Nopeus

Nopeus ( eng. speedity , joskus myös käytetty [1] ovat termejä hypernopeus ja Lorentzin kiertokulma ) - relativistisessa kinematiikassa monotonisesti kasvava nopeuden funktio , joka pyrkii äärettömään, kun nopeus pyrkii valonnopeuteen . Toisin kuin nopeus, jonka summauslaki on ei-triviaali, nopeudelle on ominaista yksinkertainen summauslaki ("nopeus on additiivinen"). Siksi ongelmissa, jotka liittyvät relativistisiin liikkeisiin (esimerkiksi hiukkasreaktioiden kinematiikka korkean energian fysiikassa), on usein kätevämpää käyttää nopeuksien formalismia tavallisten nopeuksien sijaan.

Määritelmä ja ominaisuudet

Nopeus ilmaistaan kaavalla:

\theta =c\,\operaattorinnimi {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{ c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},

missä

$\theta$ - nopeus,
$v$ -normaali nopeus
$c$ on valon nopeus,
${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Arth} x}$ - aluetangentti .

Aluetangentti (tai hyperbolinen arctangentti ) määritellään argumentin alueella −1 - +1; toiminnon kanssa $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ $x\to \pm 1$ $\operaattorinimi {Arth} x\to \pm \infty .$

Nopeudella on siis nopeuden ulottuvuus ja kun nopeus muuttuu arvosta toiseen, se muuttuu arvosta . Joskus otetaan käyttöön myös nopeusparametri - dimensioton suure , jota joskus kutsutaan myös nopeudeksi (erityisesti korkean energian fysiikan yksikköjärjestelmän tavanomaisessa käytössä, missä , mikä yksinkertaistaa kaavoja huomattavasti; tällä määritelmällä nopeus muuttuu dimensioimattomaksi ja on sama kuin nopeusparametri). $-c$ $+c$ $-\infty$ $+\infty$ $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operaattorinimi {Arth} {\frac {v}{c}}$ $c=1$

Pienten nopeuksien rajalla nopeus on suunnilleen sama kuin nopeus:

\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\oikea)^{2}+...\oikea)\ noin v

osoitteessa .

v\ll c

Ultrarelativistisessa tapauksessa nopeusparametri voidaan ilmaista energiana ja pituussuuntaisena liikemääränä (missä α on lähtökulma) seuraavasti: $E\gg m$ $p_{\|}=p\cos \alpha$

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.

Tässä tapauksessa hiukkasen energia ja pituussuuntainen liikemäärä voidaan ilmaista hiukkasmassalla, poikittaisliikemäärällä ja nopeusparametrilla: $p_{\perp }=p\sin \alpha$

E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operaattorinimi {ch} \varphi ,

p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operaattorinimi {sh} \varphi .

Lorentz-tekijä

Usein käytetty nopeuteen liittyvä suure on G. A. Lorentzin mukaan nimetty Lorentz-tekijä tai Lorentz -tekijä .

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)))).

Lorentz-tekijä on yhtä suuri kuin nopeusparametrin hyperbolinen kosini:

\gamma =\operaattorinimi {ch} \varphi .

Kun nopeus kasvaa arvosta 0 arvoon , Lorentzin kerroin kasvaa arvosta 1 arvoon . $c$ $\gamma$ $+\infty$

Nopeusparametrin hyperbolinen sini on yhtä suuri kuin Lorentz-tekijän ja dimensiottoman nopeuden tulo:

\beta \gamma =\operaattorinimi {sh} \varphi .

Nopeuden additiivisuus

Olkoon jossain inertiaalisessa vertailukehyksessä kaksi hiukkasta liikkumaan yhtä suoraa pitkin, joista toisen nopeus on yhtä suuri kuin ja toisen nopeus suhteessa ensimmäiseen on yhtä suuri (nopeudet voivat olla sekä positiivisia että negatiivisia). Merkitään systeemin toisen hiukkasen nopeutta muodossa . Pienillä (valonnopeuteen verrattuna ) nopeuksilla Galilean nopeuksien summauslaki toteutuu suunnilleen . Relativistisessa tapauksessa tämä kaava ei kuitenkaan toimi, ja toisen hiukkasen nopeus on laskettava käyttämällä Lorentzin muunnoksia . Nopeuksien summauksen relativistinen laki $K$ $v_{1}$ ${\displaystyle v'_{2))$ $K$ $v_{2}$ $c$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2))$

v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}} }}

eroaa Galilean nimittäjästä, joka on lähellä yhtenäisyyttä pienillä nopeuksilla. Tarkastellaan nopeuksia vastaavat nopeudet . Osoittautuu, että vertailukehyksen toisen hiukkasen nopeus on yhtä suuri kuin nopeuksien summa: $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c))$ $K$

\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.

Nopeuksien yhteenlaskulain kirjoittamisen helppous nopeuksilla on johtanut siihen, että tätä määrää käytetään melko laajasti relativistisessa kinematiikassa, erityisesti kiihdytinfysiikassa. On kuitenkin muistettava, että nopeuksien summaus osuu muodoltaan yhteen Galilean vektorin nopeuksien lisäyksen kanssa vain hiukkasten yksiulotteiselle liikkeelle.

Esitetään myös kokonaisnopeus , joka on additiivinen Lorentzin muunnoksissa ja edustaa etäisyyttä nopeuksien avaruudessa. Nopeus on kokonaisnopeuden pituussuuntainen komponentti. $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp)),$

Nopeuden geometrinen merkitys

Minkowski - avaruudessa nopeus on hiukkasen maailmanlinjan tangentin ja perusvertailukehyksen aika-akselin välinen kulma . Minkowskin formalismissa ( ) tämä kulma on kuvitteellinen . $x_{0}=ict$

Hyperbolisten kompleksilukujen formalismissa (tunnetaan myös nimellä kaksoisluvut tai parakompleksiluvut - kompleksilukujen muunnelma, jossa imaginaariyksikkö j määritellään suhteella j 2 = +1 ) Minkowski-avaruuden piste esitetään parakompleksilla. luku z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , jossa φ ja ρ ovat todellisia. Tässä tapauksessa kulma φ on hiukkasen nopeus, joka liikkuu tasaisesti origosta ja kulkee pisteen z läpi , ja ρ on intervalli origosta pisteeseen z (eli hiukkasen oikea aika, joka kului Origon kautta kulkeva z ). Lorentzin muunnos määritetään kertomalla parakompleksiluvuilla ilmaistut tila-aikakoordinaatit parakompleksiluvulla, jonka yksikkömoduuli on λ(φ) = e j φ . Tämän seurauksena kaikki intervallit säilyvät, ja parakompleksi Minkowskin tasoa kierretään kulmalla φ . Kaksi peräkkäistä Lorentz-muunnosta osoittavat nopeuden additiivisuuden, joka on samanlainen kuin kiertokulman additiivisuus:

λ(φ) λ(ψ) = e j φ e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Jotkut erityissuhteellisuusteorian suureet ilmaistuna nopeudella

Relativistinen momentti:

p=mc\cdot \operaattorinimi {sh} {\frac {\theta }{c))=mc\cdot \operaattorinimi {sh} \varphi ,

missä:

m on massa,
c on valon nopeus,
φ = θ/ c on nopeusparametri (mitaton nopeus).

Kokonaisenergia:

E=mc^{2}\cdot \operaattorinimi {ch} {\frac {\theta }{c))=mc^{2}\cdot \operaattorinimi {ch} \varphi .

Nopeus huoltoasemalla:

v=c\cdot \operaattorinimi {th} {\frac {\theta }{c))=c\cdot \operaattorinimi {th} \varphi .

Mittaukseton nopeus

\beta =\operaattorinimi {th} \varphi .

Relativistinen Doppler-ilmiö (jos nopeusvektori on sama kuin lähteen suunta):

1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },

missä on punasiirtymän parametri . $z$

Katso myös

Pseudonopeus
Lorenzin tehostus

Kirjallisuus

Baburova O. V. Lobatševskin relativistinen kinematiikka ja geometria // Soros Educational Journal. - 2004. - T. 8 . - S. 77-84 . (Venäjän kieli)
Grishin V. G. Rapidity // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-ilmiö - Pitkät rivit. - S. 233. - 707 s. - 100 000 kappaletta.

Muistiinpanot

↑ Kopylov G.I. Resonanssien kinematiikan perusteet. - M .: Nauka, 1970.