Brahmaguptan lause

Brahmaguptan lause on alkeisgeometrian lause, jonka intialainen matemaatikko Brahmagupta löysi seitsemännellä vuosisadalla jKr .

Jos kirjoitetulla nelikulmiolla on kohtisuorat lävistäjät, jotka leikkaavat pisteessä , Sitten pisteen läpi kulkeva ja kohtisuorassa yhteen sen sivuista kulkeva viiva puolittaa vastakkaisen puolen. $M$ $M$

Kommentti. Analogisesti kolmion sivun keskisuoran (mediatrix) kanssa, segmenttiä (oikealla olevassa kuvassa) kutsutaan nelikulmion vastakkaisten sivujen antimediatriksiksi [1] . Tämä huomautus huomioon ottaen Brahmaguptan lause voidaan muotoilla seuraavasti: $FE$

Jos sisäänkirjoitetulla nelikulmiolla on kohtisuorat lävistäjät, jotka leikkaavat pisteessä M , niin kaksi sen antimediatrisiparia kulkee pisteen M läpi .

Todiste

Kuvassa on merkitty nelikulmio , jonka diagonaalit ovat kohtisuorassa ja , ja suora viiva on kohtisuorassa sivuun nähden ja leikkaa sivun pisteessä . Silloin kolmio on tasakylkinen. Samoin kolmio on tasakylkinen . Siksi . $ABCD$ $AC$ $BD$ $ME$ $eKr$ $D.A.$ $F$ $\angle {DMF}=\angle {BME}=\angle {MCE}\equiv \angle {ACB}=\angle {ADB}\equiv \angle {FDM}.$ $FMD$ $FAM$ $|FA|=|FM|=|FD|$

Anticenter ja kollineaarisuus

Neljä suorasegmenttiä, jotka ovat kohtisuorassa piirretyn suorakulmaisen nelikulmion toiselle sivulle ja kulkevat vastakkaisen puolen keskipisteen kautta, leikkaavat yhdessä pisteessä [2] [3] . Tätä leikkauspistettä kutsutaan antikeskukseksi . Antikeskipiste on symmetrinen ympyrän keskipisteen suhteen "kärkikeskipisteeseen" nähden . Siten piirretyssä nelikulmiossa rajatun ympyrän keskipiste, "vertexcentroid" ja anticenter sijaitsevat samalla suoralla [3] .

Yleistykset

On olemassa hyvin tunnettu lause: Jos nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa, niin yhdellä ympyrällä on kahdeksan pistettä (nelikulmion kahdeksan pisteen ympyrä ): sivujen keskipisteet ja sivujen keskipisteiden projektiot vastakkaisiin kohtiin. sivut [4] . Tästä lauseesta ja Brahmaguptan lauseesta seuraa, että sisäänkirjoitetun ortodiagonaalisen nelikulmion kahden antimediatrisiparin (kahdeksan pisteen) päät sijaitsevat samalla ympyrällä ( nelisivun kahdeksan pisteen ympyrä ).

Tämä lause yleistää Brahmaguptan lauseen , mutta ympyrään kirjoitetun nelikulmion puuttuminen johtaa siihen, että sen antimediatriisit leikkaavat eivät siinä pisteessä, joka on sen diagonaalien leikkauspiste.

Muistiinpanot

↑ Starikov V. N. Geometrian tutkimus // Globus -tieteellisen aikakauslehden julkaisujen kokoelma V:n kansainvälisen tieteellis-käytännön konferenssin "Modernin tieteen saavutukset ja ongelmat", Pietari: artikkelikokoelma (standarditaso, akateeminen taso). // Tieteellinen aikakauslehti Globus . - S-P., 2016.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 131.
↑ 1 2 Honsberger, 1995 , s. 35–39, 4.2 Sykliset nelikulmiot.
↑ Zaslavsky, Permyakova ym . 2009 .

Kirjallisuus

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M .: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-170-0 .
Nathan Altshiller-Court. Collegegeometria: johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan . - Dover Publications, Inc., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .
Ross Honsberger. Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa . - Mathematical Association of America , 1995. - Voi. 37. - s. 17-26. - (Uusi matemaattinen kirjasto). - ISBN 0-88385-639-5 (nide 37). - ISBN 0-88385-600-X (täydellinen sarja).
Matematiikka tehtävissä. Kokoelma materiaalia Moskovan joukkueen kenttäkouluista koko Venäjän matemaattista olympialaista varten / Toimittanut A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov ja A. V. Shapovalov .. - Moskova: MTsNMO, 2009 - ISBN - ISBN 477-4 .