Suorakulmainen kolmio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15.5.2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Suorakulmainen kolmio on kolmio , jossa yksi kulma on suora (eli 90 astetta ).

Suorakulmaisen kolmion sivujen ja kulmien väliset suhteet ovat trigonometrian ytimessä .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi (sivu c yllä olevassa kuvassa).
Oikean kulman viereisiä sivuja kutsutaan jaloiksi . Sivu a voidaan tunnistaa kulman B vieressä ja kulmaa A vastapäätä ja sivu b olevan kulman A vieressä ja kulmaa B vastapäätä .

Suorakulmaisten kolmioiden tyypit

Jos jalat ovat yhtä suuret, niin kolmiota kutsutaan tasakylkiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi .
Jos suorakulmaisen kolmion kaikkien kolmen sivun pituudet ovat luonnollisia lukuja, niin kolmiota kutsutaan Pythagoraan kolmioksi ja sen sivujen pituudet muodostavat niin sanotun Pythagoraan kolmion .

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit

Kahden jalan mukaan: jos yhden suorakulmaisen kolmion haarat ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalat, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. Tämä merkki seuraa välittömästi ensimmäisestä kolmion tasa -arvomerkistä , koska kahdella kolmiolla on kaksi jalkaa ja suora kulma yhtä suuri.

Jalan ja viereisen terävän kulman mukaan: jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhtä suuret Tämä merkki seuraa välittömästi kolmioiden toisesta tasa-arvomerkistä, koska kahdella kolmiolla on yksi jalka, sen vieressä oleva kulma ja suora kulma.

Hypotenuusan ja terävän kulman mukaan : jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. Tämä merkki seuraa kolmioiden toisesta yhtäläisyyden merkistä, koska toiset terävät kulmat ovat yhtä suuret kolmion kulmien summan lauseen mukaisesti ja hypotenuusat ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa ovat yhtä suuret kolmioissa.

Hypotenuusan ja jalan mukaan: jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja jalka ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja jalka, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. Todistamme tämän merkin seuraavasti. Asetamme kaksi kolmiota päällekkäin, jotta saadaan tasakylkinen kolmio, eli yhdistämme ne yhtäläisillä jaloilla niin, että näissä jaloissa sijaitsevat kulmat ovat eri tasoissa. Koska hypotenuusat ovat yhtä suuret, tuloksena oleva kolmio on tasakylkinen, jolloin pohjan kulmat ovat yhtä suuret. Sitten kaksi suorakulmaista kolmiota ovat yhtä suuret hypotenuusassa ja teräväkulmassa.

Jalan ja vastakkaisen terävän kulman mukaan : jos yhden suoran kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja terävä kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä. Tämä merkki todistetaan seuraavasti: jos yksi ensimmäisen kolmion terävistä kulmista on yhtä suuri kuin toisen kolmion terävä kulma, niin toinen terävä kulma tunnetaan kolmion kulmien summan lauseella. Koska toinen terävä kulma on jalan vieressä, niin kolmioiden yhtäläisyys todistetaan edelleen edellisen lauseen mukaisesti.

Ominaisuudet

Lisäksi oletetaan, että sekä jalkojen pituudet että hypotenuusan pituus $a$ $b$ $c$

( Pythagoraan lause ) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet sen kahden jalan tulosta. Tuo on, $S={\tfrac {1}{2}}ab.$

Mediaaneille , ja seuraava suhde pätee : $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.$
- Erityisesti hypotenuusalle putoamisen mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Korkeus

Jos korkeus vedetään hypotenuusaan, kolmio jaetaan kahteen pienempään kolmioon , jotka ovat samankaltaisia kuin alkuperäinen ja samankaltaiset keskenään. Tästä seuraa, että kaavion merkinnöissä: [1]

Korkeus on sen muodostaman hypotenuusan kahden segmentin geometrinen keskiarvo (suhteellinen keskiarvo).

\displaystyle f^{2}=de,

(kutsutaan joskus suorakulmaisen kolmion korkeuslauseeksi )

Kolmion jokainen haara on hypotenuusan geometrinen keskiarvo ja jalan projektio hypotenuusalle, ts.

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

Suorakulmaisessa kolmiossa oikean kulman kärjestä hypotenuusaan pudonnut korkeus jakaa hypotenuusan samassa suhteessa kuin viereisten jalkojen neliöt, eli

\displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},

Lisäksi hypotenuusaan pudonnut korkeus suhteutetaan suorakulmaisen kolmion jalkoihin suhteella: [2] [3]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

f={\frac {ab}{c}}.

Lisäksi, jos suorakulmainen kolmio on tasakylkinen , hypotenuusaan pudonnut korkeus on yhtä suuri:

f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2)))

, jossa on piirretyn ympyrän säde ja hopealeikkaus .

r

\delta _{S}

Ominaisuudet

Kolmio ABC , jonka sivut ovat a, b, c (missä c on pisin sivu), jonka säde R on rajattu ympyrä, on suorakulmainen kolmio , jos ja vain jos jokin seuraavista on totta: [4]

$c = 2R$ , eli yksi sivuista on rajatun ympyrän halkaisija ,
$\sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2$ ,
$\cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1$ ,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$ ,
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (käänteinen Pythagoraan lause),
$a+b=2(R+r)$ eli kahden sivun summa on kaksi kertaa rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden säteiden summa,
rajattu ympyrä on tangentti yhdeksän pisteen ympyrän kanssa .

Trigonometriset suhteet

Terävien kulmien trigonometriset funktiot voidaan määritellä suorakulmaisen kolmion sivujen suhteeksi. Mille tahansa kullelle on mahdollista rakentaa suorakulmainen kolmio, joka sisältää sellaisen kulman ja jonka sivut: vastakkainen haara, viereinen haara ja hypotenuusa, jotka liittyvät tähän kulmaan edellä määritellyillä suhteilla. Nämä sivusuhteet eivät riipu tietystä valitusta suorakulmaisesta kolmiosta, vaan vain annetusta kulmasta, koska kaikki tällä tavalla rakennetut kolmiot ovat samanlaisia . Jos tietyllä kulmalla α vastakkaista jalkaa, viereistä haaraa ja hypotenuusaa merkitään a , b ja c , niin trigonometriset funktiot ovat muotoa:

\sin \alpha ={\frac {a}{c)),\,\cos \alpha ={\frac {b}{c)),\,\operaattorinimi {tg} \alpha ={\frac {a} {b)),\,\operaattorin nimi {ctg} \alpha ={\frac {b}{a)),\sec \alpha ={\frac {c}{b)),\,\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}.

Ja näin:

Kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja tämän kulman sinin tulo

a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .

Kulman vieressä oleva jalka on yhtä suuri kuin hypotenuusan ja tämän kulman kosinin tulo

a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .

Kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin toisen jalan ja kulman tangentin tulo

a=b\cdot \operaattorinnimi {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operaattorinimi {tg} \beta .

Kulman vieressä oleva haara on yhtä suuri kuin toisen haaran ja kulman kotangentin tulo

a=b\cdot \operaattorinnimi {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operaattorinimi {ctg} \alpha .

Hypotenuusa on sama kuin jalan suhde vastakkaisen kulman siniin ja/tai jalan osasuhde kulman kosiniin (niiden välinen kulma)

c={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\cos \beta }}={\frac {b} {\cos \alpha }}.

Erityiset suorakulmaiset kolmiot

Trigonometristen funktioiden arvot voidaan arvioida tarkasti tietyille kulmille käyttämällä suorakulmaisia kolmioita, joilla on tietyt kulmaarvot. Tällaisia kolmioita ovat 30-60-90 kolmio , jota voidaan käyttää trigonometristen funktioiden arvioimiseen π/6:n mille tahansa kerrannaisille, ja 45-45-90 kolmio ( tasakylkinen suorakulmainen kolmio ), jota voidaan käyttää trigonometristen funktioiden arvioimiseen π/4:n kerrannaiset. Erityisesti,

Jalka, joka on 30°:n terävää kulmaa vastapäätä (ja vastaavasti 60°:n kulman vieressä), on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Thaleen lause

Thalesin lause sanoo, että jos mikä tahansa piste A on halkaisijaltaan BC olevalla ympyrällä (pois lukien itse pisteet B ja C ), niin △ ABC on suorakulmainen kolmio, jonka kulma on A . Käänteinen väite on tämä: jos suorakulmainen kolmio on piirretty ympyrään, hypotenuusa on sen halkaisija. Seurauksena on, että hypotenuusan pituus on kaksi kertaa etäisyys oikean kulman kärjestä hypotenuusan keskipisteeseen. On myös totta, että suorakulmaista kolmiota kuvaavan ympyrän keskipiste on hypotenuusan keskipiste ja sen säde on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusan pituudesta.

Muut ominaisuudet

Suorakulmaisessa kolmiossa, jossa on jalat a ja b ja hypotenuusa c , piirretyn ympyrän säde on:

r={\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Jos kärjestä C lähtevät segmentit, joiden pituus on p ja q , jakavat hypotenuusan kolmeen yhtä suureen segmenttiin, joiden pituus on c /3, niin: [5] :pp. 216-217

p^{2}+q^{2}=5\vasen({\frac {c}{3}}\oikea)^{2}.

Suorakulmainen kolmio on ainoa kolmio, jossa on kaksi, ei kolme, erillistä merkittyä neliötä. [6]

Olkoot h ja s ( h > s ) kahden neliön sivut , jotka on piirretty suorakulmaiseen kolmioon , jossa on hypotenuusa c . Sitten:

{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.

Suorakulmaisen kolmion kehä on yhtä suuri kuin piirretyn ja neljän rajatun ympyrän kahden säteen summa:

$P=2r+4R$

Jos S ja r annetaan , niin kolmion sivut löydetään kaavoilla:

a={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}-{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} }{r^{2}}}}}}\oikea)

b={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}+{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} }{r^{2}}}}}}\oikea)

c={\frac {S}{r}}-r

Toinen tärkeä suhde:

a={\frac {l_{b}}{4c}}\,\left({l_{b}+{\sqrt {8\,c^{2}+l_{b}^{2} }}}\oikea)\,\,\,

, missä on terävästä kulmasta B lähtevän puolittajan pituus, c on hypotenuusa.

l_{b}\,

Kaikissa suorakulmaisissa kolmioissa hypotenuusan pudottama mediaani on puolet hypotenuusasta.

Yhdeksän pisteen ympyrä koskettaa saman kolmion rajattua ympyrää vain siinä tapauksessa, että kolmio on suorakulmainen. Tässä tapauksessa kahden ympyrän tangentti kulkee kolmion suoran kulman kärjessä.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Nelikulmiot , joissa on kohtisuorat elementtiparit: 2 kohtisuoralla sivulla ja 2 kohtisuoralla lävistäjällä, jotka rappeutuvat suorakulmaiseksi kolmioksi, jos yhden halutun sivun pituus (niiden neljästä sivusta) on lähellä suoraa kulmaa tai lepää tämän kulman päällä, pyrkii nollaan.

Jos segmentti piirretään suorakulmaiseen kolmioon, joka on samansuuntainen sen hypotenuusan kanssa, se leikkaa tämän kolmion samanlaiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi ja puolisuunnikkaan . Tässä tapauksessa yhden puolisuunnikkaan kannan kulmien summa on 90 °, ja puolisuunnikkaan sivujen jatkeet leikkaavat suorassa kulmassa. Tällöin jana, joka yhdistää ilmoitetun puolisuunnikkaan kantojen keskipisteet, on yhtä suuri kuin kantajen erotuksen puolikas . Tämä väite yleistää ominaisuuden: oikean kulman kärjestä hypotenuusaan pudonneen suorakulmaisen kolmion mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusan pituudesta.

Muistiinpanot

↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, heinäkuu 1999, 269-271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
↑ Richinick, Jennifer, "Pythagoran lause ylösalaisin", Mathematical Gazette 92, heinäkuu 2008, s. 313-317.
↑ Andreescu, Titu ja Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
↑ Posamentier, Alfred S. ja Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry , Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert ja DeTemple, Duane, "Kulmiin ja kolmioihin piirretyt neliöt", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

Linkit

Laskin suorakulmaisille kolmioille
Weisstein, Eric W. Oikea kolmio (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Wentworth, GA Geometrian tekstikirja (määrittämätön) . - Ginn & Co., 1895.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös