Epäjatkuva Galerkin-menetelmä

Epäjatkuva Galerkin-menetelmä ( lyhennettynä DGM ) on menetelmä operaattoriyhtälöiden, pääasiassa differentiaaliyhtälöiden, ratkaisemiseen. Se on klassisen elementtimenetelmän (FEM) kehitystyö, joka perustuu Galerkinin variaatioformulaatioon .

Menetelmän historia

Epäjatkuvaa Galerkin-menetelmää ehdotettiin ensimmäisen kerran 1970-luvun alussa menetelmäksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi , vuonna 1973 Reid ja Hill ehdottivat muunnelmaa menetelmästä hyperbolisen neutronien kuljetusyhtälön ratkaisemiseksi. Elliptisten ongelmien ratkaisumenetelmän ensimmäistä muotoilua ei voi määrittää yhdellä julkaisulla, mutta menetelmän kehittämiseen vaikuttivat voimakkaasti Ivo Babushka (englanniksi) ja Jacques-Louis Lions (englanniksi) . Neljännen kertaluvun yhtälöille Baker esitteli menetelmän muunnelman vuonna 1977. Hän on myös velkaa menetelmän kehittämisen Arnoldin, Brezzin, Cockburnin ja Marinin julkaisuille.

Perusmääritelmät

Viimeinen elementti on välilyöntien kolmoisosa , jossa: $\Sigma$ ${\näyttötyyli (K, ~ P, ~ L)}$

$K$ - geometrinen äärellinen elementti - joukko pisteitä avaruudessa (usein, kun he sanovat "äärellinen elementti", he tarkoittavat juuri tätä joukkoa);
$P$ - joukko koordinaattifunktioita - avaruuden perusta, joka approksimoi ratkaisun;
$L$ — vapausasteiden joukko — kaksoisavaruuden perusta. . $L=P^{*}$

Menetelmän idea ja ero FEM:iin

Harkitse ajatusta menetelmästä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi alueella . Toisin kuin Galerkin-menetelmässä, jossa formulointi suoritetaan heikossa muodossa, DGM:ssä formulointi suoritetaan heikossa muodossa (ultraheikko variaatioformulaatio ) . Esitämme alkuperäisen yhtälön kahden ensimmäisen kertaluvun yhtälön muodossa. Yhtälöiden luonteesta riippuen tämä voidaan tehdä useilla tavoilla, mikä johtaa erilaisiin variaatioformulaatioihin. Seuraavaksi rakennamme ruudukon laskenta-alueelle , suoritamme Galerkinin variaatiolausekkeen kullekin aliverkkotunnukselle ja käytetään neljää välilyöntiä: kahta välilyöntiä (koordinaatti ja projektio) itse funktiolle ja kaksi sen derivaatalle. Sen jälkeen yhtälöt summataan koko alueen yli ja toinen tuloksena olevista kahden yhtälön järjestelmistä suljetaan jollain tavalla pois. Tämä kuvaus on hyvin yleinen ja moniselitteinen, koska menetelmä on aina sovitettu tiettyihin ongelmiin ja erittäin heikon variaatiolausekkeen saaminen riippuu prosessin luonteesta ja yhtälön ratkaisun tarkoituksesta. $\Omega$
${\displaystyle K=\left\{K_{i}\right\}:K_{i}\cap K_{j}=\varnothing ,\Omega =\bigcup K_{i))$

Toisin kuin klassisessa FEM:ssä, menetelmä ei ole konformaalinen, eli tuloksena oleva ratkaisu voi olla epäjatkuva, mikä on plussaa tehtävissä, joissa ratkaisussa on teräviä hyppyjä (eli epäjatkuvasti tai lähellä sitä), mutta sujuva ratkaisu, lisäponnisteluja, jotta tuloksena oleva numeerinen approksimaatio olisi tasainen. Menetelmä on kätevä myös työskenneltäessä epäjohdonmukaisten ruudukoiden ja elementtien eri järjestyksen perustojen kanssa, koska se ei vaadi ylimääräistä koordinointia (joka piti tehdä klassisessa menetelmässä).

Esimerkkejä tietyntyyppisistä yhtälöistä

Lämpöyhtälö

Harkitse stationaarisen lämpöyhtälön yksinkertaisinta tapausta:

$-\Delta u=f~in~\Omega$
$u=g~on~\partial \Omega$

$\lambda$ on lämmönjohtavuuskerroin, on yhtälön oikea puoli. Suoritetaan korvaus ja vähennetään siten toisen kertaluvun yhtälö kahdeksi ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi: $f=f(x,y,z)$
$\nabla u=\sigma$

$\left\{{\begin{array}{lcr}\nabla u=\sigma \\-\nabla \cdot \sigma =f\\\end{array}}\right.$

Laskentaalueella esittelemme Lebesgue-avaruuden vastaavan skalaaritulon kanssa: . Ja vastaavat elementtiavaruudet: - skalaarifunktioiden avaruus, ratkaisun approksimointia varten - vektorifunktioiden avaruus ratkaisun gradientin approksimointiin . Esitetyt avaruudet ovat Sobolev-avaruuksia (skalaari ja vektori) vastaavan normin kanssa. Näistä tiloista valitsemme testifunktiot ja kullekin yhtälölle suoritamme Galerkin-lauseen erilliselle elementille, saadaan yhtälöjärjestelmä heikossa muodossa [1] : $L_{2}(\Omega )$ $(u,v)=\int _{\Omega }uvd\Omega$
$V_{h}=\left\{v\in L_{2}(\Omega ):v\in P_{i},\forall K_{i}\in K\right\}$
$\Sigma _{h}=\left\{\tau \in [L_{2}(\Omega )]^{3}:\tau \in \Sigma _{i},\forall K_{i} \in K\right\}$
$v,\tau$

$\left\{{\begin{array}{lcr}\int _{K_{i}}\sigma \cdot \tau dx\ =-\int _{K_{i}}u\nabla \cdot \ tau dx\ +\int _{\osittais K_{i}}{\hat {u}}_{K_{i}}(n_{K_{i}}\cdot \tau )ds\ ~\forall \tau \ \Sigma _{i}\\\int _{K_{i}}\sigma \cdot \nabla vdx\ =\int _{K_{i}}fvdx\ +\int _{\osittais K_{i}} ({\hat {\sigma }}_{K_{i}}\cdot n_{K_{i}})vds\ ~\forall v\in V_{i}\\\end{array}}\right.$

Funktiot ovat numeerisia virtoja, jotka voidaan määritellä eri tavoin (johtien eri menetelmiin) ja joiden on täytettävä seuraavat ehdot: ${\hat {u)),{\hat {\sigma ))$

Numeeriset virtaukset ovat ainutlaatuisia rajalla $\partial \Omega$
Numeeriset virrat voidaan esittää seuraavasti: , jossa on tasainen funktio, joka täyttää annetut ensimmäiset reunaehdot. ${\displaystyle {\hat {u}}(v)={\Bigl .}v{\Bigl |}_{\partial \Omega },~{\hat {\sigma }}(v,\nabla v)= {\Bigl .}\nabla v{\Bigl |}_{\partial \Omega ))$ $v$

Merkinnän yksinkertaistamiseksi otetaan käyttöön keskimääräinen operaattori ja hyppyoperaattori, jotka määrittävät funktioiden käyttäytymisen elementtien rajalla:

Keskiarvo- ja hyppyoperaattorit [2]
Keskinkertainen operaattori	hyppyoperaattori	Laajuus
$\left\langle v\right\rangle =(v_{i}+v_{j})/2$	$[v]=v_{i}n_{i}+v_{j}n_{j}$	${\displaystyle \Gamma _{ij}=\partial K_{i}\cap \partial K_{j))$
${\displaystyle \left\langle v\right\rangle =v_{i))$	${\displaystyle [v]=v_{i}n_{i))$	$\partial \Omega$
$\left\langle \tau \right\rangle =(\tau _{i}+\tau _{j})/2$	${\displaystyle [\tau ]=\tau _{i}\cdot n_{i}+\tau _{j}\cdot n_{j))$	${\displaystyle \Gamma _{ij))$
${\displaystyle \left\langle \tau \right\rangle =\tau _{i))$	${\displaystyle [\tau ]=\tau _{i}\cdot n_{i))$	$\partial \Omega$

Nyt summaamme kaikki kullekin aliverkkotunnukselle saadut yhtälöt ja saamme kaksi yhtälöä koko toimialueelle:

$\left\{{\begin{array}{lcr}\int _{\Omega }\sigma \cdot \tau dx\ =-\int _{\Omega }u\nabla \cdot \tau dx\ + \sum _{K_{i}\in K}\int _{\osittais K_{i}}{\hat {u}}_{K_{i}}(n_{K_{i}}\cdot \tau ) ds\ ~\forall \tau \in \Sigma _{h}\\\int _{\Omega }\sigma \cdot \nabla vdx\ =\int _{\Omega }fvdx\ +\sum _{K_{i }\in K}\int _{\osittais K_{i}}({\hat {\sigma }}_{K_{i}}\cdot n_{K_{i}})vds\ ~\forall v\in V_{h}\\\end{array}}\right.$

Käytetään ominaisuutta [3] : ja tuloksena saadaan erittäin heikko variaatioasetus alkuperäiselle yhtälölle: $\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}v(\tau \cdot n_{K_{i}})ds\ =\sum _{K_{i}}\ int _{\partial K_{i))([v]\cdot \left\langle \tau \right\rangle +\left\langle v\right\rangle [\tau ])ds\$

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla vdx\ +\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}{[{\hat {u}}- u]\cdot \left\langle \nabla v\right\rangle ds}+\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}{\left\langle {\hat {u}} -u\right\rangle [\nabla v]ds}=\int _{\Omega }{fvdx}+\sum _{K_{i}}\int _{\osittais K_{i}{[v]\ vasen\langle {\hat {\sigma }}\right\rangle ds}+\sum _{K_{i}}\int _{\partial K_{i}}{\left\langle v\right\rangle [\ sigma ]ds},~\forall v\in V_{h}$

Vielä on määritettävä numeeriset virrat. Numeeristen virtojen määrittely liittyy tehtävään ja ratkaisun vaatimuksiin ja johtaa erilaisiin menetelmiin, esim.

Toiminta ja laajuus	IP-menetelmä [4]	Stabiloitu IP-menetelmä	NIPG [5]
${\hat {u))$ päällä $\partial \Omega$	${\hat {u}}=0$
${\hat {u))$ päällä ${\displaystyle \partial K_{i))$	${\hat {u}}=\langle u\rangle$		${\hat {u}}=\langle u\rangle +n_{K_{i}}\cdot [u]$
${\hat {\sigma ))$ päälle ja päälle $\partial \Omega$ ${\displaystyle \partial K_{i))$	${\hat {\sigma ))=\langle \nabla u\rangle$	${\hat {\sigma }}=\left\langle \nabla u\right\rangle +c[u],~c-const$

Maxwellin yhtälöt harmonisessa tilassa

Lähestymistapa äärimmäisen heikon variaatiolausekkeen muodostamiseen Maxwellin yhtälöille voi olla erilainen: ensimmäisen kertaluvun yhtälöjärjestelmä voidaan saada suoraan Maxwellin yhtälöistä itsestään tai pelkistämällä nämä yhtälöt Helmholtzin yhtälöksi ja korvaamalla sitten samanlainen lämpöyhtälön korvaaminen, jolloin saadaan ensimmäisen asteen järjestelmä. Tässä tapauksessa käytämme ensimmäistä menetelmää. Maxwellin yhtälöjärjestelmä harmonisessa tilassa taajuudella , yhdessä yksinkertaisimmista tapauksista näyttää tältä: $\omega$

$\left\{{\begin{array}{lcr}-i\omega \epsilon \mathbf {E} -\nabla \times \mathbf {H} =0\\-i\omega \mu \mathbf { H} +\nabla \times \mathbf {E} =0\\\end{array}}\right.$

Molemmat yhtälöt suoritetaan laskennallisella alueella . Rajaehdot: . Kerromme molemmat yhtälöt skalaarisesti vastaavalle elementille määritetyillä testifunktioilla . Saman tilan toimintoja käytetään perustoimintoina. Niiden määrittämiseksi käytämme Maxwell-yhtälöiden adjunktista järjestelmää [6] : $\Omega$ $\mathbf {E} \times \mathbf {n} =-2\mathbf {g}$ $\mathbf {\xi ^{K_{i))} ,\mathbf {\psi ^{K_{i))}$ $K_{i}\in K$

$\left\{{\begin{array}{lcr}i\omega \epsilon \mathbf {\xi ^{K_{i))} +\nabla \times \mathbf {\psi ^{K_{i} )) =0\\i\omega \mu \mathbf {\psi ^{K_{i))} -\nabla \times \mathbf {\xi ^{K_{i))} =0\\\end{array }}\oikea.$

Tämän järjestelmän molemmat yhtälöt on kirjoitettu yhdelle elementille . Kertomalla jokainen järjestelmän yhtälö testifunktiolla, muuntamalla ne Greenin kaavan analogia käyttäen ja laskemalla yhteen , saadaan seuraava lauseke: $K_{i}$

$\int _{K_{i}}{\left(\mathbf {E} \cdot {\overline {i\omega \epsilon \mathbf {\xi ^{K_{i}}} +\nabla \times \mathbf {\psi ^{K_{i}}} }}+\mathbf {H} \cdot {\overline {i\omega \mu \mathbf {\psi ^{K_{i}}} -\nabla \times \mathbf {\xi ^{K_{i))} }}\right)dx}=\int _{\osittais K_{i}}{\left(\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {H} \cdot \mathbf {\xi ^{K_{i))} -\mathbf {n^{K_{i))} \times \mathbf {E} \cdot \mathbf {\psi ^{K_ {i}}} \right)ds}$

Kun otetaan huomioon testifunktioiden yhtälöjärjestelmä, tämä lauseke yksinkertaistetaan seuraavasti:

$\int _{\partial K_{i}}{\left(\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {H} \cdot \mathbf {\xi ^{K_{i} }} -\mathbf {n^{K_{i}}} \times \mathbf {E} \cdot \mathbf {\psi ^{K_{i}}} \right)ds}=0$

Esitellään merkintä:

Vektori	matriiseja
$\mathbf {u^{K_{i))} ={\binom ({\Bigl .}\mathbf {E} {\Bigr \|}_{K_{i))}{{\Bigl .}\ mathbf {H} {\Bigr \|}_{K_{i))))~~\mathbf {\phi ^{K_{i))}={\binom {\mathbf {\xi ^{K_{i)) } }{\mathbf {\psi ^{K_{i))} }}$	$Z^{K_{i}}={\begin{pmatrix}0&n_{3}^{K_{i}}&-n_{2}^{K_{i}}\\-n_{3}^ {K_{i}}&0&n_{1}^{K_{i}}\\n_{2}^{K_{i}}&-n_{1}^{K_{i}}&0\end{pmatrix}}$
$\chi ^{K_{i}}={\Bigl .}L^{K_{i},+}\mathbf {u^{K_{i}}} {\Bigr \|}_{\osittais K_ {i}}~~\gamma ^{K_{i}}={\Bigl .}L^{K_{i},+}\mathbf {\phi ^{K_{i}}}{\Bigr \|}_ {\osittainen K_{i))$ $F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})={\Bigl .}-L^{K_{i},-}\mathbf {\phi ^{K_{i}} } {\Bigr \|}_{\osittais K_{i))$	$D^{K_{i}}{\begin{pmatrix}0&(Z^{K_{i}})^{T}\\Z^{K_{i}}&0\end{pmatrix}}$ $L^{K_{i},\pm }={\frac {1}{\sqrt {2\sigma ))}\left(Z^{K_{i)),~\pm \sigma (Z ^{K_{i}})^{2}\oikea)$

Nyt ongelmana esitetään vektorien löytäminen kaikille elementeille, jotka täyttävät seuraavat yhtälöt [6] : ${\näyttötyyli \chi ^{K_{i))}$

$\int _{\partial K_{i}}{\chi ^{K_{i}}\cdot {\overline {\gamma ^{K_{i}}}}ds}-\sum _{\Gamma _{ij}=\partial K_{i}\cap \partial K_{j}\neq \varnothing }\int _{\Gamma _{ij)){\chi ^{K_{j))\cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})}}ds}-\sum _{\Gamma _{i}=\partial K_{i}\cap \partial \Omega \neq \ varnothing }\int _{\Gamma _{i}}{\chi ^{K_{i}}\cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}})))} ds }=\int _{\osittais K_{i}}{\mathbf {g} \cdot {\overline {F_{K_{i}}(\gamma ^{K_{i}}})))ds}~~ \ forall \gamma ^{K_{i}}$

Jos alkuperäisillä yhtälöillä olisi oikea puoli lopullisessa ultraheikossa formulaatiossa, lisätermit ilmestyisivät integraalien muodossa itse lopullisen elementin päälle. Menetelmän erityispiirteet ovat, että järjestelmän ratkaisun saamisen jälkeen on tarpeen ratkaista toinen vektorin saamiseksi , mutta löydettyämme sen tunnistamme välittömästi sähkömagneettisen kentän kahden komponentin arvot : ja . Tämä lauseke voidaan silti muuttaa hankkimalla välittömästi yhtälö vektorille . $\mathbf{u}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf{u}$

Kirjallisuus

Arnold DN, Brezzi F., Cocburn B., Mariri D. "Unified Analyys of DCM for elliptic problems", 2002

Muistiinpanot

↑ Yu. I. Shokin , E. P. Shurina , N. B. Intkina. Nykyaikaiset multigrid-menetelmät. - NSTU, 2012. - 98 s. - ISBN 978-5-7782-2119-2 .
↑ Funktioiden arvot otetaan rajaksi alueen sisältä, eli missä on yksikkö ulospäin normaali. $v_{i}=v_{i}^{-}=lim_{\epsilon \to 0+}v(x-\epsilon n_{K_{i)))$ ${\näyttötyyli n_{K_{i))}$
↑ Arnold D.N. , Brezzi F. , Cocburn B. , Mariri D. DCM:n yhtenäinen analyysi elliptisten ongelmien varalta. – 2002.
↑ Englanti. Sisäinen rangaistus , sisäinen rangaistusmenetelmä, Baumann-Oden -menetelmä
↑ Epäsymmetrinen IP-menetelmä
↑ 1 2 T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen ultraheikosta variaatioformulaatiolla . – 2006.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Rajallisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät