Euklidinen avaruus

Euklidinen avaruus (myös euklidinen avaruus ) alkuperäisessä merkityksessä on avaruus , jonka ominaisuuksia kuvaavat euklidisen geometrian aksioomat . Tässä tapauksessa oletetaan, että avaruuden ulottuvuus on 3, eli se on kolmiulotteinen .

Nykyisessä mielessä, yleisemmässä mielessä, se voi merkitä yhtä samankaltaisista ja läheisesti sukulaisista objekteista: äärellinen -ulotteinen reaalivektoriavaruus , johon on lisätty positiivinen-määräinen skalaaritulo ; tai tällaista vektoriavaruutta vastaava metriavaruus . Jotkut kirjoittajat rinnastavat euklidisen ja esi-Hilbertin avaruuden . Tässä artikkelissa ensimmäistä määritelmää pidetään alkuperäisenä. $\mathbb {R} ^{n}$

$n$ -ulotteinen euklidinen avaruus on yleensä merkitty ; merkintää käytetään usein myös silloin, kun asiayhteydestä on selvää, että tila on varustettu luonnollisella euklidisella rakenteella. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Muodollinen määritelmä

Euklidisen avaruuden määrittämiseksi on helpointa käyttää perustana pistetulon käsitettä . Euklidinen vektoriavaruus määritellään äärellisulotteiseksi vektoriavaruudeksi reaalilukukentän yli , jonka vektoripareille on annettu reaaliarvoinen funktio , jolla on seuraavat kolme ominaisuutta: $(\cdot ,\cdot ),$

Lineaarisuus: kaikille vektoreille ja kaikille reaaliluvuille suhteet ovat voimassa ; $\mathbf {u,v,w}$ $a,b$ $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$
Symmetria: kaikille vektoreille yhtäläisyys on totta $u, v$ $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
Positiivinen määrätietoisuus: kaikille ja $\mathbf {(u,u)} \geqslant 0$ $sinä,$ $\mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.$

Tällaista vektoriavaruutta vastaavaa affiiniavaruutta kutsutaan euklidiseksi affiiniseksi avaruudeksi tai yksinkertaisesti euklidiseksi avaruuteen [ 1] .

Esimerkki euklidisesta avaruudesta on koordinaattiavaruus, joka koostuu kaikista mahdollisista reaalilukujoukoista ja jonka skalaaritulo määritellään kaavalla $\mathbb {R} ^{n},$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ $\mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2 }+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Pituudet ja kulmat

Euklidisessa avaruudessa annettu skalaaritulo riittää esittelemään pituuden ja kulman geometriset käsitteet . Vektorin pituus määritellään ja merkitään [2] [3] Skalaaritulon positiivinen määräys takaa sen, että nollasta poikkeavan vektorin pituus on nollasta poikkeava, ja bilineaarisuudesta seuraa, että ts . suhteellisten vektorien pituudet ovat verrannollisia. $u$ ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ $|\mathbf {u} |.$ $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$

Vektorien ja välinen kulma määritellään kosinilauseesta seuraa , että kaksiulotteiselle euklidiselle avaruudelle ( euklidiselle tasolle ) tämä kulman määritelmä on sama kuin tavallinen . Nollasta poikkeavat ortogonaaliset vektorit, kuten kolmiulotteisessa avaruudessa, voidaan määritellä vektoreiksi kulmassa , eli vektoreiksi, joiden sisätulo on nolla. ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ ${\tfrac {\pi }{2)),$

Huomautus

On selvennettävä, että arkkosinin määrittämiseksi on välttämätöntä ja riittävää , että epäyhtälö täyttyy Tämä epäyhtälö on todellakin totta mielivaltaisessa euklidisessa avaruudessa: sitä kutsutaan Cauchy-Bunyakovsky-epäyhtälöksi . Siitä puolestaan seuraa kolmio-epäyhtälö : Kolmio-epäyhtälö yhdessä yllä olevien pituuden ominaisuuksien kanssa tarkoittaa, että vektorin pituus on normi euklidisessa vektoriavaruudessa ja funktio tai asettaa metrisen avaruuden rakenteen. euklidisessa avaruudessa (tätä funktiota kutsutaan euklidiseksi metriikaksi ). Erityisesti elementtien (pisteiden) ja koordinaattiavaruuden välinen etäisyys saadaan kaavasta $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ $d\mathbf {(x,y)} ,$ $\mathbf {|xy|} ,$ ${\mathbf x}$ ${\mathbf y}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{ i}-y_{i})^{2}}}.$

Algebralliset ominaisuudet

Ortonormaalit kannat

Ortonormaalikanta euklidisessa (vektoriavaruudessa) on kanta , joka koostuu pareittain ortogonaalisista yksikkönormivektoreista. Ortonormaalit kannat ovat kätevimpiä laskelmiin. Joten esimerkiksi vektorien skalaaritulo koordinaatteilla ja ortonormaalilla pohjalla voidaan laskea kaavalla . Missä tahansa euklidisessa avaruudessa on ortonormaalikanta. Valitsemalla ortonormaalit kantakannat kahdessa euklidisessa avaruudessa ja kääntämällä niistä toinen toiseksi lineaarisella kuvauksella , voimme todistaa, että mitkä tahansa kaksi saman ulottuvuuden euklidista avaruutta ovat isomorfisia [4] (erityisesti -ulotteinen euklidinen avaruus on isomorfinen standardi skalaaritulo). $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ $(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Ortografiset projektiot

Vektorin sanotaan olevan ortogonaalinen aliavaruuteen nähden, jos se on ortogonaalinen kaikkiin vektoreihin tässä aliavaruudessa. Vektorin ortogonaalinen projektio aliavaruuteen on ortogonaalinen vektori siten, että edustamme muotoa jossa Vektorien päiden välinen etäisyys ja on pienin etäisyys vektorin pään ja aliavaruuden välisten etäisyyksien Ortogonaalisia projektioita suuriulotteisissa tiloissa käytetään esimerkiksi pienimmän neliösumman menetelmässä . $x$ $U$ $h,$ $sinä,$ $x$ $u+h,$ $olet U:ssa.$ $u$ $x$ $x$ $U.$

Kaksoisvälilyönnit ja operaattorit

Mikä tahansa euklidisen avaruuden vektori määrittelee tässä avaruudessa lineaarisen funktionaalisen , joka määritellään nimellä Tämä vertailu on isomorfismi euklidisen avaruuden ja sen kaksoisavaruuden välillä [ 5 ] ja mahdollistaa niiden tunnistamisen tinkimättä laskelmista. Erityisesti adjungoivien operaattorien voidaan katsoa toimivan alkuperäiseen avaruuteen, ei sen duaaliin, ja itseadjoint-operaattorit voidaan määritellä niiden adjunktoitujen operaattorien kanssa. Ortonormaalilla pohjalla adjoint-operaattorin matriisi transponoidaan alkuperäisen operaattorin matriisiin ja itseadjoint-operaattorin matriisi on symmetrinen . $x$ $x^{*}$ $x^{*}(y)=(x,y).$

Euklidisen avaruuden liikkeet

Euklidiset avaruuden liikkeet ovat metristä säilyttäviä avaruuden muunnoksia itseensä (kutsutaan myös avaruuden isometriksi itseensä ). Esimerkki liikkeestä on yhdensuuntainen käännös vektorissa , joka muuttaa pisteen pisteeksi . On helppo nähdä, että mikä tahansa liike on rinnakkaiskäännöksen ja muunnoksen koostumus, joka pitää yhden pisteen kiinteänä. Kun origoksi valitaan kiinteä piste, mikä tahansa tällainen liike voidaan nähdä ortogonaalisena muunnoksena . N -ulotteisen euklidisen avaruuden ortogonaaliset muunnokset muodostavat ryhmän, jota merkitään O( n ) . Valitsemalla avaruudesta ortonormaalikanta, tämä ryhmä voidaan esittää n × n matriisin ryhmänä, joka täyttää ehdon , jossa on transponoitu matriisi ja identiteettimatriisi . ${\mathbf v}$ ${\mathbf p}$ $\mathbf {p+v}$ $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ $Q^{\mathsf {T}}$ $E$

Esimerkkejä

Hyviä esimerkkejä euklidisista avaruksista ovat seuraavat avaruudet:

$\mathbb {E^{1}}$ mitat ( todellinen viiva - esimerkiksi numeerinen akseli ); $yksi$
$\mathbb {E^{2}}$ mitat ( euklidinen taso ); $2$
$\mathbb {E^{3}}$ mitat ( euklidinen kolmiulotteinen avaruus ). $3$

Abstraktisempi esimerkki:

todellisten polynomien avaruus , joiden asteet eivät ylitä n , joiden sisätulo määritellään niiden tulon integraaliksi äärellisessä segmentissä (tai koko suoralla, mutta esimerkiksi nopeasti laskevalla painofunktiolla ). ${\mathcal {P}}^{n}$ $e^{-x^{2}}$

Esimerkkejä geometrisistä hahmoista moniulotteisessa euklidisessa avaruudessa:

säännölliset moniulotteiset monitahot (esim. N - ulotteinen kuutio , N - ulotteinen oktaedri , N - ulotteinen tetraedri );
hypersfääri ;
hypertorus .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Euklidinen metriikka voidaan ymmärtää yllä kuvattuna metriikkana, samoin kuin vastaavana Riemannin metriikkana .

Paikallinen euklidisuus tarkoittaa yleensä sitä, että jokainen Riemannin moniston tangenttiavaruus on euklidinen avaruus, jolla on kaikki seuraavat ominaisuudet, esimerkiksi mahdollisuus (metriikan tasaisuuden vuoksi) viedä koordinaatit pieneen pisteen ympäristöön, jossa etäisyys on ilmaistaan (jossain järjestyksessä) edellä kuvatulla tavalla.

Metrista avaruutta kutsutaan myös paikallisesti euklidiseksi, jos siihen on mahdollista lisätä koordinaatteja, joissa metriikka on euklidinen (toisen määritelmän merkityksessä) kaikkialla (tai ainakin äärellisellä alueella) - mikä on esim. Riemannin monisto, jonka kaarevuus on nolla.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jos emme käytä pääkenttänä reaalilukukenttää, vaan kompleksilukujen kenttää , tämä antaa unitaarisen (tai hermiittisen) avaruuden määritelmän .

Äärillisen ulottuvuuden vaatimuksen hylkääminen antaa esi-Hilbert-avaruuden määritelmän . Skalaaritulon positiivisen määrittelyn vaatimuksen hylkääminen johtaa pseudoeuklidisen avaruuden määritelmään . Vaatimus, että esi-Hilbert-avaruus on metrinen täydellinen, johtaa Hilbert-avaruuden määritelmään ; neliösummattavien sekvenssien avaruus on Hilbert-avaruus, jota voidaan pitää vektoreiden avaruudena, jolla on ääretön määrä koordinaatteja.

Muistiinpanot

↑ Gelfand, 1998 , s. 35.
↑ Gelfand, 1998 , s. 39.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 118.
↑ Shilov G. E. Johdatus lineaaristen tilojen teoriaan. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - s. 182
↑ Tämä tulos pätee myös pseudoeuklidisille ja unitaariavaruuksille, Hilbert-avaruuksille se on monimutkaisempi ja sitä kutsutaan Rieszin lauseeksi .

Kirjallisuus

Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta. - 5. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 s. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Vulikh BZ Johdatus funktionaaliseen analyysiin. - M .: Fizmatlit, 1958. - 352 s. - 7500 kappaletta.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka