Trigonometristen funktioiden erottelu

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21.6.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Toiminto	Johdannainen
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operaattorin nimi {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operaattorin nimi {arcsec}(x)$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\operaattorin nimi {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Trigonometristen funktioiden differentiointi on matemaattinen prosessi, jossa löydetään trigonometrisen funktion derivaatta tai sen muutosnopeus suhteessa muuttujaan. Esimerkiksi sinifunktion derivaatta kirjoitetaan muodossa sin′( a ) = cos( a ), mikä tarkoittaa, että sin( x ): n muutosnopeus tietyssä kulmassa x = a saadaan kyseisen kulman kosinin avulla. .

Kaikki ympyrätrigonometristen funktioiden derivaatat voidaan löytää funktioiden sin( x ) ja cos( x ) derivaatoista käyttämällä osamääräsääntöä , jota sovelletaan funktioihin, kuten tan( x ) = sin( x )/cos( x ). Kun nämä derivaatat tiedetään, voidaan löytää käänteisten trigonometristen funktioiden derivaattoja käyttämällä implisiittistä differentiaatiota .

Kaikki nämä funktiot ovat jatkuvia ja vaihtelevia määritelmäalueellaan [1] .

Todistuksia trigonometristen funktioiden johdannaisille

Sin(θ)/θ:n raja θ:na pyrkii arvoon 0

Oikeanpuoleisessa kaaviossa on ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde r = 1. Muodostakoon kaksi sädettä OA ja OK kaari θ radiaaneina. Koska tarkastelemme rajaa, kun θ menee nollaan, voimme olettaa, että θ on pieni positiivinen luku, sanotaanko 0 < θ < ½ π ensimmäisessä neljänneksessä.

Olkoon kaaviossa R 1 kolmio OAK , R 2 ympyräsektori OAK ja R 3 kolmio OAL . Sitten kolmion OAK pinta-ala :

\mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta\,.

Ympyrän muotoisen sektorin OAK pinta-ala on ja kolmion OAL pinta-ala määritellään seuraavasti $\mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta$

\mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \, .

Koska jokainen objekti sisältyy seuraavaan, meillä on:

{\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac { 1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.

Lisäksi, koska sin θ > 0 ensimmäisessä kvadrantissa, voimme jakaa ½ sin θ :lla saadaksemme:

1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta } }>\cos\theta\,.

Viimeisessä vaiheessa otimme takaisin kolme positiivista termiä muuttamalla eriarvoisuutta.

Päätimme, että arvolla 0 < θ < ½ π lauseke sin( θ )/ θ on aina pienempi kuin 1 ja aina suurempi kuin cos(θ). Siten, mitä lähempänä θ on arvoa 0, sitä enemmän sin( θ )/ θ " puristuu " katon korkeudella 1 ja lattian väliin korkeudella cos θ , joka pyrkii arvoon 1; siis sin( θ )/ θ pyrkii 1:een, kun θ pyrkii 0:aan positiivisella puolella:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

Tapauksessa, jossa θ on pieni negatiivinen luku -½ π <θ < 0, käytämme sitä tosiasiaa, että sini on pariton funktio :

\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}} \!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{ -\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.

Raja (cos(θ)-1)/θ, koska θ pyrkii 0:aan

Viimeinen osa tekee tämän uuden rajan laskemisen suhteellisen helpoksi. Tämä tehdään yksinkertaisella tempulla. Tässä laskelmassa θ :n etumerkillä ei ole merkitystä.

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\oikea)\ =\ \ lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1))).

Käyttämällä cos 2 θ – 1 = –sin 2 θ , siitä tosiasiasta, että tuotteen raja on rajojen tulo, ja edellisen osion rajan tulo, huomaamme, että:

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac { -\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)))\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{ \theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\oikea)\ =\ (- 1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.

Rajoita tan(θ)/θ, koska θ pyrkii arvoon 0

Käyttämällä sinifunktion rajaa ja sitä, että tangenttifunktio on pariton ja tulon raja on rajojen tulo, saadaan:

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \ theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1) \ =\ 1\,.

Sinifunktion derivaatta

Laskemme sinifunktion derivaatan rajamäärityksestä :

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\ theta +\delta )-\sin \theta }{\delta )).

Käyttämällä kulmien summauskaavoja sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α , saamme:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).

Rajojen käyttäminen sini- ja kosinifunktioille :

{\frac {\operaattorinimi {d} }{\operaattorinimi {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta\,.

Kosinifunktion derivaatta

Johdannaisen määritelmästä

Laskemme jälleen kosinifunktion derivaatan rajan määritelmästä:

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\ theta +\delta )-\cos \theta }{\delta )).

Käyttämällä kulman summauskaavaa cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β saadaan:

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{ \delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).

Rajojen käyttäminen sini- ja kosinifunktioille :

{\frac {\operaattorinimi {d} }{\operaattorinimi {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\ sin\theta\,.

Ketjusäännöstä

Laskeaksesi kosinifunktion derivaatan ketjusäännöstä huomioi ensin seuraavat kolme seikkaa:

\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

{\tfrac {\operaattorinimi {d} }{\operaattorinimi {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta

Ensimmäinen ja toinen ovat trigonometrisiä identiteettejä , ja kolmas on todistettu yllä. Näiden kolmen tosiasian avulla voimme kirjoittaa seuraavan:

{\tfrac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

Voimme erottaa tämän ketjusäännön avulla . Eli meillä on: $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$

{\tfrac {\operaattorinimi {d} }{\operaattorinimi {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\ alkuluku }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\ pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta

Olemme siis todistaneet sen

{\tfrac {\operaattorinimi {d} }{\operaattorinimi {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta

Tangenttifunktion derivaatta

Johdannaisen määritelmästä

Laskeaksemme tan θ - funktion derivaatan käytämme ensimmäisiä periaatteita . Määritelmän mukaan:

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinimi {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\ tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).

Käyttämällä hyvin tunnettua kulmakaavaa tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) saamme:

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{ \frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0 }\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta\right)}}\right].

Käyttämällä sitä tosiasiaa, että tuotteen raja on rajojen tulos:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\ oikein).

Käyttämällä tangenttifunktion rajaa ja sitä tosiasiaa, että tan δ pyrkii olemaan 0, kun δ pyrkii olemaan 0:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta } {1-0}}=1+\rusketus ^{2}\theta .

Näemme heti, että:

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{ \cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.

Osamääräsäännöstä

On myös mahdollista laskea tangenttifunktion derivaatta osamääräsäännön avulla :

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \ cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}

Osoittaja voidaan yksinkertaistaa 1:ksi käyttämällä Pythagoraan identiteettiä , joka antaa meille:

{\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta

Näin ollen

{\frac {\operaattorinnimi {d} }{\operaattorinnimi {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta

Todistuksia käänteisten trigonometristen funktioiden derivaateille

Seuraavat derivaatat löytyvät asettamalla muuttuja y käänteiseen trigonometriseen funktioon , josta halutaan ottaa derivaatta. Käyttämällä implisiittistä differentiaatiota ja ratkaisemalla sitten dy / dx , käänteisfunktion derivaatta löydetään y : n suhteen . Muuntaaksesi dy / dx takaisin x - termeiksi , voimme piirtää yksikköympyrään referenssikolmion asettamalla θ yhtä suureksi kuin y . Pythagoraan lauseen ja tavallisten trigonometristen funktioiden määritelmän avulla voimme lopulta ilmaista dy / dx : n avulla .

Arsinifunktion erottelu

Päästää

y=\arcsin x\ ,

missä

-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}.

Sitten

\sin y=x\ .

Kun otetaan johdannainen molemmilta puolilta ja ratkaistaan , meillä on: $x$ $dy/dx$

{d \over dx}\sin y={d \over dx}x,

\cos y\cdot {dy \over dx}=1\ .

Korvaamalla ylhäältä , meillä on: $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y))$

{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

Korvaamalla ylhäältä , meillä on: $x=\sin y$

{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1

{dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

Arkosiinifunktion erottelu

Päästää

y=\arccos x\,\!

missä

0\leq y\leq \pi

Sitten

\cos y=x\,\!

Kun otetaan johdannainen molemmilta puolilta ja ratkaistaan , meillä on: $x$ $dy/dx$

{d \over dx}\cos y={d \over dx}x

-\sin y\cdot {dy \over dx}=1

Korvaamalla ylhäältä , saamme: $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$

-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

Korvaamalla ylhäältä , saamme: $x=\cos y\,\!$

-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1

{dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

Vaihtoehtoisesti, kun johdannainen on muodostettu, johdannaista seuraa välittömästi identiteetti erottaminen siten, että . $\arcsin x$ $\arccos x$ $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$

Arkutangenttifunktion erottelu

Päästää

y=\arctan x\,\!

missä

-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}

Sitten

\tan y=x\,\!

Kun otetaan johdannainen molemmilta puolilta ja ratkaistaan , meillä on: $x$ $dy/dx$

{d \over dx}\tan y={d \over dx}x

Vasemman käden puoli:

{\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx))

, käyttäen Pythagoraan identiteettiä

Oikea puoli:

{d \over dx}x=1

Näin ollen

(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1

Korvaamalla ylhäältä , saamme: $x=\tan y\,\!$

(1+x^{2}){dy \over dx}=1

{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2))))

Käänteisen tangentin funktion erottelu

Päästää

y=\operaattorin nimi {arccot} x

missä sitten $0<y<\pi$

\cot y=x

Kun otetaan johdannainen molemmilta puolilta ja ratkaistaan , meillä on: $x$ $dy/dx$

{\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x

Vasemman käden puoli:

{\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx))

, käyttäen Pythagoraan identiteettiä

Oikea puoli:

{d \over dx}x=1

Näin ollen

-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1

Korvaamalla saamme: $x=\cot y$

-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2))))

Kaarevan funktion erottelu

Implisiittisen eriyttämisen käyttäminen

Päästää

y=\operaattorin nimi {arcsec} x\ \ |x|\geq 1

Sitten

x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2)),\ pi\oikea]

{\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(Lausekkeen absoluuttinen arvo on välttämätön, koska välin y sekantin ja tangentin tulo on aina ei-negatiivinen ja radikaali on aina ei-negatiivinen pääneliöjuuren määritelmän mukaan , joten myös jäljellä olevan tekijän on oltava ei-negatiivinen, joka saavutetaan käyttämällä x :n itseisarvoa .) ${\sqrt {x^{2}-1))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Ketjusäännön avulla

Vaihtoehtoisesti arkekantin johdannainen voidaan johtaa arkosiinin johdannaisesta käyttämällä ketjusääntöä .

Päästää

y=\operaattorinimi {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)

missä

|x|\geq 1

y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2)),\pi \right]

Sitten soveltamalla ketjusääntöä kohtaan , meillä on: $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left (-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} )))))))={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}} = {\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x ^ {2}-1}}}}

Arccosecant-funktion erottelu

Implisiittisen eriyttämisen käyttäminen

Päästää

y=\operaattorin nimi {arccsc} x\ \ |x|\geq 1

Sitten

x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2)),0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2) }}\oikea]

{\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(Lausekkeen absoluuttinen arvo on välttämätön, koska välin y kosekantin ja kotangentin tulo on aina ei-negatiivinen ja radikaali on aina ei-negatiivinen pääneliöjuuren määritelmän mukaan , joten myös jäljellä olevan tekijän on oltava ei-negatiivinen, joka saavutetaan käyttämällä x :n itseisarvoa .) ${\sqrt {x^{2}-1))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Ketjusäännön avulla

Vaihtoehtoisesti arkosekantin derivaatta voidaan johtaa arcsiinin derivaatta käyttämällä ketjusääntöä .

Päästää

y=\operaattorin nimi {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)

missä

|x|\geq 1

y\in \left[-{\frac {\pi }{2)),0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2))\right]

Sitten soveltamalla ketjusääntöä kohtaan , meillä on: $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

{\frac {dy}{dx))={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x)))^{2))))\cdot \left( -{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} )))))))))=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}} } =-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\ sqrt {x^{2}-1}}}}}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Trigonometristen funktioiden derivaatat . math24.ru . Matematiikka 24. Haettu 7. heinäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2021. (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

Handbook of Mathematical Functions , toimittaneet Abramowitz ja Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)
Courant R. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi . - 4. - Moskova: Nauka, 1970. - T. 1. - 672 s. (Venäjän kieli)

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset