Kahdeksankulmio

kahdeksankulmio
Tavallinen kahdeksankulmio
Tyyppi	säännöllinen monikulmio
kylkiluut	$kahdeksantoista$
Schläfli-symboli	$\{18\}$ , $\mathrm {t} \{9\}$
Coxeter-Dynkin-kaavio
Jonkinlainen symmetria	Dihedral ryhmä , tilaus 2×18 $(\mathrm {D} _{18})$
Sisäkulma	${\displaystyle 160^{\circ ))$
Ominaisuudet
kupera , kaiverrettu , tasasivuinen , tasakulmainen , isotoxal
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Kahdeksantoista sivuinen monikulmio on monikulmio , jossa on kahdeksantoista sivua [1] .

Säännöllinen kahdeksankulmio

Säännöllisessä kahdeksankulmiossa on Schläfli-symboli ja se voidaan rakentaa puolisäännölliseksi katkaistuksi kuusikulmioksi , jossa kahden tyyppisiä sivuja vuorottelevat. $\{18\}$ $\mathrm {t} \{9\}$

Rakentaminen

Säännöllistä kahdeksankulmiota, jolla on sivut, ei voida rakentaa kompassin ja suoraviivan avulla Gauss- Wanzelin lauseen [2] mukaisesti . Se voidaan kuitenkin rakentaa nevsis- tai kulmatrisektiolla käyttämällä tomahawkia . $18=2\cdot 3^{2}$

Seuraava likimääräinen konstruktio on hyvin lähellä nonagonin rakennetta, koska kahdeksantoista kulmio, kuten jo edellä mainittiin, voidaan rakentaa katkaisemalla ei-kulmio. Tämä rakentaminen voidaan tehdä käyttämällä vain kompassia ja viivainta.

Vähennämme kulmaa käyttämällä neljää jakoa puoleen ja rakennamme kolmanneksen kaaresta käyttämällä likimääräistä jakokulmaa välillä ja . $AMC(60^{\circ })$ $MON$ ${\displaystyle \mathrm {w} _{3))$ ${\displaystyle \mathrm {w} _{4))$ Tätä varten piirretään suora viiva pisteiden läpi ja , Tällä linjalla syrjäytetään segmentti , joka on yhtä suuri , ja rakennetaan piste tuloksena olevaan segmenttiin niin, että pituus on kolmasosa . $O$ $N$ $OP$ $PÄÄLLÄ$ $K$ ${\näyttötyyli TAI}$ $PÄÄLLÄ$ Nyt piirretään ympyrä, jonka keskipiste on piste, ja etsitään tämän ympyrän ja kaaren leikkauspiste , jolloin saadaan piste . $K$ $NO$ $R$ Piirrämme suoran pisteen ja ympyrän keskipisteen läpi . Tämä suora katkaisee alkuperäisestä ympyrästä kaaren, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin ympyrän koko pituus. $R$ $M$ $1/18$ $\angle {AMR}=19,999999994755615...^{\circ }$ Säännöllisen kahdeksankulmion keskikulma on , mikä tarkoittaa, että rakennusvirhe on $360^{\circ }/18=20^{\circ }$ ${\displaystyle \angle {AMR}-20^{\circ }=-5 244...^{\circ }\cdot 10^{-9))$ Konstruktion tarkkuutta havainnollistava esimerkki: jos otetaan ympyrä, jonka säde on km , sivun pituuden absoluuttinen virhe on noin mm . $r=100000$ $-9$ Katso myös Nonagonin rakentaminen (saksaksi) Tällä sivulla annetussa konstruktiossa kulma on yhtä suuri kuin kulma kahdeksankulmion tietyssä rakenteessa. ${\näyttötyyli \kulma {JMR}}$ $\angle {AMR}$

Symmetria

Tavallisella kahdeksankulmiolla on kaksitahoinen järjestysryhmä . Dihedraalisen symmetrian alaryhmiä on tyyppejä : , ( , ) ja ( , ), sekä 6 syklistä symmetriaryhmää: ( , ), ( , ) ja ( , ). $\mathrm {D} _{18}$ $36$ $5$ $\mathrm {D} _{9}$ $\mathrm {D} _{6}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{3))$ $\mathrm {D} _{2}$ $\mathrm {D} _{1}$ $\mathrm {Z} _{18}$ $\mathrm {Z} _{9}$ $\mathrm {Z} _{6}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{3))$ $\mathrm {Z} _{2}$ $\mathrm {Z} _{1}$

Oikealla olevassa kuvassa näet kahdeksankulmion symmetria-alaryhmät . Conway käytti kirjaimia edustamaan niitä yhdessä ryhmän järjestyksen kanssa [3] . Säännöllisen hahmon kokonaissymmetria on , ja symmetrian puuttuminen (eli triviaaliryhmä ) on merkitty . Dihedraaliset symmetriat jaetaan sen mukaan, kulkevatko niiden akselit kärkien läpi (kirjaimella , "diagonaalista") vai sivujen keskipisteiden kautta (kirjaimella , "suoraan"). Jos symmetria-akselit kulkevat sekä sivujen kärkien että keskipisteiden kautta, käytetään kirjainta . Sykliset ryhmät on merkitty kirjaimella ("kierretystä"). $viisitoista$ $\mathrm {r} 36$ $\mathrm {a} 1$ $\mathrm {d}$ $\mathrm {p}$ ${\mathrm {i}}$ $\mathrm {g}$

Kaikki nämä alaryhmät voivat olla epäsäännöllisen kahdeksankulmion dihedraalisia ryhmiä, ja vain alaryhmä ei anna tässä suhteessa vapautta, ellei monikulmion sivuilla katsota olevan suuntaa, eli vektoreina . $\mathrm {g} 18$

Käyttö

Säännöllinen kolmio , ei -kulmio ja kahdeksantoista kulmio voivat täysin ympäröidä pisteen tasossa, mikä on yksi 17 säännöllisen monikulmion yhdistelmästä, joilla on tämä ominaisuus [4] . Tätä yhdistelmää ei kuitenkaan voida käyttää tason Arkhimedeen laatoittamiseen – kolmiolla ja ei-kulmiolla on pariton määrä sivuja, kumpaakaan näistä kuvioista ei voida ympäröidä vuorotellen kahdella muulla monikulmiolla.

Tavalliset 18-vuotiaat voivat laatoittaa koneen jättäen koverat kuusikulmiot. Toisessa laatoituksessa käytetään ei-kuperia kahdeksankulmia. Leikkaamalla joitakin kärkipisteitä, ensimmäinen laatoitus voidaan muuttaa katkaistuksi kuusikulmioksi ja toinen katkaistuksi kolmikulmaiseksi laatoitukseksi .

Muut kahdeksankulmaiset hahmot

Tähti -goneissa on symbolit . Säännöllisiä tähtipolygoneja on kaksi : ja . Ne käyttävät samoja pisteitä, mutta yhdistävät joka viidennen tai seitsemännen kärjen. On olemassa myös yhdiste kahdeksantoista: vastaa (kaksi ei-kulmiota ), vastaa (kolme kuusikulmiota ) ja vastaa ( kaksi enneagrammia ), vastaa ( tasasivuista kolmiota) ja lopuksi vastaa (yhdeksän kaksikulmiota ). $kahdeksantoista$ ${\displaystyle \{18/n\))$ ${18/5}$ ${\displaystyle \{18/7\))$ $\{18/2\}$ $2\{9\}$ $\{18/3\}$ $3\{6\}$ $\{18/4\}$ $\{18/8\}$ $2\{9/2\}$ $2\{9/4\}$ $\{18/6\}$ $6\{3\}$ $6$ $\{18/9\}$ $9\{2\}$

Yhdistelmä- ja tähtipolygonit
n	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9
Näytä	Kupera monikulmio	Komposiitti			tähtipolygoni	Komposiitti	tähtipolygoni	Komposiitti
Kuva	$\{18/1\}$ = $\{18\}$	$\{18/2\}$ = $2\{9\}$	$\{18/3\}$ = $3\{6\}$	$\{18/4\}$ = $2\{9/2\}$	$\{18/5\}$	$\{18/6\}$ = $6\{3\}$	${\displaystyle \{18/7\))$	$\{18/8\}$ = $2\{9/4\}$	$\{18/9\}$ = $9\{2\}$
Sisäkulma	${\displaystyle 160^{\circ ))$	${\displaystyle 140^{\circ ))$	$120^{\circ }$	$100^{\circ }$	${\displaystyle 80^{\circ ))$	$60^{\circ }$	${\displaystyle 40^{\circ ))$	${\displaystyle 20^{\circ ))$	$0^{\circ }$

Säännöllisen monikulmion ja säännöllisen enneagrammin syvemmät katkaisut antavat tasakulmaisia ( vertex - transitive ) välikahdeksankulmia, joiden kärjet ovat yhtä kaukana ja joiden sivun pituus on kaksi. Muut katkaisut antavat kaksinkertaisen kattavuuden: [5] . $\mathrm {t} \{9/8\}=\{18/8\}=2\{9/4\},\;\mathrm {t} \{9/4\}=\{ 18/4\}=2\{9/2\},\;\mathrm {t} \{9/2\}=\{18/2\}=2\{9\}$

Nonagonin ja enneagrammien kärkitransitiiviset katkaisut
Lähes oikein	isogonaalinen	Melko oikea kaksoispinnoite
$\mathrm {t} {9}={18}$		$\mathrm {t} {9/8}={18/8}$ $=2{9/4}$
$\mathrm {t} {9/5}={18/5}$		$\mathrm {t} {9/4}={18/4}$ $=2{9/2}$
$\mathrm {t} {9/7}={18/7}$		$\mathrm {t} {9/2}={18/2}$ $=2{9}$

Petrien polygonit

Säännöllinen kahdeksankulmio on Petri-polygoni useille polytoopeille , kuten on esitetty vinossa-ortogonaalisissa projektioissa Coxeterin tasolle :

Kahdeksantoista sivuista Petri-polygonia
A 17	B9 _		D10 _		E 7
17-simplex	9-ortoedri	Enneract	7 11	171 [ fi	3 21	231 [ fi	> 1 32

Muistiinpanot

↑ Adams, 1907 , s. 528.
↑ Conway, 2010 , s. 31.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , s. 275-278.
↑ Dallas, 1855 , s. 134.
↑ Grünbaum, 1994 , s. 35-48.

Kirjallisuus

Henry Adams. Cassell's Engineer's Handbook: Sisältää faktoja ja kaavoja, periaatteita ja käytäntöjä kaikilla tekniikan aloilla. - D. McKay, 1907. - S. 528.
John B. Conway. Matemaattiset yhteydet: huippukivikurssi. - American Mathematical Society, 2010. - S. 31. - ISBN 9780821849798 .
L. Christine Kinsey, Teresa E. Moore. Symmetria, muoto ja pinnat: Johdatus matematiikkaan geometrian avulla. - Springer, 2002. - s. 86. - ISBN 9781930190092 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Luku 20, Yleiset Schaefli-symbolit, Monikulmion symmetriatyypit // Asioiden symmetriat. - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . Matematiikan kevyempi puoli: Eugène Strensin muistokonferenssin virkistysmatematiikkaa ja sen historiaa käsittelevän konferenssin julkaisuja / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - The Mathematical Association of America, 1994. - (MAA Spectrum). — ISBN 0-88385-516-X .
Elmslie William Dallas. Tasokäytännön geometrian elementit jne. - John W. Parker & Son, 1855.

Kahdeksankulmio

Linkit

Weisstein, Eric W. Octadecagon (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

Oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös

Schläfli-symboli
Monikulmiot	{yksi} {2} {3} {neljä} {5} {6} {7} {kahdeksan} {9} {kymmenen} {yksitoista} {12} {neljätoista} {viisitoista} {17} {kahdeksantoista} {kaksikymmentä} {kolmekymmentä} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
tähtipolygoneja	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Tasaiset parketit _	{3,6} {4,4} {6,3}
Tavalliset monitahoiset ja pallomaiset parketit	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot-polyhedra	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3,5/2}
hunajakennoja	{4,3,4}
Neliulotteinen polyhedra	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}