Lorentzin muunnoksia

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28.10.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Lorentz - muunnokset ovat vektorin (vastaavasti affiinin) pseudoeuklidisen avaruuden lineaarisia (tai affinisia) muunnoksia, jotka säilyttävät pituudet tai vastaavasti vektorien skalaaritulon .

Pseudoeuklidisen tunnusavaruuden Lorentzin muunnoksia käytetään laajalti fysiikassa, erityisesti erityissuhteellisuusteoriassa (SRT) , jossa neliulotteinen tila-aikajatkumo ( Minkowskin avaruus ) toimii affiinina pseudoeuklidisena avaruutena . $(n-1,\;1)$

Lorentzin muunnokset matematiikassa

Lorentzin muunnos on luonnollinen yleistys ortogonaalisen muunnoksen käsitteelle (eli muunnokselle, joka säilyttää vektorien skalaaritulon) euklidisesta pseudoeuklidiseen avaruuteen . Niiden välinen ero on se, että skalaaritulon ei oletetaan olevan positiivinen definitiivinen, vaan merkki-alternatiivinen ja ei-degeneroitunut (ns. epämääräinen skalaaritulo).

Määritelmä

Pseudoeuklidisen vektoriavaruuden Lorentzin muunnos ( Lorentzin muunnos ) on lineaarinen muunnos , joka säilyttää vektorien määrittelemättömän skalaaritulon . Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa kahden vektorin yhtäläisyys $L$ $A\kaksoispiste L\-L$ $x,\;y\in L$

\langle A(x),\;A(y)\rangle =\langle x,\;y\rangle ,

jossa kolmiohakasulkeet tarkoittavat epämääräistä skalaarituloa pseudoeuklidisessa avaruudessa . $\langle x,\;y\rangle$ $L$

Vastaavasti pseudoeuklidisen affiinisen avaruuden Lorentzin muunnos ( Lorentzin muunnos ) on affiinimuunnos , joka säilyttää pisteiden välisen etäisyyden kyseisessä avaruudessa (tämä etäisyys määritellään vektorin pituudeksi, joka yhdistää tietyt pisteet epämääräisellä pistetulolla) .

Yleiset ominaisuudet

Koska mikä tahansa affiinimuunnos on yhdistelmä rinnakkaiskäännöksestä (joka luonnollisesti säilyttää pisteiden välisen etäisyyden) ja muunnoksesta, jolla on kiinteä piste, affiinisen avaruuden Lorentzin muunnosryhmä ( Poincarén ryhmä ) saadaan affiinisen avaruuden Lorentzin muunnosryhmästä. Saman ulottuvuuden vektoriavaruus ( Lorentz -ryhmä ) lisäämällä siihen kaikki mahdolliset rinnakkaiset siirrot.
Jos jokin kanta valitaan pseudoeuklidisessa vektoriavaruudessa , niin Gram-matriisi määritellään määrittelemättömälle skalaaritulolle . Sitten Lorentzin muunnosmatriisi tyydyttää suhteen $L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $\langle x,\;y\rangle$ $G$ $A$

A^{T}\,G\,A=G,\qquad (*)

Päinvastoin, mikä tahansa matriisi , joka tyydyttää suhteen, on Lorentzin muunnosmatriisi. Kanta voidaan aina valita siten , että määrittelemättömällä skalaaritulolla on muoto $A$ $(*)$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}-x_{{k+1}}y_{{k+1}}-\ldots -x_{n}y_{n},

ja tasa-arvossa matriisi on diagonaalinen elementtien (ensimmäinen ) ja (viimeinen ) kanssa. $(*)$ $G$ $yksi$ $k$ $-yksi$ $nk$

Relaatiosta seuraa, että kuten ortogonaalisen muunnoksen tapauksessa, determinantti tai . $(*)$ $|A|=+1$ $|A|=-1$
Jos aliavaruus on invariantti Lorentzin muunnoksessa , niin sen ortogonaalinen (annetun epämääräisen skalaaritulon merkityksessä) komplementti on myös invariantti muunnoksen ja . Toisin kuin euklidisten avaruuksien ortogonaaliset muunnokset, yhtäläisyys , jossa symboli tarkoittaa aliavaruuksien suoraa summaa , ei kuitenkaan päde (molemmat aliavaruudet ja voivat sisältää samat nollasta poikkeavat isotrooppiset vektorit , eli koska mikä tahansa isotrooppinen vektori on ortogonaalinen itseensä nähden ) [1] . $L_{1}\alajoukko L$ $A\kaksoispiste L\-L$ $L_{1}^{\perp }$ $A$ $\dim L_{1}+\dim L_{1}^{\perp }=\dim L$ $L_{1}\oplus L_{1}^{\perp }=L$ $\oplus$ $L_{1}$ $L_{1}^{\perp }$ $L_{1}\cap L_{1}^{\perp }\neq 0$

Ominaisuudet allekirjoitustiloissa (n-1, 1)

Tasa -arvosta seuraa, että Lorentzin muunnos kääntää valokartion itsestään ja myös sen ulkonäön itsestään ( SRT :ssä - ehdottoman kaukaisen alueen ). Kuitenkin tässä tapauksessa valokartion kaksi komponenttia, jotka erotetaan sen kärjellä (SRT:ssä ne rajoittavat tulevaisuuden kartiota ja menneisyyden kartiota ), voivat joko siirtyä itseensä tai vaihtaa paikkaa keskenään. $\langle A(x),\;A(x)\rangle =\langle x,\;x\rangle$
Sen perusteella, järjestääkö tietty Lorentz-muunnos valokartion osia uudelleen vai jättääkö ne paikoilleen, sekä determinantin merkin perusteella , Lorentz-ryhmä voidaan jakaa 4 osaan, jotka ovat sen polkuun liittyviä komponentteja (mutta vain yksi heistä on alaryhmä). Tämä tosiasia (neljän yhdistetyn komponentin läsnäolo) tulkitaan usein pseudoeuklidisen avaruuden neljän orientaation olemassaoloksi (toisin kuin euklidisessa avaruudessa, jossa on vain kaksi suuntausta) [1] . $A$ $|A|=\pm 1$

Pseudoeuklidisen tason muunnosten eksplisiittinen muoto

Pseudoeuklidisen tason Lorentzin muunnokset voidaan kirjoittaa yksinkertaisimmassa muodossa käyttäen kahdesta isotrooppisesta vektorista koostuvaa kantaa : $esim$

\langle e,\;e\rangle =0,\quad \langle g,\;g\rangle =0,\quad \langle e,\;g\rangle =1/2.

Nimittäin, riippuen determinantin etumerkistä , muunnosmatriisilla tässä pohjassa on muoto: $|A|=\pm 1$

A={\begin{pmatrix}a&\ \ \,0\\0&\,1/a\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=+1,\qquad A={\begin{pmatrix}0& \ a\\1/a&\,0\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.

Numeron etumerkki määrittää, jättääkö muunnos valokartion osia paikoilleen vai vaihtaako ne . $a$ $A$ $(a>0)$ $(a<0)$

Toinen usein tavattu pseudoeuklidisen tason Lorentzin muunnosmatriisien muoto saadaan valitsemalla kanta, joka koostuu vektoreista ja : $e'=e+g$ $g'=eg$

\langle e',\;e'\rangle =+1,\quad \langle g',\;g'\rangle =-1,\quad \langle e',\;g'\rangle =0.

Pohjassa muunnosmatriisilla on yksi neljästä muodosta: $e',\;g'$ $A$

{\begin{pmatrix}\ \operaattorinimi {ch}\varphi &\ \ \operaattorinimi {sh}\varphi \\\,\operaattorinimi {sh}\varphi &\ \operaattorinimi {ch}\varphi \end{pmatrix}} ,\quad {\begin{pmatrix}\ -\operaattorinimi {ch}\varphi &\,\ -\operaattorinimi {sh}\varphi \\\,-\operaattorinimi {sh}\varphi &\,-\operaattorinimi {ch }\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-\operaattorinimi {ch}\varphi &\,-\operaattorinimi {sh}\varphi \\\,\operaattorin nimi {sh}\varphi &\ \operaattorinimi {ch}\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \operaattorinimi {ch}\varphi &\ \,\operaattorinimi {sh}\varphi \\\,-\operaattorinimi {sh }\varphi &\,-\operaattorinimi {ch}\varphi \end{pmatrix}},\qquad (0)

missä ja ovat hyperbolinen sini ja kosini, ja on nopeus . $\operaattorinimi {sh}$ $\operaattorinimi {ch}$ $\varphi$

Allekirjoitusavaruuden muunnosten eksplisiittinen muoto (n-1, 1)

-ulotteisen pseudoeuklidisen avaruuden Lorentzin muunnokset skalaaritulolla $n$ $L$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{{n-1}}y_{{n-1}}-x_{n}y_{n}\quad ( yksi)

kuvataan seuraavalla lauseella.

Lause 1. Jokaiselle Lorentzin muunnokselle on olemassa invariantteja aliavaruuksia ja sellaisia, että skalaaritulon (1) rajoitus jokaiseen niistä on ei-degeneroitu ja on ortogonaalinen hajottelu $A\kaksoispiste L\-L$ $L_{0}\alajoukko L$ $L_{1}\alajoukko L$

L=L_{0}\oplus L_{1},\quad L_{0}\perp L_{1},

jossa aliavaruus skalaaritulolla (1) on euklidinen ja . [yksi] $L_0$ $\dim L_{1}\leqslant 3$

Lause 1 väittää, että mikä tahansa pseudoeuklidisen allekirjoitusavaruuden Lorentzilainen muunnos saadaan dimensioiden 1 tai 2 tai 3 pseudoeuklidisen avaruuden Lorentzi-muunnoksena ja ulkoulotteisen euklidisen avaruuden ortogonaalisella muunnolla. $L$ $(n-1,\;1)$ $L_{1}\alajoukko L$ $L_{0}\alajoukko L$

Lemma. Jos , niin invariantti pseudoeuklidinen aliavaruus voidaan puolestaan esittää suorana summana $\dim L_{1}=3$ $L_{1}$

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}\oplus M_{3}

tai

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}

aliavaruudet , jotka ovat pareittain ortogonaalisia ja invariantteja muunnoksen alla , paitsi yhtä yksittäistä tapausta, jolloin muunnoksella on ainutlaatuinen ominaisarvo, jonka monikertaisuus on 3 ja ainoa ominaisvektori on isotrooppinen: . Tässä ainutlaatuisessa tapauksessa invariantti aliavaruus ei hajoa minkään muunnoksessa invarianttien aliavaruuksien suoraksi summaksi , vaan on tämän muunnoksen kolmiulotteinen juurialiavaruus [1] . $M_{i}\subset L_{1}$ $A$ $A\kaksoispiste L_{1}\-L_{1}$ $\lambda=\pm1$ $e\in L_{1}$ $\langle e,\;e\rangle =0$ $L_{1}$ $A\kaksoispiste L_{1}\-L_{1}$

Lause 1 yhdessä lemman kanssa mahdollistavat seuraavan tuloksen:

Lause 2. Jokaiselle Lorentzin muunnokselle on olemassa sellainen ortonormaali (suhteessa määräämättömään skalaarituloon (1)) : $A\kaksoispiste L\-L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle e_{1},\;e_{1}\rangle =\ldots =\langle e_{{n-1}},\;e_{{n-1}}\rangle =+1,\quad \langle e_{n},\;e_{n}\rangle =-1,\quad \langle e_{i},\;e_{j}\rangle =0\;(\forall i\neq j),

jossa matriisilla on lohko-diagonaalinen muoto, jossa on seuraavan tyyppisiä lohkoja: $A$

tilaus 1 elementillä , $\pm 1$
kertaluku 2 on euklidisen tason kiertomatriisi kulman läpi , $\varphi$
kertaluku 2 on muodon pseudoeuklidisen tason Lorentzin muunnosmatriisi , $(0)$
luokkaa 3 on kolmiulotteisen pseudoeuklidisen avaruuden Lorentzin muunnosmatriisi, jossa on kolminkertainen ominaisarvo ja yksi isotrooppinen ominaisvektori. $\lambda=\pm1$

Tässä tapauksessa matriisi voi sisältää enintään yhden lohkon, joka kuuluu kahteen viimeiseen tyyppiin [1] . $A$

Lisäksi seuraava esitys -ulotteisen pseudoeuklidisen avaruuden Lorentzin muunnoksista sisätulolla pätee . $n$ $L$ $(yksi)$

Lause 3. Mikä tahansa sisätulolla varustetun avaruuden Lorentzin muunnos voidaan esittää seuraavien lineaaristen muunnosten koostumuksena: $A\kaksoispiste L\-L$ $L$ $(yksi)$

yhtälön antaman euklidisen aliavaruuden ortogonaalinen muunnos koordinaatteineen $x_{n}=0$ $(x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}})$
Pseudoeuklidisen tason Lorentzin muunnos koordinaattein joidenkin kanssa , $(x_{i},\;x_{n})$ $i<n$
muodon heijastukset [ 2] . $x_{i}\mapsto \pm x_{i}$ $i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}$

Lorentzin muunnokset fysiikassa

Lorentzin muunnokset fysiikassa, erityisesti erityisessä suhteellisuusteoriassa (SRT) ovat muunnoksia, jotka kunkin tapahtuman aika-avaruuskoordinaatit käyvät läpi siirryttäessä yhdestä inertiaalisesta viitekehyksestä (ISR) toiseen. Samoin minkä tahansa 4-vektorin koordinaatit joutuvat Lorentzin muunnoksille tällaisessa siirtymässä . $(x,\;y,\;z,\;t)$

Jotta Lorentz-muunnokset erotettaisiin selkeästi origon siirtymillä ja ilman siirtymiä, tarvittaessa puhutaan epähomogeenisista ja homogeenisista Lorentz-muunnoksista.

Vektoriavaruuden Lorentz-muunnokset (eli ilman origon siirtymiä) muodostavat Lorentz-ryhmän ja affiinisen avaruuden Lorentz-muunnokset (eli siirtymillä ) muodostavat Poincarén ryhmän , jota kutsutaan muuten epähomogeeniseksi Lorentz-ryhmäksi .

Matemaattisesti katsottuna Lorentz-muunnokset ovat muunnoksia, jotka säilyttävät Minkowski-metriikan muuttumattomana , eli erityisesti jälkimmäinen säilyttää yksinkertaisimman muotonsa siirtyessään inertiaalisesta viitekehyksestä toiseen (toisin sanoen Lorentzin muunnokset ovat analogia Minkowskin ortogonaalisten muunnosten metriikalle , joka suorittaa siirtymisen ortonormaalisesta perustasta toiseen, eli aika-avaruuden koordinaattiakselien kierron analogia). Matematiikassa tai teoreettisessa fysiikassa Lorentzin muunnoksia voidaan soveltaa mihin tahansa avaruuden ulottuvuuteen.

Juuri Lorentzin muunnokset, jotka, toisin kuin Galilean muunnokset, sekoittuvat spatiaalisia koordinaatteja ja aikaa, ovat historiallisesti tulleet perustaksi yhden aika-avaruuden käsitteen muodostumiselle .

On huomattava, että perusyhtälöt eivät ole vain Lorentzin kovariantteja (kuten Maxwell-yhtälöt, jotka kuvaavat sähkömagneettista kenttää, Dirac-yhtälö, joka kuvaa elektronia ja muita fermioneja), vaan myös sellaiset makroskooppiset yhtälöt kuin aaltoyhtälö, joka kuvaa (suunnilleen) ääntä, merkkijonojen värähtelyt ja kalvot ja jotkut muut (vain silloin Lorentzin muunnosten kaavoissa ei pitäisi tarkoittaa valon nopeutta, vaan jotain muuta vakiota - esimerkiksi äänen nopeutta). Siksi Lorentzin muunnoksia voidaan käyttää hedelmällisesti myös tällaisten yhtälöiden yhteydessä (tosin melko muodollisessa mielessä, joka kuitenkin poikkeaa vähän - omassa kehyksessään - niiden soveltamisesta perusfysiikkaan). $c$

Kollineaaristen (rinnakkaisten) tilaakseleiden muunnostyypit

Jos IFR liikkuu suhteessa IFR :ään vakionopeudella akselia pitkin ja tilakoordinaattien alkupisteet ovat molemmissa järjestelmissä alkuhetkellä samat, niin Lorentzin muunnoksilla (suoralla viivalla) on muoto: $K'$ $K$ $v$ $x$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

y'=y,\

z'=z,\

t'={\frac {t-(v/c^{2})x}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))},

missä on valon nopeus , arvot alkuluvuilla mitataan järjestelmässä ilman alkulukuja . $c$ $K'$ $K$

Tämä muunnosmuoto (eli kollineaarisia akseleita valittaessa), jota joskus kutsutaan boostiksi ( englanniksi boost ) tai Lorentz-tehosteeksi (etenkin englanninkielisessä kirjallisuudessa), yksinkertaisuudestaan huolimatta sisältää itse asiassa kaiken Lorentzin fyysisen sisällön. muunnoksia, koska spatiaaliset akselit voidaan aina valita tällä tavalla, eikä tilakiertojen lisääminen haluttaessa ole vaikeaa (katso tämä eksplisiittisesti laajennettu alla), vaikka se tekeekin kaavoista hankalampia.

Käänteismuunnoksen ilmaisevat, eli kautta ilmaisevat kaavat voidaan saada yksinkertaisesti korvaamalla ( vertailukehysten suhteellisen liikenopeuden itseisarvo on sama, kun sitä mitataan molemmissa vertailukehyksissä, joten haluttaessa se voidaan varustaa viivalla, vain samalla on tarpeen tarkkailla huolellisesti, että merkki ja määritelmä vastasivat toisiaan) ja "viivotun" ja "viivoamattoman" keskinäinen korvaaminen. Tai yhtälöjärjestelmän (1) ratkaiseminen suhteessa . $x',\;y',\;z',\;t'$ $x,\;y,\;z,\;t$ $v$ $-v$ $|v|$ $v$ $x$ $t$ $x',\;y',\;z',\;t'$
On syytä muistaa, että kirjallisuudessa Lorentzin muunnokset kirjoitetaan usein yksinkertaisuuden vuoksi yksikköjärjestelmään, jossa . $c = 1$
Voidaan nähdä, että Lorentzin muunnoksissa tapahtumat, jotka ovat samanaikaisia yhdessä vertailukehyksessä, eivät ole samanaikaisia toisessa (samanaikaisuuden suhteellisuus). Lisäksi liikkuvan kappaleen pituussuuntainen koko on pienempi verrattuna siihen, mitä sillä on mukana olevassa vertailukehyksessä ( Lorentzin supistuminen ), ja liikkuva kello hidastuu, jos sitä tarkastellaan "stationaarisesta" viitekehyksestä ( relativistinen aikadilataatio ).

Muunnosten tulos

Lorentz-muunnokset voidaan saada abstraktisti, ryhmänäkymien perusteella (tässä tapauksessa ne saadaan indefinite -arvolla ) Galilean muunnosten yleistyksenä (jonka teki Henri Poincaré - katso alla ). Ensimmäistä kertaa ne saatiin kuitenkin muunnoksina, joiden suhteen Maxwellin yhtälöt ovat kovariantteja (eli ne eivät itse asiassa muuta sähködynamiikan ja optiikan lakien muotoa vaihdettaessa toiseen viitekehykseen). Ne voidaan saada myös olettamalla muunnosten lineaarisuus ja olettamalla sama valonnopeus kaikissa vertailukehyksissä (joka on yksinkertaistettu muotoilu vaatimuksesta sähködynamiikan kovarianssille suhteessa haluttuihin muunnoksiin ja laajennukseen inertioiden viitekehysten yhtäläisyyden periaatteesta - suhteellisuusperiaatteesta - sähködynamiikkaan ), kuten tehdään erityisessä suhteellisuusteoriassa (SRT) (samaan aikaan Lorentzin muunnoksissa se osoittautuu selväksi ja osuu yhteen valonnopeuden kanssa ). $c$ $c$

On huomattava, että jos koordinaattimuunnosten luokka ei rajoitu lineaarisiin, niin Newtonin ensimmäinen laki ei päde vain Lorentzin muunnoksille, vaan laajemmalle murto-lineaaristen muunnosten luokalle [3] (tämä laajempi luokka muunnokset on tietysti paitsi erikoistapauksessa Lorentz-muunnokset - ei pidä metristä vakiota).

Muutosten merkintämuodot

Muutostyypit mielivaltaiseen akselien suuntaukseen

Koordinaattiakselien käyttöönoton mielivaltaisuudesta johtuen monet ongelmat voidaan pelkistää yllä olevaan tapaukseen. Jos ongelma vaatii akselien erilaista järjestelyä, voit käyttää muunnoskaavoja yleisemmässä tapauksessa. Tätä varten pisteen sädevektori

{\mathbf {r}}'={\mathbf {i}}x'+{\mathbf {j}}y'+{\mathbf {k}}z',

missä ovat ortit , se on tarpeen jakaa nopeuden suuntaiseksi komponentiksi ja sitä kohti kohtisuoraksi: ${\mathbf {i)],\;{\mathbf {j)],\;{\mathbf {k))$ ${\mathbf {r))'_{\|}$ ${\mathbf {r))'_{\perp }$

{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {r}}'_{\perp }.

Sitten muutokset saavat muodon

{\mathbf {r}}_{\|}={\frac {{\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {v}}t'}{{\sqrt {1-v^ {2}/c^{2}}}}),\quad {\mathbf {r}}_{\perp }={\mathbf {r}}'_{\perp },\quad t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},

missä on nopeuden itseisarvo, on sädevektorin pitkittäiskomponentin itseisarvo. $v=\left|{\mathbf {v}}\right|$ $r_{\|}=\left|{\mathbf {r}}_{\|}\right|$

Nämä kaavat yhdensuuntaisille akseleille, mutta mielivaltaisesti suunnatulla nopeudella, voidaan muuntaa muotoon, jonka Herglotz ensin sai :

\mathbf {r} ={\frac {\mathbf {r} '+\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))+{ \frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)(\mathbf {r} '\times \mathbf {v} )\times \mathbf {v} ;

t={\frac {t'+\mathbf {r'v} /c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

missä on kolmiulotteisten vektorien ristitulo . Huomaa, että yleisin tapaus, jossa origo ei ole sama kuin ajan nollahetkellä, ei ole esitetty tässä tilan säästämiseksi. Se voidaan saada lisäämällä translaatio (alkuperän siirto) Lorentzin muunnoksiin. $\ajat$

Lorentzin muunnokset matriisimuodossa

Kollineaaristen akselien tapauksessa Lorentzin muunnokset kirjoitetaan muodossa

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {v}{c)) \gamma &0&0\\-{\dfrac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\ \z\end{bmatrix}},

missä on Lorentzin tekijä $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.$

Akseleiden mielivaltaisella suunnalla, 4-vektorin muodossa, tämä muunnos kirjoitetaan seuraavasti:

{\begin{bmatrix}ct'\\{\vec {r}}\,'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {\vec {v}} {c}}\gamma \\-{\dfrac {\vec {v}}{c}}\gamma &I+{\dfrac ({\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}{v^ {2}}}(\gamma -1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}},

missä - identiteettimatriisi - kolmiulotteisten vektorien tensorikerto . $minä$ $3\kertaa 3,$ $\otimes$

Tai mikä on sama,

{\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x }&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\ gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_ {x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1 )n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

Missä ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}};\beta =|{\vec {\beta }}|;n_{x}={\frac { \beta _{x)){\beta ));n_{y}={\frac {\beta _{y)){\beta ));n_{z}={\frac {\beta _{z} }{\beta }}$

Päätelmämenetelmä numero 1

Muunnosmatriisi saadaan kaavasta $B$

B(\mathbf {v} )=I-\gamma \beta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\gamma -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf { K} )^{2}

tai kun se on parametroitu nopeudella $\zeta$

B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}

missä n K = n x K x + n y K y + n z K z , missä

{\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\ \0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end),{}matriisi

joka on samanlainen kuin Rodriguesin kaava

Päätelmämenetelmä numero 2

Satunnainen homogeeninen Lorentz-muunnos voidaan esittää tiettynä avaruuskiertojen ja Lorentzin alkeismuunnosten koostumuksina , jotka vaikuttavat vain aikaan ja yhteen koordinaateista. Tämä seuraa algebrallisesta lauseesta mielivaltaisen kierron hajoamisesta yksinkertaisiksi. Lisäksi on fyysisesti ilmeistä, että yhden mielivaltaisen homogeenisen Lorentzin muunnoksen saamiseksi voidaan käyttää vain yhtä tällaista alkeismuunnosta ja kahta kolmiulotteisen avaruuden kiertoa (ensimmäinen, joka siirtyy erityisille spatiaalisille akseleille - x :stä pitkin V , ja toiseksi palatakseni alkuperäisiin), teknisesti tällaisen koostumuksen laskenta vähennetään kolmen matriisin kertolaskuksi.

Lorentz-muunnosten ominaisuudet

Voidaan nähdä, että siinä tapauksessa, että Lorentzin muunnokset menevät Galilean muunnoksiksi . Sama asia tapahtuu, kun se sanoo, että erityinen suhteellisuusteoria osuu yhteen Newtonin mekaniikan kanssa joko maailmassa, jossa valonnopeus on ääretön tai valonnopeuteen verrattuna pienillä nopeuksilla. Jälkimmäinen selittää kuinka nämä kaksi teoriaa yhdistetään - ensimmäinen on toisen yleistys ja jalostus, ja toinen on ensimmäisen rajoittava tapaus, joka pysyy tässä ominaisuudessa suunnilleen oikein (jollain tarkkuudella, käytännössä usein erittäin, erittäin korkealla). ) riittävän pienelle (valonnopeuteen verrattuna) liikenopeudelle. $c\to \infty ,$ $v/c\ to 0.$
Lorentzin muunnokset pitävät intervallin invariantina mille tahansa tapahtumaparille (avaruus-aikapisteille) - eli mille tahansa Minkowskin tila-aikapisteparille:

s={\sqrt {c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2} }}={\sqrt {c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z' )^{2}}}.

Tämä on helppo varmistaa esimerkiksi tarkastamalla nimenomaisesti, että Lorentzin muunnosmatriisi on ortogonaalinen Minkowski-metriikan merkityksessä: $L$

\eta _{{ik}}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right],

määritellään sellaisella lausekkeella, eli se on helpoin tehdä boostille ja kolmiulotteisille rotaatioille se käy ilmi karteesisten koordinaattien määritelmästä, lisäksi origon siirtymät eivät muuta koordinaattien eroja. Siksi tämä ominaisuus pätee myös mihin tahansa tehosteiden, kiertojen ja siirtymien kokoonpanoon, joka on täydellinen Poincarén ryhmä; kun tiedämme, että koordinaattimuunnokset ovat ortogonaalisia , siitä seuraa välittömästi, että etäisyyden kaava pysyy muuttumattomana siirryttäessä uuteen koordinaattijärjestelmään - ortogonaalisten muunnosten määritelmän mukaan. $\sum _{i,\;k}L_{j}^{i}\eta _{ik}L_{m}^{k}=\eta _{jm}.$

Erityisesti tapaukselle tapahtuu myös intervallin invarianssi, mikä tarkoittaa, että aika-avaruuden hyperpinta , joka määräytyy intervallin nollan tasa-arvosta tiettyyn pisteeseen - valokartioon - on kiinteä Lorentzin muunnoksissa. (joka on osoitus valonnopeuden muuttumattomuudesta). Kartion kahden onkalon sisäpuoli vastaa ajan kaltaisia - todellisia - intervalleja niiden pisteistä huipulle, ulompaa aluetta - avaruuden kaltaista - puhtaasti kuvitteellista (tässä artikkelissa käytetyssä intervallikirjoituksessa). $s=0,$
Muita homogeenisten Lorentz-muunnosten invariantteja hyperpintoja (Minkowski-avaruuden pallon analogeja) ovat hyperboloidit: kaksiarkkinen hyperboloidi aikavälille suhteessa origoon ja yksiarkkinen hyperboloidi avaruuden kaltaisille intervalleille.
Lorentzin muunnosmatriisi kollineaarisille spatiaalisille akseleille (yksiköissä ) voidaan esittää seuraavasti: $c = 1$ ${\begin{bmatrix}{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &-{\mathop {{\rm {sh))))\,\theta &0&0\\-{\mathop { {\rm {sh))))\,\theta &{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix)),$

missä . Tämä on helppo varmistaa ottamalla huomioon ja tarkistamalla vastaavan identiteetin oikeellisuus Lorentzin muunnosmatriisille tavallisessa muodossa. $\theta ={\mathop {{\rm {Arth}}}}\,(v/c)\$ ${\rm {ch^{2}\,\theta -{\rm {sh^{2}\,\theta =1\ ))))$

Jos hyväksymme Minkowskin esittämän merkinnän , Lorentzin muunnos tällaiselle avaruudelle pelkistyy kiertoon kuvitteellisen kulman läpi tasossa, mukaan lukien akseli (jos kyseessä on liike akselia pitkin tasossa ). Tämä on ilmeistä vaihtamalla matriisiin juuri yläpuolella - ja muokkaamalla sitä hieman imaginaarisen aikakoordinaatin huomioon ottamiseksi - ja vertaamalla sitä tavalliseen rotaatiomatriisiin. $x_{0}=i\,ct,\;x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\$ $x_{0}\$ $x_{1}\$ $x_{0}x_{1}$ ${\mathop {{\rm {ch))))\,\theta ={\mathop {{\rm {cos))))\,(i\,\theta ),\;{\mathop {{\rm {sh}}}}\,\theta =-i\,{\mathop {{\rm {sin}}}}\,(i\theta )$

Lorentzin muunnosten seuraukset

Muutos pituudessa

Olkoon tangon lepää viitekehyksessä ja sen alun ja lopun koordinaatit ovat yhtä kuin , . Järjestelmän sauvan pituuden määrittämiseksi samojen pisteiden koordinaatit kiinnitetään järjestelmän samaan aikaan . Antaa olla oikea pituus sauvan , Ja olla pituus sauvan . Sitten Lorentzin muunnoksista seuraa: $K'$ $x_{1}'$ $x_{2}'$ $K$ $K$ $l_{0}=x_{2}'-x_{1}'$ $K'$ ${\displaystyle l=x_{2}-x_{1))$ $K$

l_{0}=x'_{2}-x'_{1}={\frac {x_{2}-vt}({\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^ {2}}}}}}}-{\frac {x_{1}-vt}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ={\frac {x_{2}-x_{1}}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

tai

l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

Näin ollen liikkuvan tangon pituus "kiinteillä" tarkkailijoilla mitattuna osoittautuu pienemmäksi kuin sauvan oikea pituus.

Samanaikaisuuden suhteellisuus

Jos kaksi tapahtumaa, jotka ovat erillään avaruudessa (esimerkiksi valon välähdyksiä) tapahtuvat samanaikaisesti liikkuvassa vertailukehyksessä, ne eivät ole samanaikaisia "kiinteän" kehyksen suhteen. Kun Lorentzin muunnoksista seuraa: $\Delta t'=0$

Jos , sitten ja . Tämä tarkoittaa, että paikallaan olevan tarkkailijan näkökulmasta vasen tapahtuma tapahtuu ennen oikeaa ( ). Samanaikaisuuden suhteellisuus johtaa siihen, että kelloja ei voida synkronoida eri inertiaalisissa viitekehyksessä koko avaruudessa. $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $t_{2}>t_{1}$

Olkoon kahdessa vertailujärjestelmässä akselilla , kussakin järjestelmässä on synkronoitu kellot, jotka "keskikellon" yhteensopivuushetkellä (alla olevassa kuvassa) näyttävät samaa aikaa. Vasemmanpuoleinen kuva näyttää miltä tämä tilanne näyttää järjestelmän havainnoijan näkökulmasta . Liikkuvan vertailukehyksen kellot näyttävät eri aikoja. Liikkeen suunnassa olevat kellot ovat takana ja liikkeen vastakkaisessa suunnassa olevat "keskikellon" edellä. Tilanne on samanlainen (oikea kuva) havainnoijille. $x$ $S$ $S'$

Aikalaajennus liikkuville kappaleille

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Lorentzin invarianssi on fysikaalisten lakien ominaisuus, että ne kirjoitetaan samalla tavalla kaikissa inertiaalisissa viitekehyksessä (ottaen huomioon Lorentzin muunnokset). On yleisesti hyväksyttyä, että kaikilla fysikaalisilla laeilla on oltava tämä ominaisuus, eikä siitä ole löydetty kokeellisia poikkeamia. Joitakin teorioita ei kuitenkaan ole toistaiseksi onnistuttu rakentamaan siten, että Lorentzin invarianssi täyttyy.

Historia

Tämäntyyppinen muunnos A. Poincarén ehdotuksesta on nimetty hollantilaisen fyysikon H. A. Lorentzin mukaan, joka sarjassa (1892, 1895, 1899) julkaisi niiden likimääräisen version (tilausehtoihin asti ). Myöhemmät fysiikan historioitsijat havaitsivat, että muut fyysikot olivat julkaisseet nämä muunnokset itsenäisesti: $v^{2}/c^{2}$

1887: W. Vogt tutkiessaan Doppler-ilmiötä [4] [5] .
1897: J. Larmor , hänen tavoitteenaan oli löytää muunnoksia, joissa Maxwellin yhtälöt ovat muuttumattomia [6] .

Lorentz tutki kahden sähkömagneettisen prosessin parametrien välistä suhdetta , joista toinen on paikallaan eetteriin nähden ja toinen liikkuu [7] .

A. Poincare (1900) ja A. Einstein (1905) [8] antoivat muunnoskaavoille nykyaikaisen ilmeen ja ymmärryksen . Poincaré oli ensimmäinen, joka perusti ja tutki yksityiskohtaisesti yhden Lorentz-muunnosten tärkeimmistä ominaisuuksista - niiden ryhmärakenteen , ja osoitti, että "Lorentz-muunnokset eivät ole muuta kuin pyörimistä neljän ulottuvuuden avaruudessa, jonka pisteillä on koordinaatit " . $(x,\;y,\;z,\;it)$ [9] . Poincaré esitteli termit "Lorentz-muunnokset" ja " Lorentz-ryhmä " ja osoitti eetterimalliin perustuen, että liikettä on mahdotonta havaita suhteessa absoluuttiseen vertailukehykseen (eli kehykseen, jossa eetteri on paikallaan), mikä muutti Galileon suhteellisuusperiaate [8] .

Einstein laajensi suhteellisuusteoriassaan (1905) Lorentzin muunnoksia kaikkiin fysikaalisiin (ei vain sähkömagneettisiin) prosesseihin ja huomautti, että kaikkien fysikaalisten lakien on oltava muuttumattomia näiden muunnosten alla. Suhteellisuusteorian kinematiikan geometrisen neliulotteisen mallin , jossa Lorentzin muunnoksilla on koordinaattikierto, löysi Hermann Minkowski .

Vuonna 1910 V. S. Ignatovsky yritti ensimmäisenä saada Lorentzin muunnoksen ryhmäteorian perusteella ja käyttämättä valonnopeuden vakiopostulaattia [10] .

Katso myös

Yhdistelmäliike (nopeusmuunnoskaava, joka on yhdenmukainen Lorentzin muunnosten kanssa)
Thomas precessio
Lorentzin ryhmä

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. VII, § 8. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Petrovsky I. G. Luentoja osittaisista differentiaaliyhtälöistä. - ch. II, § 14. - Mikä tahansa painos.
↑ Frank F., Rote G. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme Arkistoitu 29. elokuuta 2014 Wayback Machinessa // Ann. der Physic, Ser. 4, voi. 34, nro. 5, 1911, s. 825-855 (venäläinen käännös) (Artikkeli, jossa ensimmäisen kerran todettiin, että lineaari-murto-muunnokset ovat yleisimpiä muunnoksia, jotka ovat yhdenmukaisia suhteellisuusperiaatteen kanssa).
↑ Miller (1981), 114-115
↑ Pais (1982), Cap. 6b
↑ J. Larmor. Sähköisen ja valopitoisen väliaineen dynaamisesta teoriasta, osa 3, Suhteet materiaaliseen väliaineeseen . - 1897. - T. 190. - S. 205-300.
↑ Vizgin V. P., Kobzarev I. Yu. , Yavelov V. E. Albert Einsteinin tieteellinen työ ja elämä: katsaus A. Paisin kirjaan // Einsteinin kokoelma, 1984-1985. - M .: Nauka, 1988. - S. 314 . — ISBN 5-02-000006-X .
↑ 1 2 Kudrjavtsev P. S. Fysiikan historian kurssi kolmessa osassa. - M . : Koulutus, 1974. - T. 3. - S. 46.
↑ Poincare A. Elektronin dynamiikasta. // Suhteellisuusperiaate : la. relativismin klassikoiden teoksia. - M .: Atomizdat , 1973. - s. 90-93, 118-160.
↑ "Joitakin yleisiä huomioita suhteellisuusperiaatteesta" Arkistoitu kopio 2. heinäkuuta 2017 Wayback Machine -raportista saksalaisten luonnontieteilijöiden ja lääkäreiden 82. kokouksen matemaattisten ja fyysisten osaston yleiskokouksessa Königsbergissä 21. syyskuuta 1910;
von W.v. Ignatowsky, "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip", Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (venäjänkielinen käännös)

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Physical Encyclopedia, osa 2 - M .: Great Russian Encyclopedia s. 608 Arkistoitu 2. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa ja s. 609 Arkistoitu 14. huhtikuuta 2004 Wayback Machinessa .
Fedorov F.I. Lorentz -ryhmä. — M .: Nauka , 1979. — 384 s.
Gel'fand I.M., Minlos R.A., Shapiro Z. Ya. Rotaatioryhmän ja Lorentz-ryhmän edustus. M., 1958.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - M.: Fizmatlit, 2009.

Linkit

Lorentz transformations Arkistoitu 25. elokuuta 2021 Wayback Machine in The Relativistic World Arkistoitu 23. elokuuta 2021 Wayback Machineen .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4653925-6 J9U : 987007536145805171 LCCN : sh85078398