Elementtimenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Elementtimenetelmä ( FEM ) on numeerinen menetelmä, jolla ratkaistaan osittaisdifferentiaaliyhtälöitä sekä integraaliyhtälöitä , jotka syntyvät soveltavan fysiikan ongelmien ratkaisussa . Menetelmää käytetään laajalti kiinteiden mekaniikan , lämmönsiirron, hydrodynamiikan , sähködynamiikan ja topologisen optimoinnin ongelmien ratkaisemiseen .

Menetelmäidea

Menetelmän ydin piilee sen nimessä. Alue, jolta differentiaaliyhtälöiden ratkaisua etsitään, on jaettu äärelliseen määrään alialueita (elementtejä). Jokaisessa elementissä approksimoivan funktion tyyppi valitaan mielivaltaisesti . Yksinkertaisimmassa tapauksessa tämä on ensimmäisen asteen polynomi . Sen elementin ulkopuolella approksimoiva funktio on yhtä suuri kuin nolla. Funktioiden arvot elementtien rajoilla (solmuissa) ovat ongelman ratkaisu, eikä niitä tiedetä etukäteen. Approksimoivien funktioiden kertoimia haetaan yleensä naapurifunktioiden arvojen yhtäläisyyden ehdosta elementtien välisillä rajoilla (solmuissa). Sitten nämä kertoimet ilmaistaan funktioiden arvoina elementtien solmuissa. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä kootaan . Yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien arvojen lukumäärä solmuissa, joista alkuperäisen järjestelmän ratkaisua etsitään, se on suoraan verrannollinen elementtien lukumäärään ja sitä rajoittavat vain tietokoneen ominaisuudet. Koska jokainen elementeistä liittyy rajoitettuun määrään viereisiä, lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmällä on harva muoto , mikä yksinkertaistaa huomattavasti sen ratkaisua.

Matriisitermeillä puhuttaessa kerätään niin sanotut jäykkyysmatriisit (tai Dirichlet-matriisi) ja massat . Lisäksi näille matriiseille asetetaan rajaehdot (esimerkiksi Neumannin ehdoissa matriiseissa ei muutu mikään, ja Dirichlet-ehdoissa rajasolmuja vastaavat rivit ja sarakkeet poistetaan matriiseista, koska reunaehdot, ratkaisun vastaavien komponenttien arvo tunnetaan). Sitten lineaarinen yhtälöjärjestelmä kootaan ja ratkaistaan jollakin tunnetuista menetelmistä.

Laskennallisen matematiikan näkökulmasta elementtimenetelmän ideana on, että variaatioongelman funktionaalisuuden minimointi suoritetaan joukolle funktioita, joista jokainen on määritelty omalla aliverkkotunnuksellaan.

Menetelmää on käytetty laajasti rakenteiden suunnittelussa sekä esimerkiksi maaperän liikemallien mallintamisessa. Ulkomailla menetelmää alettiin käyttää lähes välittömästi kaikkialla, ja Venäjällä se korvasi variaatio-eron, äärellisen eron ja muut menetelmät vasta 2000-luvulla. .

Menetelmän puutteista kannattaa huomioida ruudukon koon vaikutus lopputulokseen.

Esimerkki menetelmästä yksiulotteisessa esimerkissä

Olkoon tarpeen ratkaista seuraava yksiulotteinen differentiaaliyhtälö yksiulotteisessa avaruudessa P1, jotta löydetään funktio väliltä 0 - 1. Alueen rajoilla funktion arvo on 0: $u$ $u$

{\mbox{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\mbox{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)= 0,\end{cases}}

jossa on tunnettu funktio, tuntematon funktio . toinen johdannainen arvosta . Ongelman ratkaisu elementtimenetelmällä jaetaan 2 vaiheeseen: $f$ $u$ $x$ $sinä''$ $u$ $x$

Muotoilkaamme raja-arvoongelma ns. heikkoon (variaatioon) muotoon. Tässä vaiheessa laskelmia ei tarvita juuri lainkaan.
Toisessa vaiheessa jaamme heikon muodon äärellisiksi segmenteiksi-elementeiksi.

Sen jälkeen syntyy ongelma löytää lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä, jonka ratkaisu approksimoi haluttua funktiota.

Jos ratkaisu on olemassa, niin mille tahansa sileälle funktiolle , joka täyttää rajaehdot pisteissä ja , voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen: $u$ $v$ $v=0$ $x=0$ $x=1$

(yksi) $\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''(x)v(x) \,\mathrm {d} x.$

Osittain integrointia käyttämällä muunnamme lausekkeen (1) seuraavaan muotoon:

(2) ${\textstyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''( x)v(x)\,\mathrm {d} x\\=u'(x)v(x){\bigg |}_{0}^{1}-\int _{0}^{1} u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x\\=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x =-\phi(u,v).\end{tasattu}}}$

Se saatiin ottaen huomioon se tosiasia, että . $v(0)=v(1)=0$

Jaetaan alue, jolta ratkaisua haetaan

u\in H_{0}^{1}

sellasta

\forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int _{0}^{1}f(x)v(x)\mathrm {d }x

äärellisille aikaväleille, ja saamme uuden avaruuden : $V$

(3) sellainen

u V:ssä

\forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int _{0}^{1}f(x)v(x)\mathrm {d} x

missä on avaruuden paloittainen alue . On monia tapoja valita perusta . Valitaan kantafunktioiksi sellaiset, että ne esitetään suorilla viivoilla (ensimmäisen asteen polynomit): $V$ $H_{0}^{1}$ $V$ $v_{{k}}$

v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\mbox{, }} x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k))&{\mbox {, }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\mbox{, }}x\not \in [x_{k-1},x_{k+1} ]\loppu{tapaukset}}

varten (tässä esimerkissä ) $k = 1,\ldots ,n-1$ $n = 5$

Jos nyt haluttu likimääräinen ratkaisu esitetään muodossa , ja funktio on likimääräinen , niin käyttämällä (3) saadaan seuraava yhtälöjärjestelmä halutuille : $u(x)=\summa _{{k=1}}^{{n-1}}u_{k}v_{k}(x)$ $f(x)$ $f(x)=\sum _{{k=0}}^{n}f_{k}v_{k}(x)$ $u_{k}$

-\sum _{k=1}^{n-1}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=0}^{n}f_{ k}\int v_{k}v_{j}\mathrm {d} x

missä . $j=1,\ldots ,n-1$

Edut ja haitat

Elementtimenetelmä on vaikeampi toteuttaa kuin äärellisen erotuksen menetelmä . FEM:llä on kuitenkin useita etuja, jotka ilmenevät todellisissa ongelmissa: käsitellyn alueen mielivaltainen muoto; ruudukkoa voidaan harventaa paikoissa, joissa erityistä tarkkuutta ei tarvita.

Pitkään FEM:n laajaa käyttöä esti se, että ei ollut algoritmeja alueen automaattiseen osiointiin "melkein tasasivuisiksi" kolmioksi (virhe, menetelmän vaihtelusta riippuen, on kääntäen verrannollinen jommankumman terävimmän siniin tai väliseinän tylsin kulma). Tämä ongelma kuitenkin ratkaistiin onnistuneesti (algoritmit perustuvat Delaunayn kolmioon ), mikä mahdollisti täysin automaattisten elementti- CAD-järjestelmien luomisen .

Menetelmän kehityksen historia

Elementtimenetelmä syntyi tarpeesta löytää uusia tapoja ratkaista rakennemekaniikan ja kimmoisuusteorian ongelmia 1930 -luvulla . Yksi FEM:n taustalla olevien ideoiden perustajista ovat Alexander Khrennikov ja Richard Courant . Heidän teoksensa julkaistiin 1940 - luvulla . FEM:n tehokkuuden osoitti ensimmäisen kerran vuonna 1944 Ioannis Argyris , joka toteutti menetelmän tietokoneella.

Kiinassa 1950 - luvulla Kang Feng ehdotti numeerista menetelmää osittaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi patorakenteiden laskemiseksi. Tätä menetelmää on kutsuttu variaatioperiaatteeseen perustuvaksi äärellisen eron menetelmäksi, jota voidaan pitää toisena itsenäisenä tapana toteuttaa elementtimenetelmä.

Vaikka luetellut lähestymistavat eroavat yksityiskohtaisesti, niillä on yksi yhteinen piirre: jatkuvan alueen diskretointi ruudukon avulla joukoksi erillisiä alialueita, joita kutsutaan yleisesti elementeiksi.

Elementtimenetelmän jatkokehitys liittyy myös avaruustutkimuksen ongelmien ratkaisuun 1950-luvulla .

Neuvostoliitossa FEM:n leviäminen ja käytännön toteutus 1960-luvulla liitetään Leonard Oganesyanin nimeen .

FEM sai merkittävän sysäyksen kehityksessään vuonna 1963 sen jälkeen, kun osoitettiin, että sitä voidaan pitää yhtenä muunnelmana rakennemekaniikassa yleisestä Rayleigh-Ritz-menetelmästä , joka minimoimalla potentiaalienergiaa vähentää ongelman lineaariseksi järjestelmäksi. tasapainoyhtälöt. Kun FEM:n yhteys minimointimenettelyyn oli luotu, sitä alettiin soveltaa Laplace- tai Poisson - yhtälöiden kuvaamiin ongelmiin . FEM:n käyttöalue laajeni merkittävästi, kun todettiin (vuonna 1968 ), että tehtävien elementit määrittävät yhtälöt voidaan helposti saada käyttämällä painotettujen residuaalien menetelmän muunnelmia , kuten Galerkin -menetelmää tai pienimmän neliösumman menetelmää. . Tällä oli tärkeä rooli FEM:n teoreettisessa perustelussa, koska se mahdollisti sen soveltamisen monenlaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Näin ollen elementtimenetelmästä on tullut yleinen menetelmä differentiaaliyhtälöiden tai differentiaaliyhtälöjärjestelmien numeeriseen ratkaisemiseen.

Laskentatyökalujen kehittyessä menetelmän mahdollisuudet laajenevat jatkuvasti, ja myös ratkaistavien ongelmien luokka laajenee. Tällä hetkellä on ehdotettu useita elementtimenetelmän toteutuksia diffuusioprosessien [1] , lämmönjohtavuuden [2] , hydrodynamiikan [3] , mekaniikan [4] , sähködynamiikan [5] jne. mallintamiseen.

Katso myös

Kirjallisuus

Gallagher R. Äärillisten elementtien menetelmä. Perustiedot: Per. englannista. - M.: Mir, 1984
Deklu J. Elementtimenetelmä: Per. ranskasta - M.: Mir, 1976
Zenkevich O. Elementtimenetelmä tekniikassa - M.: Mir, 1975.
Zenkevich O., Morgan K. Äärilliset elementit ja approksimaatio: Per. englannista. - M.: Mir, 1986
Segerlind L. Elementtimenetelmän soveltaminen - M.: Mir, 1979. - 392 s.
P. Austrell, O. Dahlblom, J. Lindemann, A. Olsson, K.-G. Olsson, K. Persson, H. Pettersson, M. Ristinmaa, G. Sandberg ja P.-A. Wernberg. CALFEM: A Finite Element Toolbox : Versio 3.4. Rakennemekaniikka, LTH, 2004. isbn: 91-8855823-1

Linkit

Borovkov A.I. jne. Tietokonetekniikka. Analyyttinen katsaus - Opinto-opas . - Pietari. : Polytechnic Publishing House. un-ta, 2012. - 93 s. — ISBN 978-5-7422-3766-2 .

Muistiinpanot

↑ Moniverkkomenetelmän analyysi konvektio-diffuusioyhtälöille Dirichlet-rajaehtojen kanssa
↑ Elementtimenetelmän soveltaminen lämmönjohtavuusongelman ratkaisemiseen . Haettu 30. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 13. huhtikuuta 2016. (määrätön)
↑ Laskennallisen lämmönsiirron ja nestedynamiikan perusteet . Haettu 18. marraskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2015. (määrätön)
↑ Elementtimenetelmän käyttö hakkurien suunnittelulaskelmissa . Haettu 18. marraskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2015. (määrätön)
↑ Elementtimenetelmä yhden luokan kolmiulotteisten ulkoisten sähködynamiikan ongelmien ratkaisemiseksi

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät