Yksikköympyrä

Yksikköympyrä on ympyrä , jonka säde on 1 ja jonka keskipiste on origossa [1] . Tätä käsitettä käytetään laajasti trigonometristen funktioiden määrittämiseen ja tutkimiseen .

Ominaisuudet ja niihin liittyvät käsitteet

Yksikköympyrän sisäosaa kutsutaan yksikköympyräksi .

Yksikköympyrän kaikkien pisteiden koordinaateille Pythagoraan lauseen mukaan yhtälö pätee . Tätä yhtälöä voidaan pitää yksikköympyrän yhtälönä. $x^2 + y^2 = 1$

Trigonometriset funktiot

Yksikköympyrän avulla voidaan kuvata selkeästi trigonometriset funktiot (sellaisen kuvauksen yhteydessä yksikköympyrää kutsutaan joskus " trigonometriseksi ympyräksi ", mikä ei ole kovin onnistunut, koska kyseessä on ympyrä, eikä ympyrä ).

Sini ja kosini voidaan kuvata seuraavasti: jos yhdistät minkä tahansa yksikköympyrän pisteen origon kanssa , saat segmentin, joka on kulmassa suhteessa abskissan positiiviseen puoliakseliin. Sitten saamme [2] : $(x, y)$ $(0, 0)$ $\alpha$

\cos\alpha = x

\sin\alpha = y

Korvaamalla nämä arvot ympyräyhtälöön, saamme : $x^2 + y^2 = 1$

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

(Käytetään seuraavaa yleistä merkintää:. ) $\cos^2x = (\cos x)^2$

Trigonometristen funktioiden jaksollisuus on myös kuvattu selvästi, koska kulmaa vastaavan segmentin sijainti ei riipu "täyden kierroksen" lukumäärästä:

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)

\cos(x + 2\pik) = \cos(x)

kaikille kokonaisluvuille , eli . $k$ $k\in \mathbb Z$

Monimutkainen taso

Kompleksitasossa yksikköympyrä on joukko kompleksilukuja, joiden moduuli on 1:

{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \))

Mikä tahansa nollasta poikkeava kompleksiluku voidaan kirjoittaa yksiselitteisesti siten , että luvulla on moduuli 1 ja se kuuluu siten yksikköympyrään, $z$ $z=|z|u,$ $u$

Joukko on kertomalla kompleksilukujen ryhmän aliryhmä . Sisältää puolestaan äärellisiä algebran kannalta tärkeitä ykkösasteen äärellisiä ryhmiä , jotka muodostavat säännöllisen -gonin kärjet yksikköympyrää pitkin. $G$ $G$ $n$ $n$

Radiaanimitta

Kulman radiaanimitta voidaan määritellä kaaren pituudeksi, jonka tietty kulma leikkaa yksikköympyrästä (ympyrän keskipiste osuu kulman kärjen kanssa) [3] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yksikköympyrän käsite on yleistetty -ulotteiseen avaruuteen ( ), jolloin puhutaan " yksikköpallosta ". $n$ $n>2$

Muistiinpanot

↑ Mathworld .
↑ Gelfand et ai., 2002 , s. 24-27.
↑ Gelfand et ai., 2002 , s. 7-8.

Kirjallisuus

Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometry . - M .: MTSNMO, 2002. - 199 s. — ISBN 5-94057-050-X .

Linkit

Weisstein, Eric W. Unit Circle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset