Trigonometria

Trigonometria ( muista kreikkalaisista sanoista τρίγωνον " kolmio " ja μετρέω "mittaan", eli kolmioiden mittaaminen ) on matematiikan haara , joka tutkii trigonometrisiä funktioita ja niiden käyttöä geometriassa [1] . Tämä termi esiintyi ensimmäisen kerran vuonna 1595 saksalaisen matemaatikon Bartholomeus Pitiscuksen (1561-1613) kirjan otsikona, ja itse tiedettä käytettiin muinaisina aikoina laskelmiin tähtitieteessä , arkkitehtuurissa ja geodesiassa .

Trigonometrisia laskelmia sovelletaan lähes kaikilla geometrian , fysiikan ja tekniikan aloilla . Esimerkiksi kolmiomittaustekniikalla on suuri merkitys , sillä se mahdollistaa etäisyyksien mittaamisen lähellä oleviin tähtiin tähtitieteessä , maantieteellisten maamerkkien välillä ja satelliittinavigointijärjestelmien ohjaamisessa.

Historia

Muinainen Kreikka

Muinaiset kreikkalaiset matemaatikot käyttivät ympyrän kaarien mittaamiseen liittyvissä rakenteissaan sointujen tekniikkaa. Ympyrän keskeltä pudonnut kohtisuora jänteeseen jakaa kaaren ja sen päällä lepäävän jänteen kahtia. Puolet puolikkaasta sointeesta on puolikulman sini, joten sinifunktio tunnetaan myös nimellä "puolisointu". Tämän suhteen ansiosta myös antiikin kreikkalaiset matemaatikot tunsivat huomattavan määrän nykyään tunnettuja trigonometrisiä identiteettejä ja lauseita, mutta niitä vastaavassa sointumuodossa. Vaikka Eukleideen ja Arkhimedesen teoksissa ei ole trigonometriaa sanan varsinaisessa merkityksessä, niiden lauseet esitetään geometrisessa muodossa, joka vastaa tiettyjä trigonometrisiä kaavoja. Archimedesin lause jänteiden jaosta vastaa kulmien summan ja eron sinien kaavoja. Sointutaulukon puutteen kompensoimiseksi Aristarkoksen ajan matemaatikot käyttivät joskus hyvin tunnettua lausetta, nykyaikaisessa merkinnässä sinα/sinβ < α/β < tgα/tgβ, missä 0° < β < α < 90 °, yhdessä muiden lauseiden kanssa.

Ensimmäiset trigonometriset taulukot on luultavasti laatinut Nikealainen Hipparkhos (180-125 eKr.). Hipparkhos oli ensimmäinen, joka taulukoi vastaavat kaarien ja jänteiden suuruudet kulmien sarjalle. 360°:n täyden ympyrän systemaattisen käytön perustivat pääasiassa Hipparkhos ja hänen sointutaulukkonsa. On mahdollista , että Hipparkhos otti ajatuksen tällaisesta jaosta Hypsiclesiltä , joka oli aiemmin jakanut päivän 360 osaan, vaikka babylonialaiset tähtitieteilijät saattoivat ehdottaa myös tällaista jakoa.

Menelaus Aleksandrialainen (100 jKr.) kirjoitti Sfäärin kolmeen kirjaan. Ensimmäisessä kirjassa hän esitteli pallomaisten kolmioiden perustukset, jotka ovat samankaltaisia kuin Euclidin Elements Book I tasokolmioista. Hän esitti lauseen, jolle Euklidisella ei ole analogia , että kaksi pallomaista kolmiota ovat yhteneväisiä , jos vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, mutta hän ei tehnyt eroa yhtenäisten ja symmetristen pallomaisten kolmioiden välillä. Toinen lause sanoo, että pallomaisen kolmion kulmien summa on aina suurempi kuin 180°. Toisessa Spheres-kirjassa sovelletaan pallogeometriaa tähtitiedettä. Kolmas kirja sisältää " Menelaoksen lauseen ", joka tunnetaan myös "kuuden määrän sääntönä".

Myöhemmin Claudius Ptolemaios (jKr 90-168) laajensi Hipparkoksen sointuja ympyrässä Almagestissa. Almagestin kolmetoista kirjaa ovat antiikin merkittävin trigonometrinen teos. Lause, joka oli keskeinen Ptolemaioksen sointujen laskennassa, tunnetaan nykyään myös Ptolemaioksen lauseena , joka sanoo, että kuperan sisäänkirjoitetun nelikulmion vastakkaisten sivujen tulojen summa on yhtä suuri kuin diagonaalien tulo. Erillinen esimerkki Ptolemaioksen lauseesta esiintyi Eukleideen Datan 93. lauseena .

Ptolemaioksen lause sisältää neljän sinin ja kosinin summa- ja erotuskaavan ekvivalenssin. Myöhemmin Ptolemaios kehitti kaavan puolikulmalle. Ptolemaios käytti näitä tuloksia trigonometristen taulukoidensa luomiseen, vaikka nämä taulukot saattoivatkin olla peräisin Hipparchoksen työstä.

Keskiaikainen Intia

Sointujen korvaaminen sinillä oli keskiaikaisen Intian tärkein saavutus. Tämä korvaaminen mahdollisti erilaisia suorakulmaisen kolmion sivuihin ja kulmiin liittyviä funktioita. Siten Intiassa asetettiin trigonometrian alku trigonometristen määrien oppina.

Intialaiset tutkijat käyttivät erilaisia trigonometrisiä suhteita, mukaan lukien ne, jotka nykymuodossa ilmaistaan

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,$

$\sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha ),$

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta .$

Intiaanit tiesivät myös useiden kulmien kaavat $\sin n\alpha ,\qquad \cos n\alpha ,$ $n = 2,3,4,5.$

Trigonometriaa tarvitaan tähtitieteellisiin laskelmiin, jotka laaditaan taulukoiden muodossa. Ensimmäinen sinitaulukko löytyy Surya Siddhantasta ja Aryabhatasta . Myöhemmin tutkijat kokosivat yksityiskohtaisempia taulukoita: esimerkiksi Bhaskara antaa sinitaulukon 1 °:n kautta.

Etelä-Intian matemaatikot saavuttivat 1500-luvulla suurta edistystä äärettömien lukusarjojen summauksen alalla. Ilmeisesti he olivat mukana näissä tutkimuksissa etsiessään tapoja laskea tarkempia arvoja luvulle π . Nilakanta antaa sanallisesti säännöt arctangentin laajentamiseksi äärettömäksi potenssisarjaksi. Ja nimettömässä tutkielmassa " Karanapaddhati " ("Laskentatekniikka") annetaan säännöt sinin ja kosinin laajentamiseksi äärettömiksi potenssisarjoiksi. On sanottava, että Euroopassa tällaisia tuloksia lähestyttiin vasta 1600-1700-luvuilla. Eli Isaac Newton johti sinin ja kosinin sarjan noin vuonna 1666, ja arctangenttisarjan löysivät J. Gregory vuonna 1671 ja G. W. Leibniz vuonna 1673.

800-luvulta lähtien Lähi- ja Lähi-idän maiden tutkijat ovat kehittäneet edeltäjiensä trigonometriaa. Keski-Aasialainen tutkija al-Khwarizmi kirjoitti 900-luvun puolivälissä esseen " Intian tilillä ". Sen jälkeen kun muslimitieteilijöiden tutkielmat käännettiin latinaksi, monet kreikkalaisten, intialaisten ja muslimimatemaatikoiden ideat tulivat eurooppalaisen ja sitten maailman tieteen omaisuudeksi.

Trigonometristen funktioiden määritelmä

Trigonometriset funktiot liitettiin alun perin suorakulmaisen kolmion kuvasuhteisiin . Heidän ainoa argumenttinsa on kulma (yksi tämän kolmion terävistä kulmista).

Sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan .
Kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen.
Kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
Sekantti on hypotenuusan suhde viereiseen jalkaan.
Kosekantti on hypotenuusan suhde vastakkaiseen jalkaan.

Näiden määritelmien avulla on mahdollista laskea funktioiden arvot teräville kulmille, toisin sanoen 0° - 90° (0:sta radiaaneihin). 1700-luvulla Leonhard Euler antoi nykyaikaisia, yleisempiä määritelmiä laajentaen näiden funktioiden määritelmäalueen koko numeeriselle akselille . Tarkastellaan yksikkösäteen ympyrää suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa (katso kuva) ja aseta kulma sivuun vaaka-akselista (jos kulma on positiivinen, aseta se vastapäivään, muuten myötäpäivään). Merkitään kulman rakennetun sivun leikkauspiste ympyrän A kanssa . Sitten: ${\pi \over 2}$ $\theta$

Kulman sini määritellään pisteen A ordinaatiksi . $\theta$
Kosini on pisteen A abskissa .
Tangentti on sinin ja kosinin suhde.
Kotangentti - kosinin ja sinin suhde (eli tangentin käänteisluku).
Sekantti on kosinin käänteisluku.
Kosekantti on sinin käänteisluku.

Terävien kulmien osalta uudet määritelmät ovat samat kuin vanhat.

Näiden funktioiden puhtaasti analyyttinen määrittely on myös mahdollista, joka ei liity geometriaan ja edustaa jokaista funktiota laajentamalla sen äärettömäksi sarjaksi.

Sinifunktion ominaisuudet

Toimintoalue on kaikkien reaalilukujen joukko: . $D(y) = R$
Arvojoukko on väli [−1; 1]: = [−1;1]. $E(y)$
Funktio on outo: . $y=\sin \left(\alpha \right)$ $\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha$
Funktio on jaksollinen, pienin positiivinen jakso on : . $2\pi$ $\sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \left(\alpha \right)$
Funktion kuvaaja ylittää x- akselin kohdassa . $\alpha =\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$
Vakiovälit: klo ja klo . $y>0$ $\left(2\pi n+0;\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ $y<0$ $\left(\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$
Funktio on jatkuva ja sillä on johdannainen mille tahansa argumentin arvolle: $(\sin \alpha )'=\cos \alpha$
Toiminto kasvaa kohdassa ja pienenee kohdassa . $y=\sin\alpha$ $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\oikea)\,, n\in \mathbb {Z}$ $\alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\oikea)\,, n\in \mathbb {Z}$
Funktiolla on minimiarvo ja maksimiarvo . $\alpha =-{\frac {\pi }{2))+2\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ $\alpha ={\frac {\pi }{2))+2\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$

Kosinifunktion ominaisuudet

Toimintoalue on kaikkien reaalilukujen joukko: . $D(y) = R$
Arvojoukko on väli [−1; 1]: = [−1;1]. $E(y)$
Funktio on parillinen: . $y=\cos \left(\alpha \right)$ $\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha$
Funktio on jaksollinen, pienin positiivinen jakso on : . $2\pi$ $\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \left(\alpha \right)$
Funktion kuvaaja ylittää x- akselin kohdassa . $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$
Merkin pysyvyyden intervallit: at ja at $y>0$ $\left(-{\frac {\pi }{2))+2\pi n;{\frac {\pi }{2))+2\pi n\oikea)\,,n\in \ mathbb {Z}$ $y<0$ $\left({\frac {\pi }{2))+2\pi n;3{\frac {\pi }{2))+2\pi n\right)\,,n\in \ mathbb {Z} .$
Funktio on jatkuva ja sillä on johdannainen mille tahansa argumentin arvolle: $(\cos \alpha )'=-\sin \alpha$
Toiminto kasvaa ja pienenee kuten $y=\cos\alpha$ $\alpha \in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} ,$ $\alpha \in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z} .$
Funktiolla on minimi at ja maksimi at $\alpha =\pi +2\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ $\alpha =2\pi n\,,n\in \mathbb {Z} .$

Tangenttifunktion ominaisuudet

Toimintoalue on kaikkien reaalilukujen joukko: , lukuun ottamatta lukuja $D(y) = R$ $\alpha ={\frac {\pi }{2))+\pi n,n\in \mathbb {Z} \,.$
Arvojoukko on kaikkien reaalilukujen joukko: $E(y) = R.$
Funktio on outo: . $y=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)$ $\mathrm {tg} \left(-\alpha \right)=-\mathrm {tg} \ \alpha$
Funktio on jaksollinen, pienin positiivinen jakso on : . $\pi$ $\mathrm {tg} \left(\alpha +\pi \right)=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)$
Funktion kuvaaja ylittää x- akselin kohdassa . $\alpha =\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$
Vakiovälit: klo ja klo . $y>0$ $\left(\pi n;{\frac {\pi }{2))+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ $y<0$ $\left(-{\frac {\pi }{2))+\pi n;\pi n\oikea)\,,n\in \mathbb {Z}$
Funktio on jatkuva ja sillä on johdannainen mille tahansa toimialueen argumentin arvolle: $(\mathop {\operaattorinnimi {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x)).$
Toiminto kasvaa kohdassa . $y=\mathrm {tg} \ \alpha$ $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\oikea)\,,n\ kohteessa \mathbb {Z}$

Kotangenttifunktion ominaisuudet

Toimintoalue on kaikkien reaalilukujen joukko: lukuun ottamatta lukuja $D(y)=R,$ $\alpha =\pi n,n\in \mathbb {Z} \,.$
Arvojoukko on kaikkien reaalilukujen joukko: $E(y) = R.$
Funktio on outo: $y={\mathop {\operaattorin nimi {ctg} }}\left(\alpha \right)$ ${\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}\left(-\alpha \right)=-{\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}\ \alpha \,.$
Funktio on jaksollinen, pienin positiivinen jakso on : $\pi$ ${\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}\left(\alpha +\pi \right)={\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}\left(\alpha \right).$
Funktion kuvaaja ylittää x- akselin kohdassa $\alpha ={\frac {\pi }{2))+\pi n\,,n\in \mathbb {Z} \,.$
Merkin pysyvyyden intervallit: at ja at $y>0$ $\left(\pi n;{\frac {\pi }{2))+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ $y<0$ $\left({\frac {\pi }{2))+\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in \mathbb {Z} .$
Funktio on jatkuva ja sillä on johdannainen mille tahansa toimialueen argumentin arvolle: $({\mathop {\operaattorin nimi {ctg} }}\,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.$
Toiminto pienenee, kun $y={\mathop {\operaattorin nimi {ctg} }}\ \alpha$ $\alpha \in \left(\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in \mathbb {Z} .$

Trigonometrian sovellukset

On monia alueita, joilla trigonometriaa ja trigonometrisia funktioita sovelletaan . Triangulaatiomenetelmää käytetään esimerkiksi tähtitieteessä etäisyyden mittaamiseen lähellä oleviin tähtiin, maantieteessä kohteiden välisten etäisyyksien mittaamiseen ja satelliittinavigointijärjestelmissä . Sini ja kosini ovat perustavanlaatuisia jaksollisten funktioiden teoriassa , kuten kuvattaessa ääni- ja valoaaltoja.

Trigonometriaa tai trigonometrisia funktioita käytetään tähtitiedessä (erityisesti taivaankappaleiden sijainnin laskemiseen , kun tarvitaan pallotrigonometriaa ), merenkulussa ja lennonvarmistuksessa, musiikin teoriassa , akustiikassa , optiikassa , rahoitusmarkkinoiden analysoinnissa , elektroniikassa , todennäköisyysteoriassa , tilastotieteessä , biologiassa , lääketieteellisessä kuvantamisessa (esim. tietokonetomografia ja ultraääni ), apteekit, kemia, lukuteoria (siis myös kryptologia ), seismologia , meteorologia , merentutkimus , monet fysiikkatieteet, maanmittaus ja geodesia , arkkitehtuuri , fonetiikka , taloustiede , sähkötekniikka , konetekniikka , tie- ja vesirakentaminen, tietokonegrafiikka , kartografia , kristallografia , pelikehitys ja monet muut alat.

Vakioidentiteetit

Identiteetit ovat yhtäläisyyksiä, jotka pätevät mihin tahansa niihin sisältyvien muuttujien arvoihin.

\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ .

\sec ^{2}A-{\mathop {\operaattorinimi {tg} } }^{2}A=1\ .

\csc ^{2}A-{\mathop {\operaattorinimi {ctg} } }^{2}A=1\ .

Kaavat kulmien summan muuntamiseen

\sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B.

\cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B.

{\mathop {\operaattorinnimi {tg} }}(A\pm B)={\frac ({\mathop {\operaattorinnimi {tg} }}A\pm {\mathop {\operaattorinnimi {tg} }}B}{ 1\mp {\mathop {\operaattorinnimi {tg} }}A\ {\mathop {\operaattorinnimi {tg} }}B}}.

{\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}(A\pm B)={\frac ({\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}A\ {\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}B\mp 1 }{{\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}B\pm {\mathop {\operaattorinnimi {ctg} }}A}}.

Yleiset kaavat

Seuraavissa identiteereissä A, B ja C ovat kolmion kulmat; a, b, c ovat kolmion vastaavien kulmien vastakkaisten sivujen pituudet.

Sinilause

Kolmion sivut ovat verrannollisia vastakkaisten kulmien sineihin . Mielivaltaiselle kolmiolle

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,

missä on kolmion ympärille piirretyn ympyrän säde. $R$

R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+bc)(b+ca)))}.

Kosinilause

Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa miinus kaksi kertaa näiden sivujen tulo kertaa niiden välisen kulman kosini:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,

tai:

\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.

Tangenttilause

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {{\mathop {\operaattorinimi {tg} }}\vasen[{\tfrac {1}{2}}(AB)\oikea]}{{ \mathop {\operaattorinimi {tg} }}\vasen[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\oikea]}}

Eulerin kaava

Eulerin kaava sanoo, että mille tahansa reaaliluvulle pätee seuraava yhtäläisyys: $x$

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

missä on luonnollisen logaritmin kanta , on imaginaariyksikkö . Eulerin kaava tarjoaa linkin laskennan ja trigonometrian välillä, ja sen avulla voit myös tulkita sini- ja kosinifunktioita eksponentiaalisen funktion painotettuina summina : $e$ $i$

\cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2},

\sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.

Yllä olevat yhtälöt voidaan saada lisäämällä tai vähentämällä Eulerin kaavat:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\;,

e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\;.

jota seuraa sini- tai kosiniratkaisu.

Nämä kaavat voivat myös toimia kompleksisen muuttujan trigonometristen funktioiden määritelmänä. Esimerkiksi korvaamalla x = iy , saamme:

\cos iy={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\operaattorinimi {ch} y,

\sin iy={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\operaattorin nimi {ujo.

Monimutkaiset eksponentiaalit yksinkertaistavat trigonometrisiä laskelmia, koska niitä on helpompi käsitellä kuin sinimuotoisia komponentteja. Yksi lähestymistapa sisältää siniaaltojen muuntamisen vastaaviksi eksponenttilausekkeiksi. Yksinkertaistamisen jälkeen lausekkeen tulos pysyy todellisena. Toisen lähestymistavan ydin on esittää sinusoidit monimutkaisen lausekkeen todellisina osina ja manipuloida suoraan monimutkaisen lausekkeen avulla.

Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

$\sinx=a.$

Jos – todellisia ratkaisuja ei ole.

|a|>1

Jos - ratkaisu on muodon numero

|a|\leqslant 1

x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .

$\cosx=a.$

Jos – todellisia ratkaisuja ei ole.

|a|>1

Jos - ratkaisu on muodon numero

|a|\leqslant 1

x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .

$\operaattorin nimi {tg} \,x=a.$

Ratkaisu on muodon numero

x=\operaattorin nimi {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .

$\operaattorinimi {ctg} \,x=a.$

Ratkaisu on muodon numero

x=\operaattorin nimi {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .

Pallomainen trigonometria

Tärkeä yksityinen trigonometrian osa, jota käytetään tähtitieteessä, geodesiassa, navigoinnissa ja muilla teollisuudenaloilla, on pallotrigonometria, joka ottaa huomioon pallolla olevien suurten ympyröiden välisten kulmien ja näiden suurympyröiden kaarien ominaisuudet. Pallon geometria eroaa merkittävästi euklidisesta planimetriasta; Siten pallomaisen kolmion kulmien summa poikkeaa yleisesti ottaen 180°:sta, kolmio voi koostua kolmesta suorasta kulmasta. Pallotrigonometriassa kolmion sivujen pituudet (pallon suurten ympyröiden kaaret) ilmaistaan näitä kaaria vastaavina keskikulmina. Siksi esimerkiksi pallosinilause ilmaistaan muodossa

{\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C)),

ja on kaksi kosinilausetta , jotka ovat duaalisia keskenään.

Katso myös

Goniometria on trigonometrian osa, joka tutkii kulmien mittausmenetelmiä, trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja niiden välistä suhdetta.
Kolmioiden ratkaiseminen
Trigonometriset identiteetit
Trigonometriset funktiot

Muistiinpanot

↑ Neuvostoliiton tietosanakirja. M.: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1982.
↑ Boyer, Carl B. Kreikkalainen trigonometria ja mittaus // . - 1991. - S. 162.

Kirjallisuus

Boyer, Carl B. Matematiikan historia . - Toinen painos. – John Wiley & Sons, Inc. , 1991. - ISBN 0-471-54397-7 .
Christopher M. Linton (2004). Eudoxuksesta Einsteiniin: Matemaattisen tähtitieteen historia. Cambridge University Press .
Weisstein, Eric W. "Trigonometriset lisäyskaavat". wolfram mathworld. weiner.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Iso venäläinen Brockhaus ja Efron maailman ympäri Pieni Brockhaus ja Efron Britannica (verkossa) Treccani
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 119384742 J9U : 987007548881205171 LCCN : sh85137519 NDL : 00570153 NKC : ph126744

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset