Skalaarikenttä

Skalaarikenttä (skalaarifunktio) jossakin äärellisulotteisessa avaruudessa on funktio , joka yhdistää jokaisen pisteen jostain tämän avaruuden alueelta (domain) skalaariin eli reaali- tai kompleksilukuon . Kiinteällä tilaperusteella skalaarikenttä voidaan esittää useiden muuttujien funktiona, jotka ovat pisteen koordinaatteja. $V$

Ero usean muuttujan numeerisen funktion ja skalaarikentän välillä on se, että eri kannassa skalaarikenttä koordinaattien funktiona muuttuu siten, että jos uusi argumenttijoukko edustaa samaa pistettä avaruudessa uudessa kannassa, niin skalaarifunktion arvo ei muutu.

Jos esimerkiksi jossakin kaksiulotteisen vektoriavaruuden ortonormaalisessa kannassa skalaarifunktiolla on muoto , niin toisessa kannassa, joka on kierretty 45 astetta tähän, samalla funktiolla uusissa koordinaateissa on muoto . $f(v)=x^{2}+2y^{2},$ $f(v)=3x'^{2}+3y'^{2}-2x'y'$

Useimmiten ajatellaan skalaarifunktioita, jotka ovat jatkuvia tai differentioituvia (tasaisia) riittävän monta kertaa (eli funktion täytyy kuulua ryhmään ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m))$

Sovellukset sisältävät pääasiassa:

Kolmen muuttujan funktio: (skalaarikenttä kolmiulotteisessa avaruudessa, joskus kutsutaan [1] avaruuskentällä). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$
Kahden muuttujan funktio: (skalaarikenttä kaksiulotteisessa avaruudessa, jota joskus kutsutaan [1] tasaiseksi kenttään). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y)$

Esimerkkejä

Esimerkkejä skalaarikentistä 3D-avaruudessa:

lämpötila (ymmärretään, että se on yleisesti ottaen erilainen avaruuden eri kohdissa);
sähköstaattinen potentiaali ;
potentiaali Newtonin painovoimateoriassa ;
painekenttä nestemäisessä väliaineessa.

Esimerkkejä litteistä (kaksiulotteisista) skalaarikentistä:

meren syvyys, merkitty jollain tavalla tasaiselle kartalle;
varaustiheys tasaisella johtimen pinnalla.

Yleensä skalaarikenttä ymmärretään kentältä, joka on invariantti koordinaattimuunnosten yhteydessä (joskus ja usein - tietyn luokan koordinaattimuunnoksissa, esimerkiksi tilavuutta säilyttävien muunnosten, ortogonaalisten muunnosten jne. aikana); mutta yhtä harvoin se on tarkoitti skalaarikentän invarianssia mielivaltaisissa koordinaattimuunnoksissa, joita rajoittaa ehkä vain sileys). (Katso skalaari ).

Tässä mielessä jokainen reaaliarvoinen koordinaattifunktio ei ole skalaarikenttä. Yksinkertaisin esimerkki: tässä mielessä yksi vektorikentän koordinaattikomponenteista ei ole skalaarikenttä , koska koordinaattien valintaa muuttaessa (esimerkiksi koordinaattiakseleita pyöritettäessä) se ei pysy muuttumattomana (eli se ei ole koordinaattimuunnosten invariantti).

Skalaarikentät fysiikassa

Fysiikassa ja monissa muissa sovelluksissa ala on yleisesti ottaen myös riippuvainen ajasta [2] :

u=u(x,y,z,t)

Vaikka kentän operaatioita (kuten gradienttia ) käytetään edelleen 3-ulotteisena, eli vaikka yksi riippumaton muuttuja on lisätty, kenttä katsotaan pohjimmiltaan kenttänä avaruudessa, jonka ulottuvuus on 3 eikä 4. Samat huomiot koskevat tapauksia, joissa kenttä riippuu tilakoordinaattien lisäksi joistakin muista parametreista: nämä parametrit voidaan nimenomaisesti ilmaista toiminnallisessa riippuvuudessa, mikä ei kuitenkaan muuta sen pääavaruuden ulottuvuutta, jossa kenttää tarkastellaan. .

Nykyaikaisessa teoreettisessa fysiikassa on tapana eksplisiittisesti pitää aikaa koordinaattina, joka on muodollisesti yhtä suuri kuin kolme spatiaalista [3] , ja tilan ja ajan kokonaisuutta pidetään eksplisiittisesti yhtenä neliulotteisena avaruutena (kutsutaan aika-avaruuteen ). Siten nykyaikaisen teoreettisen fysiikan skalaarikentästä puhuttaessa ne tarkoittavat oletusarvoisesti kenttää neliulotteisessa avaruudessa tai monistossa , eli funktiota, joka riippuu neljästä muodollisesti yhtä suuresta koordinaatista:

u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})

(yksi näistä neljästä koordinaatista on yhtä suuri tai verrannollinen aikaan); Lisäksi tässä tapauksessa, jos käytetään termiä skalaarikenttä , se tarkoittaa myös, että se on Lorentzin invariantti . Kaikkia kenttäoperaatioita (kuten gradienttia) käytetään niiden 4D-muodossa. $x_{i}$ $u$

Nykyaikaisessa teoreettisessa fysiikassa skalaarikenttä ymmärretään yleensä (peruskenttien osalta) Minkowskin avaruusskalaarin peruskenttänä ( Lorentzin invarianttikenttä ) tai kenttänä, joka on invariantti yleisissä koordinaattimuunnoksissa (yleensä ensimmäinen ja toinen käytännössä sama).

Käytännön synonyymejä termille skalaarikenttä tässä mielessä ovat termit kentän spin nolla , spin nolla hiukkanen , skalaarihiukkanen (jälkimmäistä, joka kuitenkin laimentaa jonkin verran näitä läheisiä käsitteitä, kutsutaan myös skalaarikentän virityksiksi).

Ainoa kokeellisesti löydetty skalaarihiukkanen on Higgsin bosoni .

Skalaarikentillä on tärkeä rooli teoreettisissa rakenteissa. Niiden läsnäolo (samassa mielessä ymmärrettyjen ja todellisuudessa havaittujen vektori- ja tensorikenttien ohella ) on välttämätöntä peruskenttien luokituksen täydellisyyden kannalta.

Uusissa fysikaalisissa teorioissa (kuten esimerkiksi merkkijonoteoriassa ) ne käsittelevät usein eri ulottuvuuksia olevia tiloja ja monimuotoisia, mukaan lukien melko korkeita (yli neljä) ja kenttiä, mukaan lukien skalaarikentät, sellaisissa tiloissa.

Tasainen pinta

Skalaarikenttä voidaan esittää graafisesti käyttämällä tasaisia pintoja (kutsutaan myös isopinnoiksi).

Skalaarikentän tasopinta on joukko avaruuden pisteitä, joissa funktio u saa saman arvon c eli tasopinnan määrää yhtälö . Tasaisten pintojen joukon kuva eri pinnoille antaa visuaalisen esityksen tietystä skalaarikentästä, jolle ne on rakennettu (kuvattu) [4] , lisäksi tasaisten pintojen esitys tarjoaa tietyn geometrisen lisätyökalun työskentelyyn skalaarikenttä, jota voidaan käyttää laskutoimituksiin, lauseiden todistamiseen jne. Esimerkki: ekvipotentiaalipinta . $u=u(x,y,z)$ $u(x,y,z)=c$ $c$

Kaksiulotteisessa avaruudessa olevan kentän osalta tasopinnan analogi on tasoviiva . Esimerkkejä: isobath , isotermi , isohypse (yhtäkorkuinen viiva) maantieteellisellä kartalla ja muut isoliinit .

Suuremman ulottuvuuden avaruuden skalaarikentän tasopinnat ovat hyperpintoja , joiden mitta on yksi pienempi kuin avaruuden mitta.

Gradientti

Kentän nopeimman kasvun suunta ilmaistaan gradienttivektorilla , joka on merkitty tavalliseen tapaan: $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$

{\mathbf {grad}}\ u

tai muu merkintä:

\nabla u

komponenttien kanssa:

\left({\frac {\partial u}{\partial x)),\ {\frac {\partial u}{\partial y)),\ {\frac {\partial u}{\partial z))\ oikea)

Tässä on kaava kolmiulotteiselle tapaukselle, se voidaan yleistää muihin ulottuvuuksiin suoraan ja triviaalisesti.

Jos koordinaatit eivät ole suorakulmaisia (kanta ei ole ortonormaali), on tärkeää huomata, että yllä olevat gradienttikomponentit ovat kovariantteja, eli skalaarikentän gradientti on kovektorikenttä. Ortonomisille kannaille tämä ei ole välttämätöntä, koska niille vektorin ja kovektorin käsitteitä voidaan pitää samoina samoin kuin kovariantti- ja kontravarianttikoordinaatteja.

Gradienttivektorin u itseisarvo on u : n derivaatta nopeimman kasvun suunnassa ( u :n kasvunopeus yksikkönopeudella tähän suuntaan liikkuessa).

Gradientti on aina kohtisuorassa tasopintoja vastaan (2D-tapauksessa tasoviivoja vastaan). Poikkeuksen muodostavat kentän singulaaripisteet, joissa gradientti on yhtä suuri kuin nolla.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Flatfield - Meteorological Dictionary . Käyttöpäivä: 17. toukokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2014. (määrätön)
↑ Sekaannusten välttämiseksi tässä osiossa puhumme vain kolmiulotteisen avaruuden kentästä.
↑ Tähän on varsin vakavat syyt, jotka kiteytyvät siihen, että fysiikassa ei ole mahdollista tehdä vain muodollisia muunnoksia (ns. Lorentz-muunnoksia , joita voidaan luonnehtia aika-avaruuskierroksi), sekoittamalla spatiaalisia koordinaatteja aika, mutta käy ilmi, että mitkään fysikaaliset kokeet ja havainnot, sikäli kuin tiedämme nykyään, eivät voi paljastaa eroja fysiikan yhtälöiden välillä, jotka on kirjoitettu jompaankumpaan kahdesta kahdesta niin suhteessa toisiinsa kiertyneestä aika-avaruuskoordinaatistosta.
↑ Tällaisten pintojen "kuva" on tietysti yleensä kolmiulotteinen (pinnat itse ovat kaksiulotteisia, mutta yleisesti ottaen eivät litteitä ja sijaitsevat kolmiulotteisessa avaruudessa), mutta se voi yksinkertaisissa tapauksissa olla helposti kuviteltavissa[ mitä? ] , sekä jollakin tavalla rakentaa yksi tai useampi 2D-projektio tai osio tällaisesta 3D-kuvasta.

Kirjallisuus

Borisenko AI, Tarapov IE Vektorianalyysi ja tensorilaskennan periaatteet. (linkki ei saatavilla) 3rd ed. Moskova: Korkeakoulu, 1966.
Goldfain IA Vektorianalyysi ja kenttäteoria. Moskova: Nauka, 1968.
Kochin N. E. Vektorilaskenta ja tensorilaskennan alku. 9. painos Moskova: Nauka, 1965.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4181618-3 J9U : 987007558470805171