Bretschneiderin suhde

Bretschneiderin relaatio on nelikulmion relaatio, kosinilauseen analogi .

Sanamuoto

Yksinkertaisen (ei-leikkaavan) nelikulmion sivujen a, b, c, d , vastakkaisten kulmien ja diagonaalien e, f välillä pätee seuraava suhde: $\alpha ,\gamma ,$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).

Huomautus

Vastaavat formulaatiot: $e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2)),$ $e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2)).$

Todiste

Nelikulman ulkopuolelle rakennamme samanlaisia ja samanlaisia ulkoisella tavalla niin, että $\kolmio ABF$ $\kolmio CAD$ $\kolmio ADE$ $\kolmio CAB$

\angle CAD=\angle FBA

\angle ACD=\kulma FAB

\angle BAC=\angle ADE

\angle BCA=\angle DAE

Samankaltaisten kolmioiden ominaisuudesta saamme: ; ; ; . Täältä ; ; . Kulmien summa ja nelikulmaisessa on yhtä suuri kuin kulmien summa , Eli se on yhtä suuri kuin . Täältä . Myös , Eli , suunnikas. Täältä . Rakennuksen nurkassa . Kosinusten lain mukaan: . Kertomalla saamme vaaditun: , h.t.d. ${\frac {AF}{a}}={\frac {c}{e}}$ ${\frac {BF}{a}}={\frac {d}{e}}$ ${\frac {AE}{d}}={\frac {b}{e}}$ ${\frac {DE}{d}}={\frac {a}{e}}$ $AF={\frac {ac}{e))$ $AE={\frac {bd}{e))$ $BF=DE={\frac {ad}{e))$ ${\näyttötyyli \kulma B}$ ${\näyttötyyli \kulma D}$ $FBDE$ $\triangle BAD$ $180^{\circ }$ $FB\parallel DE$ $FB=DE$ $FBDE$ $f=BD=FE$ $\triangle AEF$ $\angle EAF=\angle A+\angle C$ $f^{2}=\left({\frac {ac}{e}}\right)^{2}+\left({\frac {bd}{e}}\oikea)^{2} -{\frac {2abcd}{e^{2}}}\cos(\angle A+\angle C)$ $e^{2}$ $(ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)$

Seuraukset

Jos nelikulmio degeneroituu kolmioksi (yksi kärki putoaa sivulle), saadaan Stewartin lause .
Jos nelikulmio degeneroituu kolmioksi ja yksi kärki putoaa sivun keskipisteeseen, niin pääkulman ja lisäkulman yhtäläisyys huomioon ottaen saadaan myös Apolloniuksen lause .
Jos nelikulmio on piirretty ympyrään, niin . Sitten Ptolemaioksen ensimmäinen lause seuraa edellisestä toiseksi viimeisestä kaavasta : . ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}$ $ef=ac+bd$
Jos D on kolmion ABC rajatun ympyrän keskipiste , niin DA = DB = DC . Ympyrään piirrettyjen kulmien lauseen avulla saadaan kosinilause kolmiolle ABC .

Katso myös

Kirjallisuus

Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osassa - M . : MTsNMO , 2004. - S. 85-86. — ISBN 5-94057-170-0 .

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös