Aaltoyhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5.6.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 20 muokkausta .

Fysiikan aaltoyhtälö on lineaarinen hyperbolinen osittaisdifferentiaaliyhtälö , joka määrittelee ohuen kalvon tai nauhan pienet poikittaiset värähtelyt sekä muut värähtelyprosessit jatkuvassa väliaineessa ( akustiikka , enimmäkseen lineaarinen: ääni kaasuissa, nesteissä ja kiinteissä aineissa) ja sähkömagnetismin ( sähködynamiikka ). Sillä on käyttöä myös muilla teoreettisen fysiikan alueilla, esimerkiksi gravitaatioaaltojen kuvauksessa. Se on yksi matemaattisen fysiikan perusyhtälöistä .

Yhtälön tyyppi

Moniulotteisessa tapauksessa homogeeninen aaltoyhtälö kirjoitetaan muodossa

\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}

missä on Laplace-operaattori , on tuntematon funktio, on aika, on spatiaalinen muuttuja, on vaihenopeus . $\Delta$ $u=u(x,t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $v$

Johtopäätös kolmiulotteisesta tapauksesta.

Yllä olevat laskelmat voidaan tietysti myös yleistää moniulotteisiin tapauksiin. Niin.

Olkoon tasoaaltoyhtälö:

A({\vec {r)),t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\ oikein),

missä

$A(x,t)$ on häiriön suuruus tietyssä pisteessä tilaa ja aikaa ; $x$ $t$
${\näyttötyyli A_{0))$ on aallon amplitudi ;
$\omega$ - pyöreä taajuus ;
${\vec {k}}$ on aaltovektori yhtä suuri kuin $k{\vec {n))$

missä

$k$ on aaltonumero ;
${\vec {n}}$ on aaltorintamaan piirretty yksikkönormaalivektori

${\vec {r}}\vasen(x,y,z\oikea)$ on pisteen sädevektori koordinaatteineen ja ; $x,y$ $z$
$({\vec {k)],{\vec {r)))$ on vektorien ja skalaaritulo . Tässä ja alla skalaaritulo merkitään tällä tavalla; $\vec{k}$ ${\vec {r))$
$\varphi_{0}$ on värähtelyjen alkuvaihe .

Erottelemme sen suhteessa , suhteessa , suhteessa ja suhteessa . Saamme neljä yhtälöä: $x$ ${\näyttötyyli y}$ $z$ $t$

\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2))}=-\omega ^{2 }A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A( {\vec {r)),t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{ 2))}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0} \right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\ vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}}, {\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(3\right)\ \{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2))}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\ vasen(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\oikea)=-k_{z}^{2}A({\vec {r }},t)\qquad \left(4\right)\end{matriisi}}\oikea.

Lisää ja $\vasen(2\oikea),\vasen(3\oikea)$ $\vasen(4\oikea):$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\osittais y^{2))}+{\cfrac {\osittais ^{2}A({\vec {r)),t)}{\osittais z^{2)) }=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k }}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)

Saatu yhtälöstä ja korvaamalla yhtälön , saamme sen $\vasen(1\oikea),$ ${\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\osittais y^{2))}+{\cfrac {\osittais ^{2}A({\vec {r)),t)}{\osittais z^{2)) }={\cfrac {1}{v^{2))}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\osittais t^{2)) }\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r)),t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\osittainen t^{2}}}

Yksiulotteisessa tapauksessa yhtälöä kutsutaan myös merkkijonon värähtelyyhtälöksi tai sauvan pitkittäisvärähtelyyhtälöksi ja se kirjoitetaan

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {1}{v^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{ \osittainen t^{2}}}

Tämä yhtälö voidaan tulkita seuraavasti. Koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen, voima (Newtonin toinen laki), on verrannollinen merkkijonon kaarevuuteen (toinen derivaatta koordinaatin suhteen). Toisin sanoen, mitä korkeampi kaarevuus langan "kuhmuilla" on, sitä suurempi voima vaikuttaa kielen tähän osaan.

D'Alembert-operaattori

Erotusta kutsutaan d'Alembert-operaattoriksi ja se merkitään (eri lähteet käyttävät erilaisia merkkejä). Siten homogeeninen aaltoyhtälö kirjoitetaan käyttämällä d'Alembert (dalambertian) -operaattoria $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ $\neliö$

\neliö u=0

Epähomogeeninen yhtälö

On myös mahdollista tarkastella epähomogeenista aaltoyhtälöä

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=v^{2}\Delta u+f

missä on ulkoisen toiminnan (ulkoisen voiman) tietty funktio. $f=f(x,t)$

Aaltoyhtälön stationäärinen versio on Laplacen yhtälö ( epähomogeenisessa tapauksessa Poissonin yhtälö).

Ongelma aaltoyhtälön kuvaaman järjestelmän normaalivärähtelyjen löytämisestä johtaa Laplacen yhtälön ominaisarvoongelmaan eli ratkaisujen löytämiseen Helmholtzin yhtälöön , joka saadaan korvaamalla

$u(x,t)=v(x)e^{{i\omega t}}\$ tai . $u(x,t)=v(x)\,{\mathop {{\rm {cos))))\,(\omega t)\$

Aaltoyhtälön ratkaisu

Hyperboliselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle on olemassa analyyttinen ratkaisu. Mielivaltaisessa euklidisessa avaruudessa sitä kutsutaan Kirchhoffin kaavaksi. Erityistapaukset: merkkijonovärähtelylle ( ) — d'Alembertin kaava , kalvovärähtelylle ( ) — Poissonin kaava . ${\mathbb {R}}^{1}$ $\mathbb {R} ^{2}$

D'Alembertin kaava

Yksiulotteisen aaltoyhtälön ratkaisu (tässä vaihenopeus) $v=a$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)\quad

(toiminto vastaa ulkoista käyttövoimaa)

f(x,t)

alkuehtojen kanssa

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

on muotoa

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a))\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{{xa(t-\tau )}}^{{x+a(t-\tau )}}f(s,\tau )dsd\tau

On mielenkiintoista huomata, että homogeenisen ongelman ratkaisu

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

jolla on seuraava muoto:

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }

voidaan esittää muodossa

u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)

missä

f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{0}}^{{x}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{x}}^{{0}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

Tässä tapauksessa sanomme, että ratkaisu esitetään liikkuvien aaltojen summana, ja funktiot ja ovat vasempaan ja oikealle kulkevien aaltojen profiilit. Tarkasteltavana olevassa tapauksessa aaltoprofiilit eivät muutu ajan myötä. $f_1(x)$ $f_{2}(x)$

Moniulotteisessa tapauksessa Cauchyn ongelman ratkaisu voidaan hajottaa myös liikkuviksi aalloksi, mutta ei summaksi, vaan integraaliksi, koska suuntia on äärettömän monta. Tämä tehdään periaatteessa Fourier-muunnoksen avulla

Ongelma puoliviivalla

Tarkastellaan puoliviivan värähtelyjen homogeenista yhtälöä $[0;+\infty )$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

kiinteällä päässä:

u(0,t)=0

ja alkuehdot

u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)

Jotta ongelmalla olisi ratkaisu, alkuehtojen ja rajaehdon on oltava johdonmukaisia, nimittäin:

\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0

Puoliviivan ongelma voidaan helposti pelkistää linjan ongelmaksi, kun jatkamme alkuehtoja antisymmetrisesti:

\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )

Koska alkuehdot ovat parittomat funktiot, on loogista olettaa, että ratkaisu on myös pariton funktio. Tämä voidaan todentaa suoraan tarkastelemalla ratkaisua d'Alembertin kaavan muodossa. Näin ollen tuloksena oleva ratkaisu u(x, t) täyttää alkuehdot ja reunaehdon (jälkimmäinen seuraa funktion parittomuudesta). $\varphi(x),\psi(x)$ $u(x, t)$ $u(0,t)=0$

Esitettyä tekniikkaa käytetään laajasti (ei vain aaltoyhtälössä) ja sitä kutsutaan heijastusmenetelmäksi . Voidaan esimerkiksi tarkastella aaltoyhtälöä puoliviivalla, mutta toisen tyyppisen rajaehdon lopussa : $x=0$

u_{x}(0,t)=0

Fyysisesti ehto tarkoittaa, että tangon vasen pää (jos tarkastelemme järjestelmää tangon pitkittäisvärähtelynä) on vapaa, eli siihen ei vaikuta voimaa.

Ratkaisumenetelmät rajoitetussa yksiulotteisessa toimialueella

Heijastusmenetelmä

Tarkastellaan yksiulotteista homogeenista aaltoyhtälöä segmentillä $[0,a]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

ensimmäisen tyyppisillä homogeenisilla reunaehdoilla (eli kiinteillä päillä)

u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0

ja alkuehdot

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]

Heijastusmenetelmällä ongelma voidaan jälleen pelkistää suoran viivan ongelmaksi. Tässä tapauksessa tarvitaan ääretön määrä heijastuksia, minkä seurauksena jatkuvat alkuehdot määritetään seuraavasti:

\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

Kun tarkastellaan epähomogeenistä aaltoyhtälöä:

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)

täsmälleen samoja huomioita käytetään, ja toiminto jatkuu samalla tavalla. $f(x,t)$

Fourier-menetelmä

Tarkastellaan jälleen yksiulotteista homogeenista aaltoyhtälöä alueella $[0,l]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

ensimmäisen tyyppisten homogeenisten rajaehtojen kanssa

u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0

ja alkuehdot

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]

Fourier-menetelmä perustuu ratkaisun esittämiseen (äärettömänä) lineaarisena yhdistelmänä muodon ongelman yksinkertaisia ratkaisuja.

X(x)T(t)

, jossa molemmat funktiot riippuvat vain yhdestä muuttujasta.

Tästä syystä menetelmän toinen nimi on muuttujien erottelumenetelmä.

On helppo osoittaa, että jotta funktio olisi ratkaisu värähtelyyhtälöön ja täyttäisi reunaehdot, on välttämätöntä, että ehdot $u(x,t)=X(x)T(t)$

X(0)=0\qquad X(l)=0

a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)

T''(t)=-\lambda T(t)

Sturm-Liouvillen ongelman ratkaisu ei johda vastaukseen: $X(x)$

X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l))\right)\qquad n\in \mathbf {N}

ja omia arvojaan $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Niiden vastaavat toiminnot näyttävät $T$

T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).

Siten niiden lineaarinen yhdistelmä (olettaen, että sarja konvergoi) on ratkaisu sekaongelmaan

u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+ \infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n }t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l)).

Laajentamalla funktioita Fourier-sarjassa voidaan saada kertoimet , joille ratkaisulla on tällaiset alkuehdot. $\varphi(x),\psi(x)$ $\alpha _{n},\beta _{n}$

Wave-laskentatapa

Tarkastellaan jälleen yksiulotteista homogeenista aaltoyhtälöä alueella $[0,a]$

u_{{tt}}=u_{{xx}},

Tällä kertaa asetimme kuitenkin homogeeniset alkuehdot

u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]

ja epähomogeeninen raja. Oletetaan esimerkiksi, että tangon päiden sijainnin riippuvuus ajasta on annettu (ensimmäisen lajin rajaehto)

u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)

Ratkaisu kirjoitetaan muodossa

u(x,t)=\summa _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\mu (tx-2ka)-\mu (t+x-(2k+2) a){\biggr ]}+\sum _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (tx -(2k+1)a){\biggr ]}

Se, että se täyttää yhtälön ja alkurajaehdot, voidaan todentaa suoraan. Mielenkiintoinen tulkinta on, että jokainen ratkaisun termi vastaa jonkin raja-aallon heijastusta. Esimerkiksi vasen reunaehto luo muodon aallon

\mu (tx),

joka saavuttaa oikean pään ajassa a heijastuu ja antaa panoksen

\mu (t+x-2a),

hetken kuluttua a heijastuu uudelleen ja osallistuu

\mu (tx-2a),

Tämä prosessi jatkuu loputtomiin laskemalla yhteen kaikkien aaltojen panokset ja saamme osoitetun ratkaisun. Jos olemme kiinnostuneita välin ratkaisusta , voimme rajoittua vain ensimmäisiin termeihin. $[0,T]$ $\lceil T/a\rceil$

Tasoelektromagneettisen aallon yhtälö

Kirjoitamme Maxwellin yhtälöt differentiaalimuodossa:

$\operaattorin nimi {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\operaattorin nimi {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operaattorin nimi {div} \mathbf {B} =0$

$\operaattorin nimi {div} \mathbf {D} =\rho$

$\mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H}$

$\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {E}$ on sähkökentän voimakkuusvektori

$\mathbf {H}$ on magneettikentän voimakkuusvektori

$\mathbf {B}$ on magneettinen induktiovektori

$\mathbf {D}$ on sähköinen induktiovektori

$\mu$ — magneettinen permeabiliteetti

$\mu_{0}$ - magneettinen vakio

$\varepsilon$ - sähköinen läpäisevyys

$\varepsilon_{0}$ - sähkövakio

$\mathbf {j}$ on virrantiheys

$\rho$ - lataustiheys

$\operaattorinimi{rot}$ — roottori , tasauspyörästön käyttö, $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k } \\{\frac {\partial }{\partial x))&{\frac {\partial }{\partial y))&{\frac {\partial }{\partial z))\\E_{x} &E_{y}&E_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\oikea)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}} \right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right) \mathbf {k}$

${\näyttötyyli \operaattorin nimi {div} }$ - ero , ero, $\operatorname {div} \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{ y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}$

$\Delta$ - Laplace-operaattori, , [1] $\Delta \mathbf {E} =\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k}$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

Sähkömagneettiselle aallolle , siis: $\mathbf {j} =0$ $\rho =0$

$\operaattorin nimi {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operaattorinnimi {div} \mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\operaattorinimi {div} \mathbf {E} =0$

Mukaan omaisuuden vektorikenttä curl . Korvaamalla tämän ja saamme: $\operaattorinnimi {rot} \operaattorinnimi {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\operaattorinnimi {grad} } (\operaattorinnimi {div} \mathbf {E} )-\Delta E$ $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\operaattorin nimi {div} \mathbf {E} =0$

$\operaattorin nimi {rot} \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-\Delta \mathbf {E}$

$\Delta \mathbf {E} =\operaattorinimi {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {\partial }{\partial t))\operaattorin nimi {rot} \mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\operaattorin nimi {rot} \mathbf {H}$ korvaamme tämän Maxwellin yhtälöistä , saamme: $\operaattorin nimi {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\oikea)$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\partial ^{2}\mathbf {D} \over \partial t^{2))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [2]

${\displaystyle c=1/{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0))))$

$\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} ={\frac {1}{c^{2 ))}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

Vektori värähtelee tasossa, joka on kohtisuorassa akseliin nähden , joten . $\mathbf {E}$ $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\Delta E_{y}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{ 2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

Aalto etenee pitkin akselia , joten se ei riipu koordinaateista ja : $X$ $\mathbf {E}$ $y$ $z$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$

Samanlainen lauseke voidaan saada : $\mathbf {H}$

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}( {\osittais ^{2}E_{y} \over \partial t^{2)))\\{\frac {\osittinen ^{2}H_{z)){\osittinen x^{2))}= {\frac {1}{c^{2}}}({\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}})\end{cases}}$ (yksi)

Yksinkertaisin ratkaisu näihin yhtälöihin ovat funktiot [3] :

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$k$ - aaltonumero . Etsitään se korvaamalla yhtälö (2) ensimmäiseen yhtälöön (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

Täältä löydämme sen $k={\frac {\omega }{c}}$

Sähkömagneettisen aallon sähköisten ja magneettisten komponenttien amplitudien suhde

$\operaattorin nimi {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \ mathbf {H} }{\osittais t))$

$\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =-\mu \mu _ {0}{\frac {\partial }{\partial t))(H_{x}\mathbf {i} +H_{y}\mathbf {j} +H_{z}\mathbf {k} )$

Aalto liikkuu akselia pitkin , joten derivaatat suhteessa ja ovat yhtä suuret kuin nolla. $X$ $\partial x$ $\partial z$

$\mathbf {E}$ etenee siis tasossa kohtisuorassa $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\mathbf {H}$ etenee siis tasossa kohtisuorassa $XZ$ $X$ $H_{x}=H_{y}=0$

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf { E} }{\osittainen t))$

$\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =\varepsilon \varepsilon _{ 0}{\frac {\partial }{\partial t))(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

On olemassa kaksi yhtälöä:

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Korvaa niissä oleva ratkaisu:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

Saamme:

$E_{m}k\sin(\omega t-kx)=\mu \mu _{0}H_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$H_{m}k\sin(\omega t-kx)=\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega$

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k$

Kerrotaan yksi toisella:

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega$

${\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=={\sqrt { \frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7} )}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi 9\cdot 10^{16}10^{-7})))={\sqrt {(4\pi ) (4\pi 900)}}=120\pi \noin 377$ [3]

Katso myös

Muistiinpanot

↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Ylemmän koulun matemaattinen sanakirja". MPI Publishing House 1984. Artikkeli "Laplace-operaattori" ja "Vektorikenttäroottori".
↑ I.V. Saveljev "Yleisen fysiikan kurssi" Osan II kappale "Aaltoyhtälö" s. 398 kaava (109.8)
↑ 1 2 I.V. Saveljev "Yleisen fysiikan kurssi" osan II kappale "Taso sähkömagneettinen aalto"

Linkit

Wave Equation // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 osassa] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt: Oppikirja .. - 6. painos, Rev. ja muita .. - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1999. - 798 s. — ISBN 5-211-04138-0 .
I.V. Saveljev "Yleisen fysiikan kurssi" Osa II
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Korkeakoulun matemaattinen sanakirja". MPI Publishing House 1984

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet