Eulerin yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Eulerin yhtälö on yksi ihanteellisen nesteen hydrodynamiikan perusyhtälöistä . Nimetty L. Eulerin mukaan, joka sai tämän yhtälön vuonna 1752 (julkaistu vuonna 1757 ). Pohjimmiltaan se on nesteen liikkeen yhtälö . Vielä ei tiedetä, onko Eulerin yhtälölle olemassa tasaista ratkaisua kolmiulotteisessa tapauksessa tietystä ajanhetkestä alkaen. [yksi]

Klassinen Eulerin yhtälö

Harkitse ihanteellisen nesteen liikettä . Varataan sen sisälle tilavuus V. Newtonin toisen lain mukaan tämän tilavuuden massakeskuksen kiihtyvyys on verrannollinen siihen vaikuttavaan kokonaisvoimaan. Ihanteellisessa nesteessä tämä voima pienenee tilavuutta ympäröivän nesteen paineeseen ja mahdollisesti ulkoisten voimakenttien vaikutukseen . Oletetaan, että tämä kenttä edustaa hitaus- tai painovoimavoimia , joten tämä voima on verrannollinen kentänvoimakkuuteen ja tilavuuselementin massaan. Sitten

\int \limits _{V}{\frac {d\mathbf {v} }{dt))\,dm=\int \limits _{V}\mathbf {g} \,dm-\oint \ rajat _{S}p\,d\mathbf {S} ,

missä on valitun tilavuuden pinta, on kentänvoimakkuus. Siirtymällä Gauss-Ostrogradsky-kaavan mukaan pintaintegraalista tilavuusykköseen ja ottaen huomioon, että missä on nesteen tiheys tietyssä pisteessä, saadaan: $\mathbf {S}$ ${\mathbf {g}}$ $dm=\rho \,dV$ $\rho$

\int \limits _{V}\rho \,{\frac {d\mathbf {v} }{dt))\,dV=\int \limits _{V}\rho \,\mathbf {g } \,dV-\int \limits _{V}\nabla p\,dV.

Tilavuuden mielivaltaisuuden vuoksi integrandien on oltava samat missä tahansa kohdassa: $V$

\rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt))=\rho \mathbf {g} -\nabla p.

Ilmaisee kokonaisderivaata konvektiivisena derivaatana ja osittaisena derivaatana :

{\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\ mathbf {v} ,

saamme Eulerin yhtälön ihanteellisen nesteen liikkeelle gravitaatiokentässä :

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =\mathbf {g} -{\frac {1 }{\rho }}\nabla p,$

missä

\rho \left(x,y,z,t\oikea)

on nesteen tiheys,

p\left(x,y,z,t\oikea)

on paine nesteessä,

{\mathbf {v}}\vasen(x,y,z,t\oikea)

on nesteen nopeusvektori,

{\mathbf {g}}\vasen(x,y,z,t\oikea)

on voimakentän voimakkuusvektori,

\nabla

on nabla - operaattori kolmiulotteiselle avaruudelle .

Erikoistapaukset

Kiinteä yksiulotteinen virtaus

Jos kyseessä on kiinteä yksiulotteinen nesteen tai kaasun virtaus, Eulerin yhtälö saa muodon

v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}.

Tässä muodossa yhtälöä käytetään usein ratkaisemaan erilaisia ongelmia nestedynamiikassa ja kaasudynamiikassa . Erityisesti integroimalla tämä yhtälö vakiolla nestetiheydellä saadaan hyvin tunnettu Bernoullin yhtälö kokoonpuristumattomalle nesteelle: $x$ $\rho$

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}.

Kokoonpuristumaton neste

Anna . Käyttämällä tunnettua kaavaa $\rho ={\text{const))$

{\frac {1}{2}}\operaattorinnimi {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operaattorinnimi {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v} ,

kirjoita suhde muotoon

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+{\frac {1}{2))\operaattorin nimi {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \ operaattorinimi {rot} \mathbf {v} ]-\operaattorinimi {grad} {\frac {p}{\rho )).

Otetaan roottori ja mietitään sitä

\operaattorinnimi {rot} \operaattorin nimi {grad} \phi =0,

ja osittaiset derivaatat commute , saamme sen

${\frac {\partial }{\partial t))\operaattorinimi {rot} \mathbf {v} =\operaattorinimi {rot} [\mathbf {v} \operaattorinimi {rot} \mathbf {v} ].$

Adiabaattinen virtaus

Jos nesteessä on adiabaattista liikettä, Eulerin yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen käyttämällä lämpöfunktiota seuraavasti: $w$

dw=V\,dp+T\,ds=V\,dp

johtuen siitä, että adiabaattisessa prosessissa entropia on vakio.

s

Näin ollen:

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} =-\operaattorin nimi {grad} w.

Käyttämällä tunnettua suhdetta

{\frac {1}{2}}\operaattorinnimi {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operaattorinnimi {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v}

ja soveltamalla roottorin toimintaa Euler-yhtälöön, saadaan haluttu esitys muodossa

{\frac {\partial }{\partial t))\operaattorinimi {rot} \mathbf {v} =\operaattorinimi {rot} [\mathbf {v} \operaattorinimi {rot} \mathbf {v} ].

Katso myös

Lagrangen yhtälöt
Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb-muodossa
Viskoosin nesteen liikeyhtälöt
Konformaaliset muunnokset ovat menetelmä inviscid-virtausten muodon löytämiseksi, Eulerin yhtälön ratkaisut.
Pyörreyhtälö
Luettelo Leonhard Eulerin mukaan nimetyistä esineistä

Muistiinpanot

↑ Stuart, 2015 , s. 315.

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Hydrodynamics. - M. , 1986. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa VI).
Falkovich G. Fluid Mechanics (lyhytkurssi fyysikoille) Cambridge University Press 2011
Stewart, Ian. Suurimmat matematiikan ongelmat. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .

Linkit

Venäjän käännös Eulerin muistelmista, jossa ihanteellisen nesteen liikeyhtälöt julkaistiin ensimmäisen kerran

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet