Gradientti (sanasta lat. gradiens , suku p. gradientis "kävely, kasvaa") - vektori , jonka suunta osoittaa jonkin skalaarisuureen (jonka arvo muuttuu yhdestä pisteestä ) noususuunnan (ja antigradientin laskun avaruudesta toiseen muodostaen skalaarikentän ) ja suuruudessa (moduulissa), joka on yhtä suuri kuin tämän suuruinen kasvunopeus tähän suuntaan.
Esimerkiksi, jos otamme maanpinnan korkeudeksi merenpinnan yläpuolella, niin sen gradientti jokaisessa pinnan pisteessä näyttää "jyrkimmän nousun suunnan" ja luonnehtii rinteen jyrkkyyttä sen suuruudella.
Toisin sanoen gradientti on derivaatta avaruuden suhteen, mutta toisin kuin derivaatta yksiulotteisen ajan suhteen, gradientti ei ole skalaari, vaan vektorisuure.
Matemaattisesta näkökulmasta gradienttia voidaan tarkastella seuraavasti:
Avaruus, jolle funktio ja sen gradientti määritellään, voi yleisesti ottaen olla joko tavallinen kolmiulotteinen tila tai minkä tahansa muun ulottuvuuden avaruus, luonteeltaan mikä tahansa fyysinen tai puhtaasti abstrakti (ulotteinen).
Termi esiintyi ensimmäisen kerran meteorologiassa , ja Maxwell otti sen matematiikkaan vuonna 1873; nimitystä ehdotti myös Maxwell.
Vakiomerkinnät :
tai käyttämällä nabla-operaattoria ,
- sen sijaan voi olla mikä tahansa skalaarikenttä , joka on merkitty millä tahansa kirjaimella, esimerkiksi - kentän gradienttimerkinnät: .
Olkoon huoneen lämpötila skalaarikentällä T siten, että jokaisessa koordinaattien ( x , y , z ) antamassa pisteessä lämpötila on T ( x , y , z ) (oletetaan, että lämpötila ei muutu ajan kuluessa ). Jokaisessa huoneen pisteessä T -funktion gradientti osoittaa suuntaan, johon lämpötila nousee nopeimmin. Gradientin suuruus määrittää, kuinka nopeasti lämpötila nousee tiettyyn suuntaan.
Kolmiulotteisen avaruuden tapauksessa jollain alueella differentioituvien koordinaattien skalaarifunktion gradientti , on vektorifunktio, jossa on komponentteja
[yksi]Tai käyttämällä yksikkövektoreita pitkin suorakulmaisten suorakulmaisten koordinaattien akseleita :
Jos on muuttujien funktio , niin sen gradientti on -ulotteinen vektori
jonka komponentit ovat yhtä suuret kuin osittaiset derivaatat kaikkien sen argumenttien suhteen.
Minkä tahansa skalaarifunktion gradientin merkitys on, että sen skalaaritulo äärettömän pienellä siirtymävektorilla antaa tämän funktion kokonaisdifferentiaalin vastaavalla koordinaattien muutoksella avaruudessa, jossa on määritelty , eli lineaarinen (jos yleinen sijainti, se on myös tärkein) osa muutoksesta, kun sitä siirretään . Käyttämällä samaa kirjainta osoittamaan vektorin funktiota ja vastaavaa sen koordinaattien funktiota, voidaan kirjoittaa:
Tässä on syytä huomata, että koska kokonaisdifferentiaalin kaava ei riipu koordinaattien tyypistä , eli parametrien x luonteesta yleensä, niin tuloksena oleva differentiaali on invariantti, eli skalaari, kaikki koordinaattimuunnokset, ja koska se on vektori, niin tavalliseen tapaan laskettu gradientti osoittautuu kovarianttivektoriksi , eli duaalikantaisessa vektorissa, jonka vain skalaari voi antaa yksinkertaisesti summaamalla tulot tavallisen ( kontravariantin ), eli tavalliseen kantaan kirjoitetun vektorin koordinaateista. Näin ollen lauseke (yleensä mielivaltaisille kaareville koordinaateille) voidaan kirjoittaa aivan oikein ja muuttumattomana seuraavasti:
tai jättämällä pois Einsteinin säännön mukainen summamerkki,
(ortonormaalilla pohjalla voimme kirjoittaa kaikki indeksit alaindeksinä, kuten teimme edellä). Gradientti osoittautuu kuitenkin todelliseksi kovarianttivektoriksi missä tahansa käyräviivaisessa koordinaatissa.
Integraalilauseen käyttäminen
,gradientti voidaan ilmaista integraalimuodossa:
tässä on suljettu pinta, joka sulkee sisäänsä tilavuuden , joka on tämän pinnan normaali elementti.
Esimerkiksi funktion gradientti olisi:
Fysiikan eri aloilla käytetään eri fysikaalisten kenttien gradientin käsitettä.
Esimerkiksi sähköstaattisen kentän voimakkuus on miinus sähköstaattisen potentiaalin gradientti, gravitaatiokentän voimakkuus (vapaan pudotuksen kiihtyvyys) klassisessa painovoimateoriassa on miinus gravitaatiopotentiaalin gradientti . Klassisen mekaniikan konservatiivinen voima on miinus potentiaalinen energiagradientti .
Gradientin käsitettä ei käytetä vain fysiikassa, vaan myös siihen liittyvissä ja jopa suhteellisen kaukana fysiikan tieteistä (joskus tämä sovellus on määrällinen ja joskus vain laadullinen).
Esimerkiksi pitoisuusgradientti on liuenneen aineen pitoisuuden nousu tai lasku mihin tahansa suuntaan, lämpötilagradientti on väliaineen lämpötilan nousu tai lasku johonkin suuntaan jne.
Tällaisten arvojen gradientti voi johtua useista syistä, esimerkiksi mekaanisesta esteestä, sähkömagneettisten, gravitaatio- tai muiden kenttien vaikutuksesta tai erosta viereisten vaiheiden liukenemisvoimassa.
Talousteoriassa gradientin käsitettä käytetään perustelemaan tiettyjä johtopäätöksiä. Erityisesti Lagrange-kerroinmenetelmä ja Kuhn-Tuckerin ehdot (luonnontieteistä lainatut) kuluttajan optimin löytämiseksi perustuvat hyötyfunktion ja budjettirajoitusfunktion gradienttien vertailuun .
Harkitse funktiotason rivien perhettä :
On helppo osoittaa, että funktion gradientti pisteessä on kohtisuorassa sen tämän pisteen kautta kulkevaa tasoviivaa vastaan. Gradientin moduuli näyttää funktion maksimimuutosnopeuden naapurustossa , eli tasoviivojen taajuuden. Esimerkiksi korkeusviivat näytetään topografisissa kartoissa, ja gradienttimoduuli näyttää laskeutumisen tai nousun jyrkkyyden tietyssä pisteessä.
Yhdistetyn funktion differentiaatiosäännön avulla on helppo osoittaa, että funktion suuntaderivaata on yhtä suuri kuin gradientin ja yksikkövektorin skalaaritulo :
Siten vektoriargumentin skalaarifunktion derivaatan laskemiseksi mihin tahansa suuntaan riittää, että tiedetään funktion gradientti, eli vektori, jonka komponentit ovat sen osittaisia derivaattoja.
missä ovat Lame-kertoimet .
Lame kertoimet:
Täältä:
Lame kertoimet:
Täältä:
Lame kertoimet:
Täältä:
Differentiaalilaskenta | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Main | |||||||
yksityiset näkymät | |||||||
Differentiaalioperaattorit ( eri koordinaateissa ) |
| ||||||
liittyvät aiheet |