Numeerinen toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. huhtikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Numeerinen funktio ( matematiikassa ) on funktio , joka toimii yhdestä numeroavaruudesta (joukosta) toiseen numeroavaruuteen (joukko) [1] . Numeeriset joukot ovat luonnollisten ( ), kokonaislukujen ( ), rationaalisten ( ), reaalilukujen ( ) ja kompleksilukujen ( ) joukkoja sekä vastaaville joukoille määriteltyjä algebrallisia operaatioita . Kaikille luetelluille numeerisille joukoille, paitsi kompleksiluvuille, määritellään myös lineaarinen järjestyssuhde , joka mahdollistaa lukujen suuruuden vertailun. Numeeriset avaruudet ovat numeerisia joukkoja yhdessä vastaavaan joukkoon määritetyn etäisyysfunktion kanssa. $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Yleisimmässä tapauksessa numeerinen funktio on funktio, joka ottaa arvoja reaalilukujen kentässä ja määritellään mielivaltaisessa (useimmiten) metriavaruudessa . Tällainen on esimerkiksi joukon osoitin tai ominaistoiminto . Toinen esimerkki numeerisesta funktiosta on etäisyysfunktio (tai vastaavasti metriikka).

Reaali- tai kompleksilukujoukolle annettuja numeerisia toimintoja kutsutaan todellisen tai kompleksimuuttujan funktioiksi, ja niitä tarkastellaan analyysissä :

reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita otetaan huomioon laskennassa ,
kompleksisen muuttujan kompleksiarvoisia funktioita otetaan huomioon kompleksisessa analyysissä .

Analyysin tärkein huomioitava aihe on numeeristen funktioiden esittäminen approksimaatiojärjestelmän muodossa (numeeriset ja funktionaaliset sarjat).

Numeerisilla funktioilla on sekä yleisiä ominaisuuksia, joita mielivaltaisten metriavaruuksien kuvauksilla voi olla (esimerkiksi jatkuvuus) että useita ominaisuuksia, jotka liittyvät suoraan numeeristen avaruuksien luonteeseen. Nämä ovat ominaisuuksia

differentioitavuus , integroitavuus , summattavuus , mitattavuus (mielivaltaisille numeerisille funktioille);

ja myös ominaisuudet

pariteetti ( omituisuus ), monotonisuus (todellisen muuttujan reaaliarvoisille funktioille);
analyyttisyys , moninkertaisuus (kompleksisen muuttujan kompleksiarvoisille funktioille).

Numeerisia funktioita käytetään laajasti käytännössä sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa.

Ominaisuudet

Tilaussuhteeseen liittyvät ominaisuudet

Olkoon sitten annettu funktio $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

funktiota kutsutaan kasvavaksi jos _ $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Oikeanuoli f(x)\geq f(y);

funktiota kutsutaan tiukasti kasvavaksi jos $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Oikeanuoli f(x)>f(y);

funktiota kutsutaan pieneneväksi jos _ $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Oikeanuoli f(x)\leq f(y);

funktiota kutsutaan tiukasti laskevaksi jos $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Oikeanuoli f(x)<f(y).

(Tarkasti) kasvavan tai laskevan funktion sanotaan olevan (tiukasti) monotoninen.

Jaksoisuus

Funktiota kutsutaan jaksolliseksi, jos se on tosi $f\kaksoispiste M\:ksi$ $T\not=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Jos tämä yhtäläisyys ei täyty millekään , funktiota kutsutaan jaksolliseksi . $T\in M,\,T\not =0$ $f$

Pariteetti

Funktiota kutsutaan parittomaksi, jos yhtälö $f\colon X\to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Funktiota kutsutaan vaikka yhtälö $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Funktio äärimmäinen

Olkoon funktio ja määritelmäalueen sisäpiste $f\colon M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ kutsutaan absoluuttiseksi (globaaliksi) maksimipisteeksi if $\forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
$x_{0}$ kutsutaan absoluuttiseksi minimipisteeksi jos $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

Funktiokaavio

Olkoon kartoitus annettu . Silloin sen kuvaaja on joukko , jossa tarkoittaa sarjojen ja . $F:X\Y$ $\Gamma$
$\Gamma =\{(x,F(x))\mid x\in X\}\osajoukko X\kertaa Y$
$X \kertaa Y$ $X$ $Y$
- Jatkuvan funktion kuvaaja on käyrä kaksiulotteisella tasolla. $F:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
- Jatkuvan funktion kuvaaja on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa. $F:{\mathbb {R}}^{2}\to {\mathbb {R}}$

Esimerkkejä

Dirichlet-toiminto
- Palauttaa yhden , jos argumentti on rationaalinen luku , jos se on irrationaalinen , palauttaa nollan . $D(x)={\begin{cases}1,&x\in {\mathbb {Q}}\\0,&x\not \in {\mathbb {Q}}\end{cases}}$
- Määritelmäalue: (koko numeerinen akseli ). $\mathbb {R}$
- Arvoalue: . $\vasen\{0,1\oikea\}$

sgn(x)-funktio
- Palauttaa argumentin merkin. $\operaattorinnimi{sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$
- Määritelmäalue: . $\mathbb {R}$
- Arvoalue: . $\vasen\{-1,0,+1\oikea\}$

$y={\sqrt {1-x^{2}}}$
- Määritelmäalue: . $\vasen[-1,+1\oikea]$
- Arvoalue: . $\vasen[0,+1\oikea]$

Factorial
- Palauttaa kaikkien luonnollisten lukujen tulon, jotka eivät ole suurempia kuin annettu. Lisäksi ,. $0! = 1$ $n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}$
- Määritelmäalue: (joukko luonnollisia lukuja nollalla). $\mathbb{N} _{0}$
- Arvoalue: $\vasen\{1,2,6,24,120,\ldots\right\}$

Antje (sukupuoli)
- Palauttaa luvun kokonaislukuosan. $\lfloor x\rfloor =\max \left\{q\in \mathbb{Z } \mid q\leqslant x\right\}$
- Määritelmäalue: . $\mathbb {R}$
- Arvoalue: . $\mathbb {Z}$

Tapoja määrittää funktio

Sanallinen

Luonnollisen kielen käyttö

Y on yhtä suuri kuin x:n kokonaislukuosa.

Analyyttinen

Käyttämällä kaavaa ja standardimerkintää

f(x)=x!

Graafinen

Kaavion avulla

Taulukkomainen

Arvotaulukon käyttö

x	0	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9
y	yksi	yksi	2	3	5	kahdeksan	13	21	34	55

Analyyttinen menetelmä

analyyttisellä tavalla. Useimmiten laki, joka määrittää argumentin ja funktion välisen suhteen, määritellään kaavojen avulla. Tätä funktion määrittelytapaa kutsutaan analyyttiseksi. Tämä menetelmä mahdollistaa sen, että jokainen argumentin x numeerinen arvo löytää funktion y vastaavan numeerisen arvon tarkasti tai jollain tarkkuudella. Jos x:n ja y:n välinen suhde on annettu kaavalla, joka ratkaistaan y:n suhteen, ts. on muotoa y = f(x), niin sanomme, että x:n funktio on annettu eksplisiittisesti. Jos arvot x ja y liittyvät toisiinsa jollain yhtälöllä muotoa F(x,y) = 0, ts. kaava ei ole sallittu y:n suhteen, mikä tarkoittaa, että funktio y = f(x) on implisiittisesti määritelty. Funktio voidaan määritellä eri kaavoilla sen tehtäväalueen eri osissa. Analyyttinen menetelmä on yleisin tapa määritellä funktioita. Kompaktisuus, tiiviys, kyky laskea funktion arvo mielivaltaiselle argumentin arvolle määritelmäalueelta, kyky soveltaa matemaattisen analyysin laitteistoa tiettyyn funktioon ovat analyyttisen määritysmenetelmän tärkeimmät edut. toiminto. Haittoja ovat näkyvyyden puute, jota kompensoi kyky rakentaa kuvaaja ja tarve suorittaa joskus erittäin hankalia laskelmia.

Esimerkkejä:

$f\left(x\right)=x^{2}$ ;
$f\left(x,y\right)=x\tai y$ ;
$f\left(A\right)=\left|A\oikea|$ ;
$f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{cases}}$

Taulukkomuoto

Funktio voidaan määritellä luettelemalla kaikki sen mahdolliset argumentit ja niiden arvot. Tämän jälkeen funktiota voidaan tarvittaessa laajentaa argumenteille, joita ei ole taulukossa, interpoloimalla tai ekstrapoloimalla . Esimerkkejä ovat ohjelmaopas, juna-aikataulu tai loogisten funktioarvojen taulukko :

$x$	$y$	$x\land y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$yksi$	$0$
$yksi$	$0$	$0$
$yksi$	$yksi$	$yksi$

Graafinen tapa

Funktio voidaan määrittää graafisesti näyttämällä sen kuvaajan pisteitä tasossa. Tämä voi olla karkea luonnos siitä, miltä toiminnon pitäisi näyttää, tai lukemat, jotka on otettu instrumentista, kuten oskilloskoopista . Tämä spesifikaatio voi kärsiä tarkkuuden puutteesta , mutta joissakin tapauksissa muita määrittelymenetelmiä ei voida soveltaa ollenkaan. Lisäksi tämä asetustapa on yksi edustavimmista, helposti ymmärrettävistä ja laadukkaimmista funktion heuristisista analyyseista.

Rekursiivinen tapa

Funktio voidaan määritellä rekursiivisesti eli itsensä kautta. Tässä tapauksessa jotkin funktion arvot määritetään sen muiden arvojen kautta.

Esimerkkejä:

Sanallinen tapa

Funktiota voidaan kuvata luonnollisen kielen sanoilla jollain yksiselitteisellä tavalla, esimerkiksi kuvaamalla sen tulo- ja lähtöarvot tai algoritmi , jolla funktio määrittää vastaavuudet näiden arvojen välille. Graafisen tavan ohella tämä on joskus ainoa tapa kuvata funktiota, vaikka luonnolliset kielet eivät ole yhtä deterministisiä kuin muodolliset.

Esimerkkejä:

funktio, joka palauttaa luvun pi :n merkinnässä sen numerolla;
funktio, joka palauttaa atomien määrän universumissa tietyllä hetkellä ;
funktio, joka ottaa henkilön argumenttina ja palauttaa niiden ihmisten määrän, jotka syntyvät maailmaan hänen syntymänsä jälkeen.

Numeeristen funktioiden luokat

Historiallinen ääriviiva

Käsitteen syntyminen

Ilmiöiden ja luonnonlakien matemaattinen mallintaminen johtaa funktion käsitteeseen, joka alun perin rajoittuu algebrallisiin funktioihin ( polynomeihin ) ja trigonometriaan . Kuten muutkin matematiikan käsitteet, funktion yleinen käsite ei kehittynyt heti, vaan kehittyi pitkälle. Tietenkin muinaisina aikoina ihmiset käyttivät laskennassa alitajuisesti erilaisia funktioita (esimerkiksi neliöjuurta ) ja jopa yhtälöitä , mutta erillisenä matemaattisena objektina, joka mahdollistaa yleisen analyyttisen tutkimuksen, funktio saattoi ilmestyä vasta symbolisen luomisen jälkeen. Vietan algebra (XVI vuosisata) [2] . Jo 1600-luvulla Napier ottaessaan käyttöön logaritmisen funktion käytti kiertotapaa - hän määritti sen kinemaattisesti.

Aluksi tutkimuksen kohteeksi tuli erilaisia algebrallisia kaavoja . Descartes piti ei-algebrallisia riippuvuuksia vain harvinaisimpana poikkeuksena. Hänelle ja Fermatille kaavaa ei ymmärretä pelkästään laskennallisena algoritmina, vaan sitä pidetään jatkuvasti muuttuvan suuren (geometrisesti esitettävänä) muunnoksena toiseksi [3] . Teoksessa Barrow 's Lectures on Geometry, 1670 , erilaistumis- ja integraatiotoimintojen keskinäinen vastavuoroisuus vahvistetaan geometrisessa muodossa (tietenkin käyttämättä itse näitä termejä). Tämä jo todistaa funktion käsitteen täysin selkeästä hallussapidosta yhtenäisenä kohteena. Geometrisessä ja mekaanisessa muodossa löydämme myös funktion käsitteen Newtonista .

Matemaattinen termi "funktio" ilmestyi ensimmäisen kerran Leibnizin vuonna 1673 , ja lisäksi ei aivan sen nykyisessä merkityksessä: Leibniz kutsui aluksi erilaisia käyrään liittyviä segmenttejä (esimerkiksi sen pisteiden abskissoja) funktioiksi. Myöhemmin kuitenkin kirjeenvaihdossa Johann Bernoullin ( 1694 ) kanssa termin sisältö laajenee ja siitä tulee lopulta synonyymi sanalle "analyyttisesti annettu riippuvuus".

Ensimmäisellä painetulla kurssilla "Analysis of Infinitely Small for the Knowledge of Curved Lines", kirjoittaja Lopital ( 1696 ), termiä "funktio" ei käytetä.

Ensimmäiset yritykset määritellä

1700-luvun alussa laajennettiin kaikkia vakiotoimintoja ja monia muita. Pääasiassa Eulerin ( 1748 ) ansiosta niiden määritelmät tarkentuivat. Euler määritteli ensimmäisenä selvästi eksponentiaalisen funktion sekä logaritmisen funktion käänteisfunktiona ja antoi sarjalaajennukset. Ennen Euleria monet matemaatikot pitivät esimerkiksi tylpän kulman tangenttia positiivisena; Euler antoi nykyaikaiset määritelmät kaikille trigonometrisille funktioille (termiä "trigonometrinen funktio" itse ehdotti Klugel vuonna 1770 ).

Analyysisovelluksiin ilmestyy monia uusia transsendenttisia toimintoja. Kun Goldbach ja Bernoulli yrittivät löytää jatkuvaa analogia faktoriaalille, nuori Euler kertoi kirjeessään Goldbachille gammafunktion ominaisuuksista (1729, otsikko Legendren mukaan ). Vuotta myöhemmin Euler löysi beta-funktion ja palasi sitten toistuvasti tähän aiheeseen. Gammafunktiolla ja siihen liittyvillä funktioilla (beta, zeta, sylinterimäinen (Bessel)) on lukuisia sovelluksia analyysissä sekä lukuteoriassa, ja Riemannin zeta-funktio on osoittautunut välttämättömäksi työkaluksi alkulukujakauman tutkimisessa luonnollisessa sarja.

Vuonna 1757 Vincenzo Riccati tutkiessaan hyperbelin sektoreita esittelee hyperboliset funktiot ch, sh (tällaisella merkinnällä) ja luettelee niiden tärkeimmät ominaisuudet. Useita uusia toimintoja on syntynyt eri lausekkeiden integroimattomuuden yhteydessä. Euler määritteli (1768) integraalilogaritmin (nimen ehdotti I. Zoldner , 1809), L. Mascheroni - integraalisinin ja kosinin ( 1790 ). Pian ilmestyy myös uusi matematiikan haara: erikoisfunktiot .

Tälle kirjavalle kokoelmalle oli tehtävä jotain, ja matemaatikot tekivät radikaalin päätöksen: kaikki toiminnot, niiden alkuperästä riippumatta, julistettiin samanarvoisiksi. Ainoa funktion vaatimus on varmuus, eikä se tarkoita itse funktion ainutlaatuisuutta (se voi olla moniarvoinen ), vaan sen arvojen laskentamenetelmän yksiselitteisyyttä.

Ensimmäinen yleinen funktion määritelmä löytyy Johann Bernoullista ( 1718 ): "Funktio on suure, joka koostuu muuttujasta ja vakiosta." Tämä ei aivan erillinen määritelmä perustuu ajatukseen funktion määrittämisestä analyyttisen kaavan avulla. Sama ajatus esiintyy Eulerin määritelmässä , jonka hän antoi teoksessa "Introduction to the Analysis of Infinites" ( 1748 ): "Muuttuvan suuren funktio on analyyttinen lauseke, joka koostuu jollain tavalla tästä muuttuvasta suuresta ja luvuista tai vakiosuureista. "

Silti 1700-luvulla ei ollut riittävän selkeää ymmärrystä funktion ja sen analyyttisen ilmaisun välisestä erosta. Tämä näkyi kritiikissä, jonka Euler kohteli Bernoullin ( 1753 ) ratkaisulle kielten värähtelyongelmaan . Bernoullin ratkaisu perustui väitteeseen, että mikä tahansa funktio on mahdollista laajentaa trigonometriseksi sarjaksi. Tätä vastustaessaan Euler huomautti, että tällainen hajotettavuus antaisi analyyttisen lausekkeen mille tahansa funktiolle, kun taas funktiolla ei ehkä sellaista ole (se voidaan antaa "käden vapaalla liikkeellä piirretyllä" graafilla).

Tämä kritiikki on vakuuttavaa myös nykyajan näkökulmasta, koska kaikki funktiot eivät mahdollista analyyttistä esitystä (vaikka Bernoulli puhuu jatkuvasta funktiosta, joka, kuten Weierstrass totesi vuonna 1885 , on aina analyyttisesti esitettävä, mutta se ei välttämättä laajene analyyttiseksi funktioksi. trigonometrinen sarja). Eulerin muut väitteet ovat kuitenkin jo vääriä [4] . Hän esimerkiksi uskoi, että funktion laajentaminen trigonometriseksi sarjaksi tarjoaa sille yhden analyyttisen lausekkeen, kun taas se voi olla "sekoitettu" funktio, joka voidaan esittää eri segmenteillä eri kaavoilla. Itse asiassa toinen ei ole ristiriidassa toistensa kanssa, mutta tuolloin näytti mahdottomalta, että kaksi analyyttistä lauseketta, jotka osuvat yhteen segmentin osassa, eivät yhtyisi sen koko pituudelta. Myöhemmin monien muuttujien funktioita tutkiessaan hän tajusi aikaisemman määritelmän rajoitukset ja tunnisti epäjatkuvia funktioita ja sitten kompleksisen logaritmin tutkimisen jälkeen jopa moniarvoisia funktioita.

Äärettömän sarjan teorian vaikutuksesta, joka antoi algebrallisen esityksen lähes kaikista tasaisista riippuvuuksista, eksplisiittisen kaavan läsnäolo lakkasi vähitellen olemasta pakollista funktiolle. Esimerkiksi logaritmi tai eksponenttifunktio lasketaan äärettömän sarjan rajoilla; tämä lähestymistapa on laajentunut muihin ei-standarditoimintoihin. He alkoivat käsitellä sarjoja äärellisinä lausekkeina, aluksi perustelematta operaatioiden oikeellisuutta millään tavalla ja takaamatta edes sarjan lähentymistä.

Alkaen teoksesta "The Calculus of Differentials" ( 1755 ), Euler itse asiassa hyväksyy nykyaikaisen numeerisen funktion määritelmän mielivaltaisena numeroiden vastaavuudena [4] :

Kun tietyt suureet ovat riippuvaisia muista siten, että kun jälkimmäiset muuttuvat, ne itse muuttuvat, niin ensimmäisiä kutsutaan jälkimmäisten funktioiksi.

Yleinen määritelmä

1800-luvun alusta lähtien funktion käsite on määritelty yhä useammin mainitsematta sen analyyttistä esitystä. "Differentiaali- ja integraalilaskennan tutkielmassa" ( 1797 - 1802 ) Lacroix sanoo: "Kaikkia suureita, joiden arvo riippuu yhdestä tai useammasta muusta suureesta, kutsutaan näiden jälkimmäisten funktioksi" riippumatta siitä, onko sen arvojen laskentamenetelmä. tunnettu tai tuntematon [5] .

Fourier'n teoksessa "Analyyttinen lämmön teoria" ( 1822 ) on lause: "Funktio tarkoittaa täysin mielivaltaista funktiota, toisin sanoen annettujen arvojen sarjaa, riippumatta siitä, onko yleislaki alainen ja joka vastaa kaikkia arvoja jotka sisältyvät välillä ja mikä tahansa määrä ". $fx$ $x$ $0$ $x$

Lähellä modernia ja Lobatševskin määritelmää :

... Yleinen funktion käsite edellyttää, että numeroa kutsutaan funktioksi, joka annetaan jokaiselle ja sen mukana muuttuu vähitellen. Funktion arvo voidaan antaa joko analyyttisellä lausekkeella tai ehdolla, joka tarjoaa keinon testata kaikki luvut ja valita niistä yksi, tai lopuksi riippuvuus voi olla olemassa ja jäädä tuntemattomaksi ... teoria myöntää riippuvuuden olemassaolon vain siinä mielessä, että luvut ovat samat muiden kanssa ymmärtääkseen ikään kuin dataa yhdessä. $x$ $x$ $x$

Siten funktion nykyaikainen määritelmä, joka ei sisällä viittauksia analyyttiseen tehtävään, joka tavallisesti liitetään Dirichletille , on ehdotettu toistuvasti ennen häntä. Tässä on Dirichlet'n määritelmä ( 1837 ):

y on muuttujan x (segmentillä ) funktio, jos jokainen x :n arvo (tässä segmentissä) vastaa täysin varmaa arvoa y , eikä sillä ole väliä, miten tämä vastaavuus muodostetaan - analyyttisellä kaavalla, graafilla , taulukko tai jopa vain sanat. $a\leqslant x\leqslant b$

1800-luvun loppuun mennessä funktion käsite kasvoi numeeristen järjestelmien kehyksen ulkopuolelle. Vektorifunktiot olivat ensimmäisiä, jotka tekivät tämän , Frege esitteli pian loogiset funktiot ( 1879 ), ja joukkoteorian tultua Dedekind ( 1887 ) ja Peano ( 1911 ) muotoilivat modernin yleismaailmallisen määritelmän.

Esimerkkejä

Implisiittiset funktiot

Funktiot voidaan määrittää käyttämällä muita funktioita ja yhtälöitä.

Oletetaan , että annetaan kahden muuttujan funktio, joka täyttää erityisehdot (implisiittisen funktiolauseen ehdot), sitten muodon yhtälö. $F$

F(x,y)=0

määrittää muodon implisiittisen funktion . $y=f(x)$

Yleiset funktiot

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Numeerisen funktion määritelmäalue ja arvoalue ovat numeerisen avaruuden osajoukko.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , s. 134-135.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , s. 137-138.
↑ 1 2 Yushkevich A.P., 1966 , s. 144-148.
↑ Lukija matematiikan historiasta. Matemaattinen analyysi. Todennäköisyysteoria / Toim. A. P. Juskevitš . - M . : Koulutus, 1977. - S. 84. - 224 s.

Kirjallisuus

Matematiikan historia, toimittanut A. P. Yushkevich kolmessa osassa, M .: Nauka.

Osa 1 Muinaisista ajoista nykyajan alkuun. (1970)
Osa 2 1600-luvun matematiikka. (1970)
Osa 3 1700-luvun matematiikka. (1972)

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Matemaattisen analyysin perusteet, osa 1, 3. painos, M., 1971 ;. Osa 2, 2. painos, M., 1980;
Kudrjavtsev L. D. Matemaattinen analyysi, 2. painos, osa 1-2, 1973,
Nikolsky S. M. Matemaattisen analyysin kurssi, 2. painos, osa 1-2, M., 1975;
Yushkevich A.P. Funktion käsitteen kehittämisestä // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1966. - Nro 17 . - S. 123-150 .