {ctg} ({\frac {\beta }{2)) )\operaattorinimi {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))$

Erikoistapaukset

$S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2))$ - suorakulmaiselle kolmiolle
$S={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ - tasasivuiselle kolmiolle

Muut kaavat

On olemassa muita kaavoja, kuten [13]

S={\frac {\operaattorin nimi {tg} \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

nurkkaan . $\alpha \neq 90^{\circ }$

Vuonna 1885 Baker [14] ehdotti luetteloa yli sadasta kaavasta kolmion pinta-alalle. Se sisältää erityisesti:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c))))

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}

S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})))

S={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}

Kolmion alueen epäyhtälöt

Seuraavat epätasa-arvot pätevät alueelle:

${\sqrt {27}}r^{2}\leqslant S\leqslant {\frac {\sqrt {27}}{4}}R^{2}$ , ja molemmat tasa-arvot saavutetaan.
$S\leqslant {\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2})$ , jossa tasakylkiselle suorakulmaiselle kolmiolle saavutetaan yhtäläisyys.
Kolmion pinta-ala, jonka kehä on pienempi tai yhtä suuri kuin . Tasa-arvo saavutetaan, jos ja vain, jos kolmio on tasasivuinen ( säännöllinen kolmio ) [15] [16] :657 . $s$ $p^{2}/(12{\sqrt {3)))$
Muut alueen rajat on annettu kaavoilla [17] :s.290 $S$

4{\sqrt {3}}S\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

ja ,

4{\sqrt {3}}S\leqslant {\frac {9abc}{a+b+c}}

missä molemmissa tapauksissa tasa-arvo saavutetaan silloin ja vain, jos kolmio on tasasivuinen (säännöllinen).

Opiskeluhistoria

Koulussa tutkitut kolmion ominaisuudet ovat harvinaisia poikkeuksia lukuun ottamatta olleet tiedossa varhaisesta antiikista lähtien. Trigonometrisen tiedon alkuja löytyy muinaisen Egyptin , Babylonin ja muinaisen Kiinan matemaattisista käsikirjoituksista . Tämän ajanjakson tärkein saavutus oli suhde, joka myöhemmin sai nimen Pythagoraan lause ; Van der Waerden uskoo, että babylonialaiset löysivät sen vuosina 2000-1786 eaa. e. [kahdeksantoista]

Muinaisessa Kreikassa ilmestyi yleinen ja melko täydellinen teoria kolmioiden (sekä litteiden että pallomaisten ) geometriasta [19] . Erityisesti toisessa kirjassa " Alku " Eukleideen lause 12 on tylppäkolmioiden kosinilauseen verbaalinen analogi [ 20 ] . Sitä seuraava lause 13 on muunnos terävien kolmioiden kosinilauseesta . Kolmioiden elementtien ominaisuuksia (kulmat, sivut, puolittajat jne.) Eukleideen jälkeen käsittelivät Archimedes , Menelaus , Claudius Ptolemaios , Aleksandrian Pappos [21] .

IV vuosisadalla, muinaisen tieteen romahtamisen jälkeen, matematiikan kehityskeskus muutti Intiaan. Intialaisten matemaatikoiden ( siddhantas ) kirjoitukset osoittavat, että niiden kirjoittajat tunsivat hyvin kreikkalaisten tähtitieteilijöiden ja geometrien teokset [22] . Intiaanit eivät olleet juurikaan kiinnostuneita puhtaasta geometriasta, mutta heidän panoksensa soveltavaan tähtitiedeen ja trigonometrian laskennallisiin näkökohtiin on erittäin merkittävä.

800-luvulla Lähi- ja Lähi-idän maiden tutkijat tutustuivat antiikin kreikkalaisten ja intialaisten matemaatikoiden ja tähtitieteilijöiden töihin. Heidän tähtitieteellisiä tutkielmiaan, jotka olivat analogisia intialaisten siddhantojen kanssa, kutsuttiin " zijiksi "; tyypillinen zij oli kokoelma tähtitieteellisiä ja trigonometrisiä taulukoita, joissa oli opas niiden käyttöön ja (ei aina) tiivistelmä yleisestä teoriasta [23] . 8.-13. vuosisatojen zijsien vertailu osoittaa trigonometrisen tiedon nopean kehityksen. Varhaisimmat säilyneet teokset kuuluvat al-Khwarizmille ja al-Marvazille (800-luku).

Thabit ibn Qurra (9. vuosisata) ja al-Battani (10. vuosisata) löysivät ensimmäisinä perussinilauseen suorakulmaisen pallomaisen kolmion erikoistapaukselle . Abu-l- Vafa , al-Khujandi ja ibn Irak löysivät todisteen mielivaltaiselle pallokolmiolle (eri tavoin ja luultavasti toisistaan riippumatta) 10- luvun lopulla [24] . Toisessa tutkielmassa ibn Irak muotoili ja osoitti litteän kolmion sinilauseen [ 25] .

Trigonometrian (sekä tasaisen että pallomaisen) perusesityksen antoi persialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Nasir ad-Din at-Tusi vuonna 1260 [26] . Hänen "Treatise on the täydellinen neliosainen" sisältää käytännön menetelmiä tyypillisten ongelmien ratkaisemiseksi, mukaan lukien vaikeimmat, at-Tusi itse [27] . Siten 1200-luvun loppuun mennessä löydettiin kolmioiden käytännön työssä tarvittavat peruslauseet.

Euroopassa trigonometrisen teorian kehittämisestä tuli äärimmäisen tärkeä nykyaikana, pääasiassa tykistössä , optiikassa ja pitkän matkan merimatkoilla. Vuonna 1551 Kopernikuksen oppilaan Rheticuksen 15-numeroiset trigonometriset taulukot ilmestyivät askeleella 10" [28] . Monimutkaisten trigonometristen laskelmien tarve johti logaritmien löytämiseen 1600-luvun alussa , ja John Napierin ensimmäiset logaritmiset taulukot sisälsivät vain trigonometristen funktioiden logaritmit.

Kolmion tutkimus jatkui 1600-luvulla: Desarguesin lause (1636) todistettiin, Torricellin piste löydettiin (1640) ja sen ominaisuuksia tutkittiin. Giovanni Ceva todisti poikittaislauseensa (1678). Leibniz osoitti, kuinka lasketaan etäisyys kolmion painopisteestä sen muihin merkittäviin pisteisiin [21] . 1700-luvulla löydettiin Euler-viiva ja kuuden pisteen ympyrä (1765).

1800-luvun alussa löydettiin Gergonnen piste . Vuonna 1828 Feuerbachin lause todistettiin . 1800-luvun loppuun mennessä kuului Emile Lemoinen , Henri Brocardin ja Joseph Neubergin teokset . Yhdeksän pisteen ympyrää tutkivat Poncelet , Brianchon ja Steiner.Löydettiin aiemmin tuntemattomia geometrisia suhteita ja kuvia - esimerkiksi Brocardin ympyrä , Steiner ja Tarry -pisteet . Vuonna 1860 Schlömilch todisti lauseen: kolme suoraa, jotka yhdistävät kolmion sivujen keskipisteet sen vastaavien korkeuksien keskipisteisiin, leikkaavat yhdessä pisteessä. Vuonna 1937 Neuvostoliiton matemaatikko S. I. Zetel osoitti, että tämä lause ei päde vain korkeuksille, vaan myös kaikille muille cevianeille . Edellä lueteltujen geometrioiden tutkimukset muuttivat kolmion geometrian itsenäiseksi matematiikan haaraksi [29] .

Frank Morley antoi merkittävän panoksen kolmion geometriaan 1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa . Hän osoitti, että kolmioon kirjoitetun kardioidin keskipisteiden paikka koostuu yhdeksästä suorasta, jotka kolminkertaisina ovat yhdensuuntaisia tasasivuisen kolmion kolmen sivun kanssa. Lisäksi 27 pistettä, joissa nämä yhdeksän suoraa leikkaavat, ovat kahden kolmion kolmion kolmion leikkauspisteitä, jotka kuuluvat kolmion samalle puolelle. Tunnetuin on tämän lauseen erikoistapaus: saman sivun vieressä olevan kolmion kulmien sisäiset kolmisektorit leikkaavat pareittain tasasivuisen kolmion kolmessa kärjessä. Näistä teoksista julkaisi yleistyksen Henri Lebesgue (1940), jossa hän esitteli kolmion sektorit ja tutki niiden sijaintia yleisessä muodossa [30] . $n$

1830 - luvulta lähtien trilineaariset pistekoordinaatit tulivat laajalti käyttöön kolmiogeometriassa . Muutosteoriaa kehitettiin aktiivisesti - projektiivinen , isogonaalinen , isotominen ja muut. Ajatus kolmioiden teorian ongelmien pohtimisesta kompleksisessa tasossa osoittautui hyödylliseksi . [29] .

Lisätietoja

Kaikki tämän osan tosiasiat viittaavat euklidiseen geometriaan .

Janaa , joka yhdistää kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen, kutsutaan cevianaksi . Yleensä ceviania ei ymmärretä yhdeksi tällaiseksi segmentiksi, vaan yhtenä kolmesta tällaisesta segmentistä, jotka on piirretty kolmion kolmesta eri kärjestä ja jotka leikkaavat yhdessä pisteessä . Ne täyttävät Cevan lauseen ehdot . Cevians, jotka yhdistävät kolmion kärjen vastakkaisella puolella olevien pisteiden kanssa, jotka ovat tietyllä suhteella sen päistä, kutsutaan nediaaniksi . ${\frac {1}{n}}$
Kolmion keskiviiva on jana, joka yhdistää kolmion kahden sivun keskipisteet. Kolmion kolme mediaaniviivaa jakavat sen neljään yhtä suureen kolmioon, joiden pinta-ala on 4 kertaa pienempi kuin alkuperäisen kolmion pinta-ala.
Kolmion sivujen kohtisuorat puolittajat (mediatriisit) leikkaavat myös yhdessä pisteessä, joka on sama kuin rajatun ympyrän keskusta .
Cevianeja, jotka sijaitsevat suoralla, joka on symmetrinen mediaaneille suhteessa puolittamiseen, kutsutaan symmediaaniksi . Ne kulkevat yhden pisteen läpi - Lemoinen pisteen .
Viivoilla makaavia cevianeja, jotka ovat isotomisesti konjugoituneita puolittajiin mediaanien kantaan nähden, kutsutaan antibisektoreiksi . Ne kulkevat yhden pisteen läpi - antibisektoreiden keskustan .
Kolmion puomi on jana, jonka yksi kärki on kolmion toisen sivun keskellä, toinen kärki on toisella kahdesta jäljellä olevasta sivusta, kun taas puomi jakaa kehän kahtia.

Jotkut kolmion pisteet ovat "pareja". Esimerkiksi on kaksi pistettä, joista kaikki sivut ovat näkyvissä joko 60° tai 120° kulmassa. Niitä kutsutaan Torricelli-pisteiksi . On myös kaksi pistettä, joiden sivuilla olevat projektiot ovat säännöllisen kolmion kärjessä. Nämä ovat Apolloniuksen pointteja . Pisteitä ja vastaavia kutsutaan Brokarin pisteiksi . $P$ $K$ $\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP$ $\angle BAP=\angle CBP=\angle ACP$

Upeita suoria kolmioita

Missä tahansa kolmiossa painopiste , ortokeskiö , rajatun ympyrän keskipiste ja Eulerin ympyrän keskipiste sijaitsevat samalla suoralla, jota kutsutaan Euler-viivaksi .
Missä tahansa kolmiossa painopiste , siihen piirretyn ympyrän keskipiste (keskipiste ), sen Nagel-piste ja täydentävään kolmioon kirjoitetun ympyrän keskipiste (tai Spiekerin keskipiste) ovat samalla suoralla, kutsutaan toiseksi Euler-linjaksi (Nagel-viiva) $A'B'C'$
Piirretyn ympyrän ja Lemoinen pisteen läpi kulkevaa suoraa kutsutaan Brocardin akseliksi . Apolloniuksen pisteet ovat siinä .
Torricelli-pisteet ja Lemoinen piste ovat myös samalla suoralla .
Jos otamme pisteen kolmion ympäriympyrästä, niin sen projektiot kolmion sivuilla sijaitsevat yhdellä suoralla, jota kutsutaan annetun pisteen Simson-viivaksi . Piirretyn ympyrän diametraalisesti vastakkaisten pisteiden Simsonin suorat ovat kohtisuorassa.

Trilineaarisen kolmion polars

Pisteen (navan) kolmiviivainen napa ei-degeneroituneen kolmion suhteen on seuraavalla rakenteella määritelty suora viiva. Jos jatkamme jonkin pisteen cevian-kolmion sivuja ja otamme niiden leikkauspisteet vastaavien sivujen kanssa, niin tuloksena olevat leikkauspisteet sijaitsevat yhdellä suoralla, jota kutsutaan aloituspisteen kolmiviivaiseksi napaksi (kuvassa on pisteen rakenne). punaisen pisteen kolmiviivainen napa ). $P$ $EDF$ $Y$
Sentroidin kolmiviivainen napa on äärettömässä oleva suora viiva - (katso kuva).

Lemoinen pisteen kolmiviivainen napa on Lemoinen akseli (katso kuva).

Kaikki kolme kantaa ja kolme ulkopuolista puolittajaa, vastaavasti , ja kolmion ulkokulmat sijaitsevat yhdellä suoralla, jota kutsutaan ulkopuolisten puolittajien akseliksi tai antiorttiseksi akseliksi (katso kuva). Tämä akseli on myös sisäympyrän keskipisteen kolmiviivainen napa ( incenter ). $D$ $E$ $F$ $ILMOITUS$ $CE$ $BF$ $ABC$ $DEF$

Orttinen akseli - ortokeskuksen kolmilinjainen napa (katso kuva) $DEF$
Piirretyllä kartiolla sijaitsevien pisteiden kolmiviivaiset polaarit leikkaavat yhdessä pisteessä (piirretylle ympyrälle tämä on Lemoinen piste , rajatulle Steinerin ellipsille se on sentroidi ).

Kolmion piirretyt ja piirretyt kuviot

Muutokset

Alla kuvataan 3 muunnostyyppiä: 1) Isogonaalinen konjugaatio, 2) Isotominen konjugaatio, 3) Isokiertoinen muunnos.

Isogonaalinen konjugaatio

Jos kärkien ja sivuilla ulkopuolisen pisteen läpi kulkevat suorat ja niiden jatkeet heijastuvat vastaaviin puolittajiin, niin myös niiden kuvat leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan isogonaalisesti konjugoiduksi alkupisteeksi (jos piste on rajatulla ympyrällä, niin tuloksena olevat viivat ovat yhdensuuntaisia ).
Monet merkittävien pisteiden parit ovat isogonaalisesti konjugoituja :
- Ympyrän keskipiste ja ortosentti ( korkeuksien leikkauspiste),
- Centroid ( mediaanien leikkauspiste ) ja Lemoine -piste ( simediaanien leikkauspiste ),
- Kosnita-lauseeseen liittyvän kolmion yhdeksän pisteen keskipiste ja Kosnita -piste [31] ;
- Kaksi Brocard-pistettä ;
- Apollonius pisteet ja Torricelli pisteet .
Gergonnen piste ja sisäänkirjoitettujen ja rajattujen ympyröiden negatiivisen homoteetin keskipiste.
Nagelin piste ja sisäympyrän ja ympyrän positiivisen homoteetin keskus ( Verrier-piste ).
Isogonaalisesti konjugoitujen pisteiden ihonalaisten kolmioiden rajatut ympyrät osuvat yhteen.
Kirjattujen ellipsien kohdat ovat isogonaalisesti konjugoituja.
Isogonaalisessa konjugaatiossa on täsmälleen neljä kiinteää pistettä (eli pistettä, jotka ovat konjugoituneet itseensä): piirretyn ympyrän keskipiste ja kolmion ulkoisten ympyröiden keskipisteet [32] .
Jos jollekin kolmion sisäpisteelle rakennetaan kolme pistettä, jotka ovat sille symmetrisiä sivujen suhteen, ja piirretään sitten ympyrä kolmen viimeisen läpi, niin sen keskipiste on isogonaalisesti konjugoitu aloituspisteeseen [33] .

Kolmioviivojen isogonaaliset konjugaatiot

Isogonaalisen konjugaation vaikutuksesta viivat menevät rajatuiksi kartioiksi ja rajatut kartioviivat suoriksi viivoiksi.
Konjugoidaan siis isogonaalisesti:
- Kiepertin hyperbola ja Brocardin akseli ,
- Enzhabekin hyperbola ja Eulerin viiva ,
- Feuerbachin hyperbola ja piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden keskipisteviiva .
Jotkut tunnetut kuutiot - esimerkiksi Thomson-kuutio - ovat isogonaalisesti itseliittyviä siinä mielessä, että kun niiden kaikki pisteet kolmiossa konjugoidaan isogonaalisesti, saadaan taas kuutioita.

Isotomiakonjugaatio

Jos symmetrisen cevianin sijasta otamme cevianin , jonka kanta on yhtä kaukana sivun keskeltä kuin alkuperäisen kanta, niin tällaiset cevians leikkaavat myös yhdessä pisteessä. Tuloksena olevaa muutosta kutsutaan isotomiseksi konjugaatioksi . Se myös kartoittaa viivat rajattuihin kartioihin .

Seuraavat pisteet ovat isotomisettisesti konjugoituja :
- Gergonne ja Nagel huomauttavat ,
- puolittajien leikkauspiste ( incenter ) ja vastapuolittajien leikkauspiste ,
- Kolmion Lemoine -piste (symmediaanien leikkauspiste) on isotoomisesti konjugoitu sen Brocard- pisteeseen ,
- Sentroidi (mediaanien leikkauspiste) on isotomisesti konjugoitu itseensä.

Affiineissa muunnoksissa isotomisesti konjugoidut pisteet siirtyvät isotomisesti konjugoiduiksi pisteiksi. Isotomiakonjugaatiolla kuvattu Steinerin ellipsi menee äärettömään viivaan .

Isogonaalisen (tai isotomisen ) konjugaation ja trilineaarisen polaarisen kokoonpano

Isogonaalisen (tai isotomisen ) konjugaation ja trilineaarisen polaarisen koostumus on kaksinaisuusmuunnos . Tämä tarkoittaa, että jos pisteen isogonaalisesti ( isotomisesti ) konjugoitu piste on pisteen kolmilinjaisella napaisella , niin pisteen isogonaalisesti ( isotomisesti ) konjugoidun pisteen kolmilinjainen napa on pisteen kolmilinjaisella napaisella . $X$ $Y$ $Y$ $X$
Kolmion pisteeseen isogonaalisesti konjugoidun pisteen kolmilinjaista napaa kutsutaan pisteen keskiviivaksi [34] [35] . $Y$ $X$ $X$

Isocircular muunnos

Jos kolmion sivujen leikkaamiin segmentteihin piirretystä ympyrästä piirretään ympyröitä, jotka koskettavat tietyn pisteen läpi piirrettyjen ceviaanien tyvien sivuja , ja sitten näiden ympyröiden kosketuspisteet yhdistetään rajoitettuun ympyrä, jossa on vastakkaiset kärjet, niin tällaiset suorat leikkaavat yhdessä pisteessä. Tason muunnosa, jossa lähtöpistettä verrataan tuloksena olevaan pisteeseen, kutsutaan isokyöreäksi muunnokseksi [36] . Isogonaalisten ja isotomien konjugaatioiden koostumus on isorenkaan muunnoksen koostumus itsensä kanssa. Tämä koostumus on projektiivinen muunnos , joka jättää kolmion sivut paikoilleen ja muuttaa ulompien puolittajien akselin suoraksi viivaksi äärettömässä.

Trigonometriset identiteetit vain kulmilla

Kolme positiivista kulmaa , ja Kukin pienempi kuin , ovat kolmion kulmia, jos ja vain jos jokin seuraavista suhteista pätee: $\alpha$ $\beeta$ $\gamma$ $180^{\circ }$

\operaattorinimi {tg} \alpha +\operaattorinimi {tg} \beta +\operaattorinimi {tg} \gamma =\operaattorinimi {tg} \alpha \operaattorinimi {tg} \beta \operaattorinimi {tg} \gamma

( ensimmäinen tunniste tangenteille )

huomautus . Yllä oleva suhde pätee vain, kun mikään kulmista ei ole 90° (jolloin tangenttifunktio on aina määritelty).

\operaattorinimi {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operaattorinimi {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operaattorinimi {tg} {\frac {\beta }{2 }}\operaattorinimi {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\operaattorinimi {tg} {\frac {\gamma }{2}}\operaattorinimi {tg} {\frac {\alpha }{2} }=1

, [37]

( toinen tunniste tangenteille )

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

( ensimmäinen identiteetti sineille )

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2))+\sin ^{2}{\frac {\ gamma }{2))+2\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))=1

, [37]

( toinen identiteetti sineille )

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1

, [5]

( identiteetti kosineille )

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

( säteiden suhteen tunniste )

huomautus . Kun tangenttien toisen tunnisteen molemmat osat jaetaan tulolla , saadaan kotangenttien identiteetti : $\operaattorinimi {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operaattorinimi {tg} {\frac {\beta }{2}}\operaattorinimi {tg} {\frac {\gamma }{2} }$

\operaattorinimi {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operaattorinimi {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operaattorinimi {ctg} {\frac {\gamma }{ 2}}=\operaattorinimi {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\operaattorinimi {ctg} {\frac {\beta }{2}}\operaattorinimi {ctg} {\frac {\gamma }{2 }}

muodoltaan (mutta ei sisällöltään) hyvin samanlainen kuin tangenttien ensimmäinen identiteetti .

Erilaiset suhteet

Kolmion metriset suhteet on annettu : $\kolmio ABC$

${\frac {a}{b}}={\frac {a_{L}}{b_{L}}}$
$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L ))}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={\frac {1 }{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}$
$h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c))$
$d^{2}=R(R-2r)$ - Eulerin kaava
${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\operaattorinimi {ctg} \alpha +\operaattorinimi {ctg} \beta +\operaattorinimi {ctg} \gamma )=2R^ {2}(3-(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma ))$
${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}$ [3] :s.70

Missä:

$a$ , ja ovat kolmion sivut, $b$ $c$
$a_{L}$ , ovat segmentit, joihin puolittaja jakaa sivun , $b_{L}$ $l_{c}$ $c$
$m_{a}$ , , ovat mediaanit piirretty vastaavasti sivuille ja , $m_{b}$ $m_{c}$ $a$ $b$ $c$
$h_{a}$ , , ovat sivujen korkeudet laskettu vastaavasti ja , $h_{b}$ $h_{c}$ $a$ $b$ $c$
$r$ on piirretyn ympyrän säde ,
$R$ on rajatun ympyrän säde ,
$p={\frac {a+b+c}{2))$ - puolikehä ,
$S$ - alue ,
$d$ on piirretyn ja rajatun ympyrän keskipisteiden välinen etäisyys.
Jokaiselle kolmiolle, jonka sivut liittyvät epäyhtälöihin ja jonka pinta-ala on , kolmion sisällä olevien keskisuorien tai keskipisteiden pituudet, jotka on pudotettu vastaavalle sivulle (merkitty alaindeksillä), ovat [38] :Seuraukset 5 ja 6 $a\geqslant b\geqslant c$ $S$

{\displaystyle p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

, ja .

{\displaystyle p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

{\displaystyle p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2))))

Kaavat kolmion pinta-alalle suorakulmaisina koordinaatteina tasossa

Merkintä

$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ ovat kolmion kärkien koordinaatit.

Kolmion alueen yleinen kaava suorakulmaisina koordinaatteina tasossa

S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_ {C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{ A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}

Erityisesti, jos kärki A on origossa (0, 0) ja kahden muun kärjen koordinaatit ovat B = ( x B , y B ) ja C = ( x C , y C ) , niin alue voi olla lasketaan 1 ⁄ 2 : na determinantin itseisarvosta

T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right| ={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

Viimeistä kaavaa kolmion pinta-alalle englanninkielisessä kirjallisuudessa kutsutaan naulojen päälle venytetyn katkenneen pitsin sisällä olevan alueen kaavaksi (kenkänauhakaava ) tai geodeettiseksi kaavaksi ( mittarin kaava [39] ) tai Gaussin alueeksi. kaava.

Kolmion alueen laskeminen avaruudessa vektoreilla

Olkoon kolmion kärjet kohdissa , , . $\ \mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ $\ \mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ $\ \mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$

Esitellään pinta-alavektori . Tämän vektorin pituus on yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala, ja se on suunnattu normaalia pitkin kolmion tasoon: $\ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r}_{A}]$

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{B}-x_{A} &y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}\end{ vmatrix}}

Antaa , Jossa , Ovat kolmion projektiot koordinaattitasoihin. Jossa $\mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k}$ $S_{x}$ ${\displaystyle S_{y))$ ${\displaystyle S_{z))$

S_{x}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\y_{C}-y_{A} &z_{C}-z_{A}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\\1&y_{B}&z_{B} \\1&y_{C}&z_{C}\end{vmatrix}}

ja samoin

S_{y}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\\x_{B}&1&z_{B}\\x_{C}&1&z_{C}\ end{vmatrix}},\qquad S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\ \x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

Kolmion pinta-ala on . $S={\sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2))}$

Vaihtoehtona on laskea sivujen pituudet ( Pythagoraan lauseen mukaan ) ja edelleen käyttämällä Heron-kaavaa .

Kolmion alueen laskeminen käyttämällä sen kärkien kompleksisia suorakulmaisia koordinaatteja

Jos merkitsemme kolmion kärkipisteiden kompleksisia suorakulmaisia koordinaatteja (kompleksitasolla) , ja ja merkitsemme niiden kompleksikonjugaattipisteitä vastaavasti , ja , niin saadaan kaava: $a=x_{A}+y_{A}i$ $b=x_{B}+y_{B}i$ $c=x_{C}+y_{C}i$ ${\bar {a}}$ ${\bar {b}}$ ${\bar {c}}$

T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmatrix}}

joka vastaa naulojen yli venytetyn kengännauhan katkoviivan sisäpuolelle suljetun alueen kaavaa ( kengännauhan kaava ), tai geodeettista kaavaa ( geodeettinen kaava [39] ) tai Gaussin pintakaavaa.

Kolmio ei-euklidisissa geometrioissa

Pallolla

Ominaisuudet kolmion sivut , , ja kulmat , , . $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

(Ei-degeneroituneen) kolmion kulmien summa on ehdottomasti suurempi kuin . $180^{\circ }$

Kaikki samanlaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

Sinilause (jäljempänä pallomaisen kolmion sivua ei yleensä mitata lineaarisella mittalla, vaan siihen perustuvalla keskikulman arvolla ):

{\frac {\sin A}{\sin a))={\frac {\sin B}{\sin b))={\frac {\sin C}{\sin c))

Kosinilauseet:

\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

Lobatševskin koneessa

Kolmiolle, jonka sivut , ja kulmat , , . $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$

(Ei-degeneroituneen) kolmion kulmien summa on ehdottomasti pienempi kuin . $180^{\circ }$

Kuten pallolla, kaikki samanlaiset kolmiot ovat yhteneviä.

Sinilause

{\frac {\sin A}{\operaattorinimi {sh} a}}={\frac {\sin B}{\operaattorinnimi {sh} b}}={\frac {\sin C}{\operaattorinnimi {sh}c}}

Kosinilauseet

\operaattorinnimi {ch} c=\operaattorinnimi {ch} a\operaattorinnimi {ch} b-\operaattorinnimi {sh} a\operaattorinnimi {sh} b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\operaattorin nimi {ch} c

Kulmien summan ja kolmion alueen välinen suhde

Kolmion kulmien summan arvo kaikissa kolmessa tapauksessa (euklidinen taso, pallo, Lobatševskin taso) on seurausta Gauss-Bonnet'n kaavasta

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\sum _{i}\varphi _{i}=2\pi \chi

Kolmion tapauksessa Eulerin ominaisuus on . Kulmat ovat kolmion ulkokulmia. Suuren arvo (Gaussin kaarevuus) on euklidiselle geometrialle, pallolle, Lobatševskin tasolle. $\chi =1$ $\varphi _{i}$ $K$ $K = 0$ $K = 1$ $K=-1$

Kolmio Riemannin geometriassa

Nimitys

Symboli	Unicode	Nimi
△	U+25B3	valkoinen ylöspäin osoittava kolmio

Katso myös

Lisää artikkeleita kolmion geometriasta löytyy luokista:

Luokka: Kolmiogeometria .
Kategoria:Euklidisen geometrian lauseet
Luokka: Planimetria
Kategoria: Planimetrian lauseet

Muistiinpanot

↑ Kolmio // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5.
↑ 1 2 Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 218.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ 1 2 Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 221.
↑ 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., "Kolmion säteen ja ympäryssäteen suhteesta", Mathematical Gazette 87, maaliskuu 2003, 119-120.
↑ Zetel S.I. Uusi kolmion geometria. Opas opettajille. 2. painos. M.: Uchpedgiz, 1962. ongelma sivulla s. 120-125. kohta 57, s.73.
↑ Geometria Kiseljovin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , § 41.
↑ 1 2 3 4 Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 219.
↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja, 1973 .
↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja, 1973 , f. 1.11-4.
↑ Sa'ndor Nagydobai Kiss, "Feuerbach-pisteen ja sen jatkeen etäisyyskiinteistö", Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Arkistoitu 24. lokakuuta 2018 Wayback Machinessa
↑ Pathan, Alex ja Tony Collyer, "Kolmioiden pinta-alan ominaisuudet tarkistettu", Mathematical Gazette 89, marraskuu 2005, 495-497.
↑ Mitchell, Douglas W., "Nelikulman pinta-ala", Mathematical Gazette 93, heinäkuu 2009, 306-309.
↑ Baker, Marcus, "Kokoelma kaavoja tasokolmion pinta-alalle", Annals of Mathematics , osa 1 osassa 1(6), tammikuu 1885, 134-138; osa 2 vol. 2(1) ), syyskuu 1885, 11-18 Tässä annetut kaavat ovat #9, #39a, #39b, #42 ja #49.
↑ Chakerian, GD "Vääristynyt näkymä geometriasta." Ch. 7 julkaisussa Mathematical Plum (R. Honsberger, toimittaja). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; ja Wulf, Daniel B. "Haikarakolmiot ja moduuliavaruudet", Mathematics Teacher 101, toukokuu 2008, 656-663.
↑ Posamentier, Alfred S. ja Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles , Prometheus Books, 2012.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometria ja algebra muinaisissa sivilisaatioissa . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 94-95.
↑ 1 2 Kolmiogeometrian historiasta, 1963 , s. 129.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 40-44.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 92-96.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 111.
↑ Tusi Nasiruddin . Käsitelmä täydellisestä nelikulmasta. Baku, toim. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A. Matematiikan historia kahdessa osassa. - M .: Toim. Moskovan valtionyliopisto, 1960. - T. I. - S. 105.
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 320.
↑ 1 2 Kolmiogeometrian historiasta, 1963 , s. 130-132.
↑ Kolmiogeometrian historiasta, 1963 , s. 132-133.
↑ Rigby, John (1997), Lyhyet huomautukset joistakin unohdetuista geometrisista teoreemoista. Mathematics and Informatics Quarterly, osa 7, sivut 156-158 (Kimberlingin lainaus).
↑ V. V. Prasolov. Brocard-pisteet ja isogonaalinen konjugaatio. - M . : MTsNPO, 2000. - (Kirjasto "Matematical Education"). — ISBN 5-900916-49-9 .
↑ Matematiikka tehtävissä. Kokoelma materiaalia Moskovan joukkueen vierailevista kouluista koko Venäjän matemaattiselle olympialaiselle. Toimittaneet A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov ja A. V. Shapovalov. Moskova: MTSNMO, 2009.
↑ Kimberling, Clark. Keskipisteet ja keskiviivat kolmion tasossa // Mathematics Magazine : aikakauslehti . - 1994. - Kesäkuu ( osa 67 , nro 3 ) . - s. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
↑ Kimberling, Clark. Kolmion keskipisteet ja keskikolmiot . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - s. 285. Arkistoitu 10. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Myakishev A.G. Kolmiogeometrian elementit (sarja: "Library" Mathematical Education "") M.: MTSNMO, 2002. s. 14-17
↑ 1 2 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Yksinkertaiset trigonometriset substituutiot laajalla tuloksella", Mathematical Reflections nro 6, 2007.
↑ Mitchell, Douglas W. (2013), "Kolmioiden sivujen kohtisuorat puolittajat", Forum Geometricorum 13, 53-59.
↑ 1 2 Bart Braden. Surveyor's Area Formula // College Mathematics Journal :lehti. - 1986. - Voi. 17 , ei. 4 . - s. 326-337 . - doi : 10.2307/2686282 . Arkistoitu alkuperäisestä 6. huhtikuuta 2015.

Kirjallisuus

Hadamard J. Alkeinen geometria. Osa 1: Planimetria. Ed. 4th, Moskova: Uchpedgiz, 1957. 608 s.
Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: Nauka, 1978.
- Uudelleenjulkaisu: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Efremov Dm. Uusi kolmion geometria . Odessa, 1902.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Myakishev A.G. Kolmiogeometrian elementit . - M .: MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Tarina

Gaiduk Yu. M., Khovansky AM Kolmion geometrian historiasta // Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden historian kysymyksiä. - M . : Korkeakoulu, 1963. - S. 129-133. — 524 s.
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. VII-VIII luokat. Opas opettajille. - M . : Koulutus, 1982. - S. 76-95. – 240 s.
Matematiikan historia, toimittanut A. P. Yushkevich kolmessa osassa, M .: Nauka.
- Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
- 1600-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
- 1700-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Esseitä trigonometrian historiasta: Muinainen Kreikka. Keskiaikainen itä. Myöhäinen keskiaika. - Toim. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 s. - (Fysikaalis-matemaattinen perintö: matematiikka (matematiikan historia)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Hienoa norjalaista Iso venäläinen Brockhaus ja Efron Pieni Brockhaus ja Efron Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11946969k J9U : 987007548775205171 LCCN : sh85137407 NKC : ph126753

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös

Kolmio

Kolmion peruselementit

Vertices, sivut, kulmat

Kolmioiden luokitus

Mediaanit, korkeudet, puolittajat

Piirretyt ja kaiverretut ympyrät

Tasa-arvoisten kolmioiden merkit

Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta

Kolmioelementtien perusominaisuudet

Corner Properties

Kolmion epäyhtälö

Kolmion summalause

Sinilause

Kosinilause

Projektiolause

Tangenttilause

Kotangenttilause

Mollweiden kaavat

Kolmioiden ratkaiseminen

Kolmion pinta-ala

Muut kaavat

Kolmion alueen epäyhtälöt

Opiskeluhistoria

Lisätietoja

Upeita suoria kolmioita

Trilineaarisen kolmion polars

Kolmion piirretyt ja piirretyt kuviot

Muutokset

Trigonometriset identiteetit vain kulmilla

Erilaiset suhteet

Kaavat kolmion pinta-alalle suorakulmaisina koordinaatteina tasossa

Kolmion alueen yleinen kaava suorakulmaisina koordinaatteina tasossa

Kolmion alueen laskeminen avaruudessa vektoreilla

Kolmion alueen laskeminen käyttämällä sen kärkien kompleksisia suorakulmaisia ​​koordinaatteja

Kolmio ei-euklidisissa geometrioissa

Pallolla

Lobatševskin koneessa

Kulmien summan ja kolmion alueen välinen suhde

Kolmio Riemannin geometriassa

Nimitys

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Linkit

Kolmion alueen laskeminen käyttämällä sen kärkien kompleksisia suorakulmaisia koordinaatteja