Jännitystensori

Venymätensori on tensori , joka luonnehtii puristumista (venymistä) ja muodon muutosta kehon jokaisessa kohdassa muodonmuutoksen aikana .

Cauchy-Greenin jännitystensori klassisessa jatkumossa (jonka hiukkaset ovat aineellisia pisteitä ja niillä on vain kolme translaatiovapausastetta) määritellään seuraavasti:

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } + \sum\limits_l \frac{ \partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)

jossa on kappaleen pisteen siirtymää kuvaava vektori: sen koordinaatit ovat läheisten pisteiden koordinaattien erotus ( ) ja ennen ( ) muodonmuutosta. Erottaminen suoritetaan koordinaattien avulla vertailukonfiguraatiossa (ennen muodonmuutosta). Etäisyydet ennen ja jälkeen muodonmuutoksen liittyvät toisiinsa : $\mathbf{u}$ $dx^\prime_i$ $dx_i$ $\varepsilon_{ij}$

dl^{\prime 2} = dl^{2} +2 \varepsilon_{ij}\, dx_i \, dx_j

(summaus suoritetaan toistuvilla indekseillä).

Määritelmän mukaan venymätensori on symmetrinen, eli . $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$

Joissakin lähteissä tätä jännitystensoria kutsutaan Green-Lagrange-venymätensoriksi, ja oikeaa Cauchy-Green-venymätensoria (kyseinen kaksinkertainen venymätensori plus yksikkötensori) kutsutaan oikeaksi Cauchy-Green-venymätensoriksi.

Epälineaarisella Cauchy-Greenin jännitystensorilla on materiaalin objektiivisuuden ominaisuus. Tämä tarkoittaa, että jos muotoaan muuttavan kappaleen kappale tekee jäykkää liikettä, jännitystensori pyörii materiaalin alkutilavuuden mukana. Tällaisia tensoreja on kätevää käyttää materiaalin konstitutiivisia yhtälöitä kirjoitettaessa, jolloin materiaalin objektiivisuuden periaate toteutuu automaattisesti, eli jos havainnoija liikkuu suhteessa muotoutuvaan väliaineeseen, materiaalin käyttäytyminen ei muutu (jännitys tensori pyörii tarkkailijan vertailukehyksessä materiaalin alkutilavuuden mukana).

On olemassa myös muita objektiivisia venymätensoreja, esimerkiksi Almansi venymätensori, Piol, Finger venymätensorit jne. Jotkut niistä sisältävät referenssikonfiguraatiossa (ennen muodonmuutosta) koordinaattien siirtymien derivaatat, ja osa niistä sisältää koordinaattien derivaatat nykyisessä konfiguraatiossa (muodonmuutoksen jälkeen).

Se, että klassisessa jatkuvassa väliaineessa venymäenergia riippuu vain symmetrisestä venymätensorista, seuraa momentin tasapainolakista. Mikä tahansa objektiivisen venymätensorin yksi yhteen funktio on myös objektiivinen venymätensori. Esimerkiksi (venymätensorin symmetrian ja positiivisen määrityksen vuoksi) voidaan käyttää Cauchy-Greenin jännitystensorin neliöjuurta. Asetettaessa konstitutiivisia yhtälöitä näillä tensoreilla on kuitenkin tärkeää noudattaa oletuksia vapaan energian (tai jännitysten) riippuvuuden luonteesta jännitystensoreista. On selvää, että oletukset esimerkiksi vapaan energian differentiaatiosta Cauchy-Greenin muodonmuutostensorin suhteen, sen juureen tai sen neliön suhteen johtavat täysin eri materiaalien yhtälöihin. Yleisen muodon teoria, lineaarinen in , saadaan pienille arvoille vain ensimmäisessä tapauksessa. $\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$

Pienille , voimme jättää huomiotta neliölliset termit ja käyttää jännitystensoria muodossa: $\mathbf{u}$

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } \right)

Lineaarisella Cauchy-Greenin venymätensorilla (yhtenevä Almansin lineaarisen venymätensorin kanssa etumerkkiin asti) ei ole materiaalin objektiivisuuden ominaisuutta suurilla kierroksilla, joten sitä ei käytetä suurten jännitysten hallitsevissa yhtälöissä. Pienten kierrosten likiarvossa tämä ominaisuus säilyy.

Diagonaaliset elementit kuvaavat lineaarisia veto- tai puristusmuodonmuutoksia, diagonaaliset elementit kuvaavat leikkausmuodonmuutoksia. $\varepsilon_{ij}$

Pallokoordinaateissa

\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r}

\varepsilon_{\theta\theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{u_\theta}{r} \text{ ctg } \theta + \frac{u_r}{r}

2\varepsilon_{\theta\phi} = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial u_\varphi}{\partial \theta} - u_\varphi \text{ctg } \theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_\theta}{\partial \varphi}

2 \varepsilon_{r\theta} = \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_r} {\osittainen \theta }

2 \varepsilon_{\varphi r} = \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial u_r}{\partial \varphi } + \frac{\partial u_\varphi}{\partial r} - \frac{u_\varphi}{r}

Sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä

\varepsilon_{rr} = \frac{\partial u_r}{\partial r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z}

2 \varepsilon_{\varphi z} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \varphi} + \frac{\partial u_\varphi}{\partial z}

2 \varepsilon_{rz} = \frac{\partial u_r}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial r}

2 \varepsilon_{r \varphi} = \frac{\partial u_\varphi}{\partial r} -\frac{ u_\varphi}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_r} {\partial \varphi}

Katso myös

Kirjallisuus

Lur'e A. I. Elastisuusteoria. M.: Nauka, 1970. - 940 s.
Lur'e AI Epälineaarinen elastisuusteoria. - M.: Nauka, 1980. - 512 s.
Dimitrienko Yu. I. Epälineaarinen jatkumomekaniikka. Moskova: Fizmatlit, 2010, 624 s.