Hyperboliset yhtälöt

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Hyperboliset yhtälöt ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöiden luokka . Niille on tunnusomaista se tosiasia, että Cauchyn ongelma ei-karakterisoidulla pinnalla annetuilla lähtötiedoilla on yksiselitteisesti ratkaistavissa.

Toisen asteen yhtälöt

Tarkastellaan toisen asteen skalaariosittaisdifferentiaaliyhtälön yleistä muotoa funktion suhteen : $u\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots ,x_{n})

Tässä tapauksessa yhtälö kirjoitetaan symmetriseen muotoon, eli: . Sitten ekvivalentti yhtälö neliömuodossa : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

missä . Matriisia kutsutaan pääkertoimien matriisiksi . Jos tuloksena olevan muodon allekirjoitus on , eli matriisissa on positiiviset ominaisarvot ja yksi negatiivinen (tai päinvastoin: negatiivinen, yksi positiivinen), yhtälö viittaa hyperboliseen tyyppiin [1] . $A=A^{T}$
$A$
$(n-1,1)$ $A$ $n-1$ $n-1$

Toinen, vastaava määritelmä: yhtälöä kutsutaan hyperboliseksi, jos se voidaan esittää seuraavasti:

Lu-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t )

jossa: on positiivinen elliptinen operaattori , . $L$ $a \neq 0$

Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt tasossa

tyyppi yhtälö

u_{t}+Au_{x}=h(t,x,u)

jossa , , ovat neliömatriiseja ja ovat tuntemattomia. Ovat hyperbolisia, jos matriisilla on eri todelliset ominaisarvot kaikille parametreille. [2] $x\in \mathbb {R}$ $t\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle A=A(x,t,u)\in \mathbb {R} ^{n\cdot n))$ ${\displaystyle u=u(x,t)\in \mathbb {R} ^{n))$ $A$

Hyperbolisten yhtälöiden ratkaisu

Ainutlaatuisen ratkaisun löytämiseksi yhtälöä täydennetään alku- ja reunaehdoilla , koska yhtälöllä on ajallisesti toinen kertaluokka, alkuehtoja on kaksi: itse funktiolle ja sen derivaatalle.

Äärettömän alueen yhtälöiden analyyttiseen ratkaisuun käytetään Kirchhoff-kaavaa , joka yksiulotteisessa tapauksessa esitetään d'Alembertin kaavana ja kaksiulotteisessa tapauksessa Poisson-Parseval-kaavana.
Analyyttiseen ratkaisuun äärellisellä alueella voidaan käyttää Fourier-muuttujaerottelumenetelmää ja sen muunnelmia epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisemiseen.
Numeeriselle ratkaisulle ovat elementtimenetelmä , äärellisten erojen menetelmä , niiden yhdistelmä (ajassa ne ratkaistaan äärellisillä eroilla, avaruudessa - äärellisillä elementeillä) [3] , sekä muut tehtävään soveltuvat numeeriset menetelmät . käytetty.

Esimerkkejä hyperbolisista yhtälöistä

Aaltoyhtälö on yhtälö, joka kuvaa merkkijonojen , kalvojen ja niin edelleen värähtelyjä .
Eri yhtälöitä, jotka on johdettu Maxwellin yhtälöistä , jotka kuvaavat sähkömagneettista kenttää . Tämä voi olla asetus suhteessa johonkin vektoreista , jolloin vain yksi vektorin komponenteista on nollasta poikkeava (eli kun yhtälöstä tulee skalaarinen). ${\mathbf {A},{\mathbf {E}),{\mathbf {B}),{\mathbf {D},{\mathbf {H))$
Chebyshev-verkko on ratkaisu ensimmäisen asteen lineaariseen hyperboliseen yhtälöön.

Katso myös

Kirjallisuus

Hyperbolinen tyyppiyhtälö // Matemaattinen tietosanakirja. Päätoimittaja Yu. V. Prokhorov. - M .: "Neuvostoliiton tietosanakirja". – 1988.
Leray J. Hyperboliset differentiaaliyhtälöt. - M. , Nauka , 1984. - 208 s.

Muistiinpanot

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt (5. painos) - Moskova: Nauka, 1977.
↑ Bressan, A. Hyperboliset säilymislakien järjestelmät. — Oxfordin yliopiston lehdistö. — ISBN 0-19-850700-3 .
↑ Soloveicchik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Elementtimenetelmä skalaari- ja vektoriongelmiin. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet