Elastisuuden teoria

Kimmoisuusteoria on jatkumomekaniikan osa, joka tutkii kimmoisten kiinteiden aineiden muodonmuutoksia ja niiden käyttäytymistä staattisten ja dynaamisten kuormien vaikutuksesta.

Elastisuusteorian päätehtävänä on selvittää, mitkä ovat kehon muodonmuutokset ja kuinka ne muuttuvat ajan myötä tietyille ulkoisille vaikutuksille. Pääasiallinen yhtälöjärjestelmä tämän ongelman ratkaisemiseksi on kolme tasapainoyhtälöä, jotka sisältävät kuusi tuntematonta symmetrisen jännitystensorin komponenttia . Jännitystensorin symmetria oletetaan tässä tapauksessa leikkausjännitysten pariutumisen hypoteesilla . Järjestelmän sulkemiseksi käytetään ns. venymän yhteensopivuusyhtälöitä (todellakin kappaleessa, joka pysyy kiinteänä muodonmuutosprosessin aikana, on venymätensorin komponentteja, jotka eivät voi olla riippumattomia - nämä komponentit ilmaistaan kolmella funktiolla - kappaleen pisteen siirtymän komponentit: symmetriset Cauchyn suhteet ). Kuusi muodonmuutosten yhteensopivuusyhtälöä ja yleistetyn Hooken lain yhtälöt täydentävät kimmoisuusteorian ongelman.

Elastisuusteoria on tekniikan ja arkkitehtuurin perusta. Ilmeisten staattisten ongelmien (rakennusten ja muiden rakenteiden vakaus, ajoneuvojen lujuus) lisäksi elastisuusteoriaa käytetään myös dynaamisten ongelmien ratkaisemiseen (esim. rakenteiden vakaus maanjäristysten aikana ja voimakkaiden ääniaaltojen vaikutuksesta eri laitteiden ja laitteistojen tärinänkestävyys ) . Elastisuusteoria risteää tässä materiaalitieteen kanssa ja toimii yhtenä vahvuutena uusien materiaalien etsimisessä. Elastisuusteoria on tärkeä myös seismisessä tutkimuksessa .

Ongelmailmoitusten lähestymistavat

Elastisuusteoriassa on kolme vaihtoehtoa ongelmien asettamiseen.

1. Siirtymien kimmoisuusteorian ongelmat

Tärkeimmät tuntemattomat ovat siirtymävektorin kolme komponenttia (jäljempänä siirtymät). Niiden on täytettävä kolme tasapainoyhtälöä, jotka on kirjoitettu siirtymillä ( Lamen yhtälö ). Jokaisessa kappaleen pinnan ei-singulaarisessa pisteessä siirtymien on täytettävä kolme rajaehtoa. Rajaehdot voidaan muotoilla kolmella tavalla:

siirtymät on annettu;
jännitysyhdistelmät on annettu, kirjoitettuna siirtymien normaali- ja tangentiaalijohdannaisina;
Jännitysten ja siirtymien yhdistelmät on annettu, kirjoitettuna siirtymien normaali- ja tangentiaalijohdannaisten sekä itse siirtymien mukaan.

Tunnettujen siirtymien perusteella muodonmuutokset määritetään differentiaatiolla (symmetriset Cauchyn suhteet). Siirtymistä löydetyt venymät täyttävät identtisesti kuusi venymän yhteensopivuusyhtälöä , ja tunnettujen siirtymien mukaan se voidaan löytää erottamalla rotaatiotensorin ja rotaatioiden pseudovektorin komponentit ( antisymmetriset Cauchyn relaatiot). Tunnetuista jännityksistä määritetään algebrallisesti ( Hooken lain yhtälöt ).

2. Jännitysten kimmoteorian ongelmat. Tärkeimmät tuntemattomat ovat symmetrisen jännitystensorin kuusi komponenttia. Niiden on täytettävä kolme jännityksissä kirjoitettua tasapainoyhtälöä ja kuusi jännitysyhtälöä, jotka on kirjoitettu Hooken lain yhtälöillä jännityksissä. Deformaatiot määritetään algebrallisesti Hooken lain käänteisyhtälöistä löydetyistä jännityksistä . Siirtymät integroidaan kvadratuureiksi löydettyjen muodonmuutosten yli käyttämällä Cesaron kaavoja ja integroitavuus varmistetaan, koska muodonmuutosyhtälöt täyttyvät . Jännityksen muotoilun yksinkertaistamiseksi se voidaan ilmaista tensoripotentiaalina siten, että tasapainoyhtälöt täyttyvät identtisesti ja yhteensopivuusyhtälöt hajoavat erillisiksi yhtälöiksi kullekin jännitystensoripotentiaalikomponentille. . Pitämällä tietyt symmetrisen jännitystensoripotentiaalin komponentit ja asettamalla loput nollaan, voidaan erikoistapauksina saada Maxwellin , Morrerin , Airyn tunnetut formulaatiot .

3. Kimmoisuusteorian ongelmalause sekamuodossa.

Elastisuusteorian peruskäsitteet

Kimmoisuusteorian peruskäsitteitä ovat jännitykset, jotka vaikuttavat pieniin alueisiin, jotka voidaan henkisesti piirtää kehoon tietyn pisteen P kautta, muodonmuutokset pisteen P pienessä ympäristössä ja itse pisteen P siirtymä. Tarkemmin sanottuna jännitys. tensori , pieni venymätensori ja siirtymävektori u i . $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

Lyhyt merkintä , jossa indeksit i, j saavat arvot 1, 2, 3 (tai x, y, z ) tulee ymmärtää matriisina muodossa: $\sigma _{ij}\,\!$

{\boldsymbol {\sigma _{ij))}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21} &\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{ matriisi}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{ zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\,\!

Tensorin lyhyt merkintä on ymmärrettävä samalla tavalla . $\varepsilon _{ij}\,\!$

Jos kappaleen P fyysinen piste muodonmuutoksen vuoksi on ottanut uuden aseman avaruudessa P', niin siirtymävektoria merkitään komponenteilla ( u x ,u y ,u z ), eli lyhyesti u i . Pienten muodonmuutosten teoriassa komponentteja u i ja pidetään pieninä määrinä (tarkasti ottaen äärettömän pieninä). Tensorin , jota kutsutaan myös Cauchyn jännitystensoriksi tai lineaariseksi venymätensoriksi, ja vektorin u i komponentit liittyvät toisiinsa riippuvuuksilla: $\mathbf {PP'}$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)=\left[{\begin{matrix}\ varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}& \varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x} }&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x }}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{ \partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y} }{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_ {z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ osittainen u_{z)){\osittainen y))+{\frac {\osittinen u_{y)){\osittainen z))\oikea)&{\frac {\parti  al u_{z}}{\partial z}}\\\end{matrix}}\right]\,\!

Viimeisestä merkinnästä voidaan nähdä, että , joten venymätensori on määritelmän mukaan symmetrinen. $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$

Jos elastinen kappale ulkoisten voimien vaikutuksesta on tasapainossa (eli sen kaikkien pisteiden nopeudet ovat nolla), niin mikä tahansa sen osa, joka voidaan henkisesti erottaa siitä, on myös tasapainossa. Kehosta irrotetaan äärettömän pieni suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jonka pinnat ovat yhdensuuntaiset karteesisen järjestelmän koordinaattitasojen kanssa. Tasapainoehdosta suuntaissärmiölle, jonka ripakoot ovat dx, dy, dz, ottaen huomioon projektioiden voimien tasapainon ehdot, voimme saada:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+ {\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}+F_{x}=0\\&{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial x}}+{ \frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial z}}+F_{y}=0\\&{\ frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz} }{\partial z}}+F_{z}=0\\\end{aligned}}

Samalla tavalla saadaan tasapainoyhtälöt, jotka ilmaisevat kaikkien suuntaissärmiöön vaikuttavien voimien päämomentin yhtäläisyyden nollaan, ja jotka pelkistetään muotoon:

\sigma _{xy}=\sigma _{yx},\sigma _{yz}=\sigma _{zy},\sigma _{zx}=\sigma _{xz}\,\!

Tämä yhtälö tarkoittaa, että jännitystensori on symmetrinen tensori ja jännitystensorin tuntemattomien komponenttien lukumäärä pienenee 6:een. Tasapainoyhtälöitä on vain kolme, eli staattiset yhtälöt eivät riitä ratkaisemaan ongelmaa. Poistumiskeino on ilmaista jännitys venyminä käyttäen Hooken lain yhtälöitä ja sitten ilmaista jännitykset siirtymillä u i Cauchyn kaavoilla ja korvata tulos tasapainoyhtälöllä. Tässä tapauksessa kolmelle tuntemattomalle funktiolle u x u y u z saadaan kolme differentiaalista tasapainoyhtälöä , eli tuntemattomien lukumäärä vastaa yhtälöiden määrää. Näitä yhtälöitä kutsutaan Navier-Cauchyn yhtälöiksi. $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial u_{x)){\partial x))+{\ frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{ 2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\osittinen ^{2}u_{x}}{\osittinen y^{2}}}+{\frac {\osittinen ^{2}u_{x}}{\osittainen z^{2}}}\oikea)+F_{x}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y))\left({\frac {\partial u_{x)){\partial x))+{\ frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{ 2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\osittainen z^{2}}}\oikea)+F_{y}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z))\left({\frac {\partial u_{x)){\partial x))+{\ frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{ 2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\osittainen z^{2}}}\oikea)+F_{z}=0\,\!

missä ovat Lame-parametrit :

\lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )))

\mu ={\frac {E}{2(1+\nu )))

Anisotrooppinen homogeeninen väliaine

Anisotrooppisilla väliaineilla jäykkyystensori on monimutkaisempi. Jännitystensorin symmetria tarkoittaa, että jännityselementtejä on enintään 6 erilaista. Samoin jännitystensorissa on enintään 6 eri elementtiä . Siksi neljännen asteen jäykkyystensori voidaan kirjoittaa matriisiksi (toisen asteen tensori). Voigtin merkintä on tavallinen tapa näyttää tensoriindeksit, $C_{ijkl}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\varepsilon _{ij}\,\!$ $C_{ijkl}\,\!$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

{\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix)){\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\ Alanuori &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}\,\!

Näitä merkintöjä käyttämällä voidaan kirjoittaa minkä tahansa lineaarisesti elastisen väliaineen elastisuusmatriisi seuraavasti:

C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_ {12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\ \C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56 }\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

Kuten näkyy, matriisi on symmetrinen. Tämä on seurausta jännitysenergiatiheysfunktion olemassaolosta, joka täyttää . Siksi on olemassa enintään 21 erilaista vakiota . $C_{\alpha \beta }\,\!$ ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij))))$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

Isotrooppisessa erikoistapauksessa on 2 itsenäistä elementtiä:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+ 4 \mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0 \\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.\,\!

Yksinkertaisimmassa kuutiosymmetrian anisotrooppisessa tapauksessa on 3 itsenäistä elementtiä:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12 }&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.\,\!

Poikittainen isotropia, jota kutsutaan myös polaariseksi anisotropiaksi (yhdellä symmetria-akselilla), sisältää 5 itsenäistä elementtiä:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11} &C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end. !

Kun poikittaisisotropia on heikko (eli lähellä isotropiaa), vaihtoehtoinen parametrointi Thomsen-parametreilla osoittautuu sopivaksi aallonopeuksien kaavojen kirjoittamiseen.

Ortotropiatapauksessa (tiilisymmetria) on 9 itsenäistä elementtiä:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13 }&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

Katso myös

Kirjallisuus

Bolotin VV Joustojärjestelmien dynaaminen vakaus. - M .: Gostekhizdat, 1956. - 600 s.
Iljushin A. A. Jatkuvuusmekaniikka. - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 1978. - 287 s.
Likhachev V. A., Malinin V. G. Rakenne-analyyttinen voiman teoria. - Pietari. : Nauka, 1993. - 471 s.
Lur'e A. I. Elastisuusteoria. - M .: Nauka, 1970. - 940 s.
Panovko Ya. G. , Gubanova I. I. Elastisten järjestelmien vakaus ja värähtelyt: Nykyaikaiset käsitteet, virheet ja paradoksit. - M .: Nauka, 1979. - 384 s.
Rabotnov Yu. N. Muovautuvan kiinteän kappaleen mekaniikka. - M .: Nauka, 1979. - 744 s.
Sedov L.I. Continuum Mechanics. Volume 1. . - M .: Nauka, 1970. - 492 s.
Sedov L.I. Continuum Mechanics. Osa 2. . - M .: Nauka, 1970. - 568 s.
Truesdell K. Rational continuum-mekaniikan alkukurssi. . - M .: Nauka, 1975. - 592 s.

Linkit

Elastisuuskurssi

Mekaniikan osat
klassinen mekaniikka Erityinen suhteellisuusteoria Teoreettinen mekaniikka Yleinen suhteellisuusteoria Relativistinen mekaniikka Kvanttimekaniikka
Jatkuva mekaniikka	Hydrostatiikka Hydrodynamiikka Aeromekaniikka Aerostatiikka kaasun dynamiikkaa Elastisuuden teoria Plastisuuden teoria Kiinteiden aineiden murtumismekaniikka Reologia
teorioita	Värähtelyteoria Kestävyyden teoria
sovellettua mekaniikkaa	Materiaalinen kestävyys Mekanismien ja koneiden teoria Koneen osat Rakennemekaniikka Hydrauliikka Mekatroniikka Taivaan mekaniikka Optomekatroniikka