String kiista

Kiista kielestä , kiista värähtelevästä kielestä , kiista soivasta kielestä  on tieteellinen keskustelu, joka syntyi 1700-luvulla tuon ajan suurimpien tiedemiesten välillä kielten värähtelyjen tutkimuksen ympärillä . Kiistassa olivat mukana D'Alembert , Euler , D. Bernoulli ja Lagrange . Keskustelu koski funktion käsitteen määrittelyä ja vaikutti ratkaisevasti moniin matematiikan osa-alueisiin: osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriaan , matemaattiseen analyysiin ja reaalimuuttujan funktioteoriaan., trigonometristen Fourier-sarjojen teoria ja yleistettyjen funktioiden ja Sobolev-avaruuksien teoria .

Taustaa kiistaan

Mahdollisuus värähtelyjen teoreettiseen tutkimukseen mekaniikan näkökulmasta ilmaantui Newtonin lakien löytämisen ( 1687 ) ja infinitesimaali-, integraali- ja differentiaalilaskennan analyysin kehittymisen myötä. Erilaisia ​​tutkimuksia ovat kuitenkin tehneet tähän asti Galileo , Mersenne , Descartes , Huygens ja muut. [ 1] Vuonna 1625 Mersenne löysi taajuuden , jännityksen , poikkileikkausalan ja merkkijonon pituuden välisen suhteen suhteellisesti ilmaistuna. ]

Taylor selitti Mersennen lain teoreettisesti lähes vuosisataa myöhemmin, vuonna 1713 . Hänen työnsä tutkii merkkijonon poikkeamaa alkuperäisestä sijainnistaan ​​ilmaistuna funktiona .

Taylor uskoi, että milloin tahansa kielellä tulisi olla sinimuotoinen muoto (joka itse asiassa osoittautuu värähtelevän merkkijonon yksinkertaisin muoto) [2] , jonka amplitudi riippuu ajasta ja että kaikissa alkuolosuhteissa merkkijonolla on taipumus mennä sellaiseen "maa"-tilaan (mikä, kuten käy ilmi, ei ole totta). [1] Tätä lähestymistapaa, jota joskus kutsutaan "seisovan aallon menetelmäksi", jatkoi D. Bernoulli , mutta se sai tiukan perustelun vain Fourier'n teoksissa.

Taylor totesi myös, että jännitysvoima , joka vaikuttaa merkkijonon äärettömään pieneen elementtiin ja on suunnattu sen taipumaan, on verrannollinen toiseen derivaataan . Myöhemmin d'Alembert alkoi pohtia poikkeaman riippuvuutta paitsi paikkakoordinaatista , myös ajasta . Tämä mahdollisti Newtonin toisen lain tiukan soveltamisen , mikä kuitenkin edellytti Taylorin tarkasteleman derivaatan luonteen uudelleenarviointia: siitä tuli osittainen derivaatta . Elementin kiihtyvyys kuvattiin toisella osittaisella derivaatalla: .

Vuonna 1747 d'Alembert muotoili uudelleen Taylorin löytämän lain osittaisdifferentiaaliyhtälöiden avulla ja kirjoitti kielen värähtelyn yhtälön nykyisessä muodossaan, jota kutsutaan aaltoyhtälöksi : [2]

D'Alembertin ja Eulerin ratkaisut

D'Alembert käyttää seuraavaa lähestymistapaa kielen värähtelyyhtälön ratkaisemiseen. Olettaen , hän huomasi, että kun merkkijonojen värähtelyyhtälö täyttyy, yhtälö [3]

ja päätteli, että kerroin differentiaalimuodossa on funktio ja voidaan laskea integroimalla tämän yhtälön oikea puoli. Tämä mahdollistaa lineaarisen järjestelmän kirjoittamisen funktion ensimmäisiin osittaisiin derivaattaisiin , joiden ratkaisu antaa funktion kokonaisdifferentiaalin . Jälkimmäinen palautetaan toistuvalla integroinnilla. Tämän menetelmän avulla voimme kirjoittaa merkkijonovärähtelyyhtälön ratkaisun muotoon

missä ja  ovat joitakin mielivaltaisia ​​funktioita , jotka on määritetty alkuehdoista . D'Alembert kutsui tällaista ratkaisua yleiseksi korostaen, että se on joukko erilaisia ​​ratkaisuja yhtälöön [4] .

Samanlaisen ratkaisun sai pian Euler , joka muotoili sen, mitä nyt kutsumme Cauchyn ongelmaksi annetulla merkkijonon alkumuodolla ja nollan alkunopeudella. Johdattaessa yhtälön merkkijonon värähtelylle ja harkitessaan sitä mielivaltaiseksi hän sai ratkaisun

hieman erilainen kuin d'Alembertin ratkaisu. [5] Vuonna 1766 Euler kehitti uuden menetelmän, joka tunnetaan nykyään ominaispiirteiden menetelmänä : siirtyessään koordinaatteihin hän kirjoittaa alkuperäisen yhtälön muodossa [5]

joka on helppo integroida.

Huolimatta siitä, että D'Alembert ja Euler saivat värähtelyyhtälön ratkaisuja, jotka olivat muodoltaan lähes identtisiä, he ymmärsivät niiden merkityksen eri tavoin. Keskeinen ongelma oli, että tuloksena saadut ratkaisut sisälsivät mielivaltaisia ​​funktioita . Siihen aikaan ei kuitenkaan ollut yleisesti hyväksyttyä funktion määritelmää, ja matemaatikot olivat eri mieltä siitä, mitkä funktiot ovat hyväksyttäviä analyysissä ja mitkä eivät. D'Alembertin ja Eulerin välinen erimielisyys tästä asiasta huipentui sarjaan julkaisuja, jotka aloittivat merkkijonokiistan, johon myöhemmin liittyi muitakin tutkijoita. [6]

Funktiomäärittely

1600-1700 - luvuilla syntyvässä matemaattisessa analyysissä oli kaksi pääasiallista lähestymistapaa: visuaalinen ei-tiukka mekaaninen geometrinen ja muodollinen algebrallinen . Näistä kahdesta näkökulmasta nähtiin myös funktion käsite. Mekanistisesta näkökulmasta katsottuna funktio on muuttuja, joka muuttuu ajan myötä , ja se juontaa juurensa Newtoniin ja Barrowiin . Jälkimmäinen tässä tapauksessa toimii argumenttina [7] . Toinen lähestymistapa funktioon, joka juontaa juurensa Fermatin ja Descartesin ajalle, mutta jonka Johann Bernoulli ( Daniel Bernoullin isä , jota käsitellään jäljempänä) ensin selkeästi muotoili, on, että "muuttujan funktio ... on suure, joka koostuu millään tavalla tästä muuttujasta ja vakioista” [8] , eli jokin kaava, argumentin analyyttinen ilmaus (ei välttämättä analyyttinen funktio nykyisessä merkityksessä). Myös operaatioiden luokka, jota voitiin käyttää funktioiden saamiseksi, vaihteli, mutta sisälsi yleensä aritmeettisen, juurenpoiston ja rajoihin siirtymisen , mikä mahdollisti äärettömien sarjojen tarkastelun [9] [10] . Ensimmäinen lähestymistapa tarjosi laajemman luokan funktioita, mutta ei 1700-luvun puoliväliin mennessä tiukkaa määritelmää eikä tehokkaita menetelmiä työskennellä niin yleisen funktiokäsitteen kanssa. matemaatikoilla ei ollut [11] , ja analyysissä sekä geometrisissa sovelluksissa tutkittiin yhdellä kaavalla annettuja funktioita [12] .

D'Alembert käsitteli jousiongelmaa ensisijaisesti puhtaan matemaatikon asenteesta, eikä pitänyt tavoitteenaan selittää sellaisia ​​fyysisiä vaikutuksia kuin kielen harmoninen ääni tai ylisävelilmiö . Se saattaa tuntua hieman oudolta, mutta tällainen alunperin fysiikasta johdettu lähestymistapa ongelmiin osoittautui erittäin tehokkaaksi 1700-luvun tieteessä [13] [14] . Näin ollen, kun otetaan huomioon kiinteiden päiden ja nollan alkunopeuden omaavan merkkijonon värähtely, d'Alembert kirjoittaa ratkaisun muotoon

oletetaan samalla, että funktio , joka määrittää merkkijonon sijainnin alkuhetkellä, on annettava jollain yhdellä säännöllä , joka pätee kaikille reaaliluvuille (niin että ratkaisu määräytyy mille tahansa ajanhetkelle), mutta siten, että se on pariton ja jaksollinen, jakson pituus on 2 l (missä l  on merkkijonon pituus), joka tarvitaan rajaehtojen täyttymiseen [13] .

Merkkijonon alkutila, joka on muuttunut pienellä aikavälillä
animaatio

Päinvastoin Eulerille oli selvää, että merkkijonolle voidaan antaa alkuhetkellä "käden vapaalla vetovoimalla" piirretyn lähes mielivaltaisen käyrän muoto [6] . Fysikaalisista näkökohdista hän ehdotti, että harkittaisiin välille määritettyä funktiota ja ulotettaisiin tämä funktio käyttämällä sen outoa ja jaksollisuutta kaikkiin reaalilukuihin. Tuloksena oleva objekti ei kuitenkaan ollut "funktio" siinä mielessä, kuin d'Alembert (ja jopa Euler itse aiemmin) siihen asetti [15] . Myöhemmin Euler ehdotti myös harkitsemista, että alkuehto (ja siten ratkaisu) voidaan antaa ei yhdellä analyyttisellä lausekkeella, vaan usealla ("palaittain analyyttinen" tehtävä), ja luopui myöhemmin analyyttisestä tehtävästä kokonaan [6] . Erityisesti hän salli ei-sileät funktiot "katkoineen" kaaviossa - jotka on luonnollista kuvitella, kun tarkastellaan yhteen pisteeseen piirrettyä merkkijonoa [16] .

Yhdessä pisteessä piirretyn merkkijonon alkutila
animaatio

D'Alembert huomautti, että on mahdotonta tarkastella mielivaltaista käyrää, koska se "on ristiriidassa analyysin sääntöjen kanssa" [17] , ja vaati, että alkuehto on annettava yhdellä jaksollisella, paritolla ja kaikkialla differentioituvalla funktiolla [16] . Toimintojen käyttö "kierteillä" sai erillistä kritiikkiä. D'Alembert kirjoitti, että värähtelyyhtälö itsessään edellyttää, että ratkaisulla on vähintään toinen osaderivaata. Jos alkuehto oli kuitenkin katkennut jossain vaiheessa, niin löydetyillä kaavoilla saatu ratkaisu osoittautui jossain vaiheessa missä tahansa ennalta määrätyssä pisteessä epätasaiseksi. Näin ollen se ei voinut täyttää yhtälöä katkaisupisteissä [16] . Tässä erityinen rooli oli hyperbolisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden (joihin merkkijonovärähtelyyhtälö kuuluu) ominaisuus säilyttää alkuehdon tasaisuus, ei lisätä sitä (mikä tapahtuu elliptisten yhtälöiden tapauksessa ) [18 ] .

Eulerin pääasiallinen vastaus yleisiin vastaväitteisiin oli se, että osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimus erosi merkittävästi yhden muuttujan funktioiden "tavallisesta analyysistä", jossa tarkastellaan pääasiassa yksittäisten analyyttisten lausekkeiden muunnoksia, eikä "sekafunktioita" ole tarpeen tarkastella [ 19] . Vastaus ei-sileitä ratkaisuja koskeviin vastaväitteisiin kiteytyi siihen tosiasiaan, että se eroaisi sileästä vain "äärettömän pienellä" määrällä, ja tämä ero voitiin jättää huomiotta - mikä ei tietenkään voinut sopia d'Alembertille [16 ] . Toinen argumentti oli, että Euler ehdotti alkuperäisen yhtälön "unottamista" ja katsoa, ​​että ilmiö kuvataan löydetyllä yleisratkaisulla, ei yhtälöllä [20] .

Fyysikon näkemys: D. Bernoullin ratkaisu

Daniil Bernoulli aloitti kiistan Eulerin ja d'Alembertin välillä kritisoimalla heidän ratkaisujaan fysiikan näkökulmasta äärimmäisen abstrakteina. Hän totesi julkaisuissaan, että nämä ovat merkittäviä matemaattisia tuloksia, mutta kysyi: "Mitä tekemistä soivilla kieleillä on sen kanssa?" [21] .

Värähtelyjen luonteesta saatujen ajatusten perusteella hän kehittää käsitystä sinimuotoisen "puhtaiden värähtelyjen" tärkeästä roolista , joka esiintyi jopa Taylorin kanssa. Hänen aavistuksensa oli, että mielivaltainen värähtely voitaisiin esittää useiden puhtaiden värähtelyjen "superpositio" tai summa ( superpositioperiaate ), mikä oli yhdenmukainen kielen havainnoinnin kanssa: sen ääni koostuu perusäänestä ja monia ylisävyjä . Bernoulli löysi ratkaisun värähtelyyhtälöön trigonometrisen sarjan summan muodossa ja väitti (jälleen fysikaalisten näkökohtien perusteella), että tällainen sarja voi edustaa mielivaltaista funktiota. Hän ei voinut vahvistaa tätä oletusta matemaattisesti - etenkään hän ei tiennyt kaavaa tällaisen sarjan kertoimien laskemiseksi. Siitä huolimatta hän uskoi, että hänen ratkaisullaan ei ole vain suurempi fyysinen merkitys kuin d'Alembertin ja Eulerin ratkaisuilla, vaan se on myös yleisempi [22] .

Tuohon aikaan sarjat olivat tärkeä tutkimuskohde, ja monet matemaatikot (mukaan lukien Newton) pitivät potenssisarjoja (reaalieksponenteilla) universaalina tapana kirjoittaa mielivaltaisia ​​funktioita [23] . Tuolloin ei kuitenkaan saavutettu vaadittua trigonometrisen sarjan ymmärryksen tasoa, eikä d'Alembert eikä Euler ole yhtä mieltä siitä, että trigonometrinen sarja kykenee kuvaamaan riittävän laajaa funktioluokkaa. Tätä väärinkäsitystä pahensi tuolloin laajalle levinnyt käsitys, että jos kaksi analyyttistä lauseketta osuvat yhteen jossain numeerisen akselin osassa, ne ovat samat kaikkialla. Näin ollen Euler ei voinut uskoa, että trigonometrinen sarja voisi kuvata vain pienellä alueella häiriintyneen merkkijonon käyttäytymistä. Vastalauseita herätti myös sarjana esitettävän funktion jaksollisuusvaatimus , joka luonnollisesti seuraa termien jaksotuksesta [24] [25] .

Vasta paljon myöhemmissä Fourier'n teoksissa (1800-luvun alussa) osoitettiin, että jopa sellaiset funktiot, joissa on taukoja, joita ei voida kuvata potenssisarjalla (eikä analyyttisiä nykyisessä merkityksessä), voidaan esittää tietyllä segmentillä trigonometrisesti. sarja. Fourier-sarjojen konvergenssikysymysten lisätutkimus johti Kantorin joukkoteorian rakentamiseen ja viime kädessä modernin funktionaalisen analyysin syntymiseen [26] .

Yleiset funktiot

Fourier'n tulokset vastasivat yhteen merkkijonoa koskevan argumentin avainkysymyksistä: laajan funktioluokan esitettävyydestä trigonometrisen sarjan avulla. Toinen kiistan lähde - epätasaisten alkuolosuhteiden mahdollisuuteen liittyvä paradoksi ja siten ratkaisut - jäi kuitenkin avoimeksi paitsi 1700 -luvulla myös 1800-luvulla . Se ratkesi vasta 1900- luvulla yleisten toimintojen (jakaumien) laitteiston myötä [6] . Tämän teorian perustan loi vuoden 1936 lopulla S. L. Sobolev tutkimalla hyperbolisten yhtälöiden Cauchyn ongelmaa (joihin sisältyy merkkijonojen värähtelyyhtälö ), ja Laurent Schwartz kehitti sitä tiukasti 1950 - luvulla [27] . .

Ajatuksena on korvata värähtelyyhtälö vastaavalla (tietyssä mielessä) integraaliyhtälöllä , jonka ratkaisua ei enää haeta kaksinkertaisen sileäfunktioiden luokasta , vaan ns. Sobolev - avaruuksista , jotka ovat jatkuvien funktioiden avaruus jonkin erikoismetriikan suhteen . Voidaan myös olettaa, että ei-sileän funktion derivaatat , jotka ovat merkkijonovärähtelyyhtälön vasemmalla puolella, ovat yleistetty funktio, ja yhtälö pätee yleistettyjen funktioiden merkityksessä [28] .

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Jushkevich 1972, s. 412.
  2. ↑ 1 2 3 Stillwell, s. 242
  3. ↑ Jushkevich 1972, s. 413
  4. ↑ Jushkevich 1972, s. 414
  5. ↑ 1 2 Jushkevich 1972, s. 415
  6. ↑ 1 2 3 4 Jushkevich 1972, s. 416
  7. ↑ Jushkevich 1970, s. 143-144
  8. ↑ Johannes. Bernoulli , Opera omnia, v. II, Lausannae-Genevae, 1742, s. 241. Op. mukaan: Yushkevich 1970, s. 147
  9. ↑ Jushkevich 1970, s. 147
  10. ↑ Jushkevich 1972, s. 250
  11. ↑ Jushkevich 1970, s. 144
  12. ↑ Jushkevich 1972, s. 252
  13. ↑ 12 Ravetz , s. 75
  14. ↑ Christensen, s. 36
  15. ↑ Ravetz, s. 76
  16. ↑ 1 2 3 4 Wheeler ja Crummett, s. 35
  17. ↑ Kleiner, s. 287
  18. ↑ Katso esim. Mikhailov VP Differentiaaliyhtälöt osittaisissa derivaatoissa. - M .: Nauka, 1976. - S. 35. - 391 s.
  19. ↑ Ravetz, s. 81
  20. ↑ Ravetz, s. 83
  21. ↑ Ravetz, s. 78
  22. ↑ Jushkevich 1972, s. 417-418
  23. ↑ Juskevitš 1972, 250-251
  24. ↑ Jushkevich 1972, s. 418
  25. ↑ Kleiner, s. 285
  26. ↑ Stillwell, s. 244-245
  27. ↑ Katso esim. Kutateladze S.S. Sergey Sobolev ja Laurent Schwartz: Kaksi kohtaloa, kaksi kunniaa  // Siperian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , nro 3 . - s. 5-14 . Arkistoitu alkuperäisestä 5. lokakuuta 2013.
  28. ↑ Katso esim. Mikhailov VP Differentiaaliyhtälöt osittaisissa derivaatoissa. - M .: Nauka, 1976. - S. 266-298. — 391 s.

Kirjallisuus