Hyperboliset toiminnot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 2.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Hyperboliset funktiot ovat ryhmä alkeisfunktioita, jotka ilmaistaan eksponentiaalisesti ja liittyvät läheisesti trigonometrisiin funktioihin .

Määritelmä

Hyperboliset funktiot saadaan seuraavilla kaavoilla:

hyperbolinen sini :

\operaattorinimi {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}

(merkitty englanninkielisessä kirjallisuudessa ) $\sinh x$

hyperbolinen kosini :

\operaattorinimi {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}

(merkitty englanninkielisessä kirjallisuudessa ) $\cosh x$

hyperbolinen tangentti :

\operaattorinimi {th} x={\frac {\operaattorinimi {sh} x}{\operaattorinimi {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x }+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

(merkitty englanninkielisessä kirjallisuudessa ) $\tanh x$

hyperbolinen kotangentti :

\operaattorinnimi {cth} x={\frac {1}{\operaattorinimi {th} x}}={\frac {\operaattorinimi {ch} x}{\operaattorinnimi {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1 }}

(merkitty englanninkielisessä kirjallisuudessa ) $\coth x$

hyperbolinen sekantti :

{\displaystyle \operaattorinnimi {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x))))

Hyperbolista sekanttia kutsutaan joskus myös nimellä . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sech} x}$

hyperbolinen kosekantti :

{\displaystyle \operaattorinnimi {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x))))

Geometrinen määritelmä

Suhteen valossa hyperboliset funktiot antavat parametrisen esityksen hyperbolista ( , ). Tässä tapauksessa argumentti on , jossa on kaarevan kolmion pinta-ala otettuna "+"-merkillä, jos sektori on akselin yläpuolella , ja "-" päinvastaisessa tapauksessa. Ilmeisesti tällä parametrilla määritellään myös hyperboliset funktiot, esimerkiksi hyperboliset siniyhtälöt parametrimuodossa: , missä on aluetta vastaavan hyperbolin pisteen ordinaatit . Tämä määritelmä on analoginen trigonometristen funktioiden määritelmän kanssa yksikköympyrän suhteen , joka voidaan myös rakentaa samalla tavalla. $\operaattorinimi {ch} ^{2}t-\operaattorinimi {sh} ^{2}t=1$ $x^{2}-y^{2}=1$ $x=\operaattorinimi {ch} t$ $y=\operaattorinimi {sh} t$ $t = 2S$ $S$ $OQR$ $HÄRKÄ$ $x=t,y=f(t)$ $f(t)$ $t = 2S$

Ominaisuudet

Yhteys trigonometristen funktioiden kanssa

Hyperboliset funktiot ilmaistaan imaginaarisen argumentin trigonometrisinä funktioina .

$\operaattorinimi {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operaattorinimi {ch} x=\cos(ix),\quad \operaattorinimi {th} x=-i\operaattorinimi {tg} (ix)$ .

$\operaattorinimi {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operaattorinimi {ch} (ix)=\cos x,\quad \operaattorinimi {th} (ix)=i\operaattorinimi {tg} x$ .

Gudermann-funktio yhdistää trigonometriset funktiot ja hyperboliset funktiot ilman kompleksilukuja .

Tärkeät suhteet

$\operaattorinimi {ch} ^{2}x-\operaattorinimi {sh} ^{2}x=1.$

Todiste

$\operaattorinimi {ch} ^{2}x-\operaattorinimi {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\ oikea)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {(e^{x}+ e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^ {-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$

Parillinen/pariton :
1. $\operaattorinimi {sh} (-x)=-\operaattorinimi {sh} x.$
2. $\operaattorinimi {ch} (-x)=\operaattorinimi {ch} x.$
3. $\operaattorinimi {th} (-x)=-\operaattorinimi {th} x.$
4. $\operaattorinnimi {cth} (-x)=-\operaattorin nimi {cth} x.$
5. $\operaattorinnimi {sch} (-x)=\operaattorin nimi {sch} x.$
6. $\operaattorin nimi {csch} (-x)=-\operaattorin nimi {csch} x+1.$
Lisäyskaavat : _
1. $\operaattorinimi {sh} (x\pm y)=\operaattorinimi {sh} x\,\operaattorinimi {ch} y\pm \operaattorinimi {sh} y\,\operaattorinimi {ch} x.$
2. $\operaattorinimi {ch} (x\pm y)=\operaattorinimi {ch} x\,\operaattorinimi {ch} y\pm \operaattorinimi {sh} y\,\operaattorinimi {sh} x.$
3. $\operaattorinimi {th} (x\pm y)={\frac {\operaattorinimi {th} x\pm \operaattorinimi {th} y}{1\pm \operaattorinimi {th} x\,\operaattorinimi {th} y} }.$
4. $\operaattorinimi {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operaattorinimi {cth} x\,\operaattorinimi {cth} y}{\operaattorinimi {cth} x\pm \operaattorinimi {cth} y} }.$
Kaksoiskulmakaavat:
1. $\operaattorinimi {sh} 2x=2\operaattorinimi {ch} x\,\operaattorinimi {sh} x={\frac {2\,\operaattorinimi {th} x}{1-\operaattorinimi {th} ^{2}x }}.$
2. $\operaattorinimi {ch} 2x=\operaattorinimi {ch} ^{2}x+\operaattorinimi {sh} ^{2}x=2\operaattorinimi {ch} ^{2}x-1=1+2\operaattorinimi {sh} ^{2}x={\frac {1+\operaattorinimi {th} ^{2}x}{1-\operaattorinimi {th} ^{2}x}}.$
3. $\operaattorinimi {th} 2x={\frac {2\operaattorinimi {th} x}{1+\operaattorinimi {th} ^{2}x}}.$
4. $\operaattorinnimi {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operaattorinnimi {th} x+\operaattorinnimi {cth} x).$
5. $\operaattorinimi {th} x={\frac {\operaattorinimi {ch} 2x-1}{\operaattorinimi {sh} 2x}}={\frac {\operaattorinimi {sh} 2x}{1+\operaattorinimi {ch} 2x }}.$
6. $\operaattorinnimi {ch} 2x\pm \operaattorinnimi {sh} 2x=(\operaattorinimi {sh} x\pm \operaattorinnimi {ch} x)^{2}.$
Useita kulmakaavoja:
1. $\operaattorinnimi {sh} 3x=4\operaattorin nimi {sh} ^{3}x+3\operaattorin nimi {sh} x.$
2. $\operaattorin nimi {ch} 3x=4\operaattorin nimi {ch} ^{3}x-3\operaattorin nimi {ch} x.$
3. $\operaattorinimi {th} 3x=\operaattorinimi {th} x{\frac {3+\operaattorinimi {th} ^{2}x}{1+3\operaattorinimi {th} ^{2}x}}.$
4. $\operaattorinnimi {sh} 5x=16\operaattorinnimi {sh} ^{5}x+20\operaattorinnimi {sh} ^{3}x+5\operaattorinnimi {sh} x.$
5. $\operaattorinnimi {ch} 5x=16\operaattorinnimi {ch} ^{5}x-20\operaattorin nimi {ch} ^{3}x+5\operaattorinnimi {ch} x.$
6. $\operaattorinimi {th} 5x=\operaattorinimi {th} x{\frac {\operaattorinimi {th} ^{4}x+10\operaattorinimi {th} ^{2}x+5}{5\operaattorinimi {th} ^ {4}x+10\operaattorin nimi {th} ^{2}x+1}}.$
Taideteokset:
1. $\operaattorinimi {sh} x\,\operaattorinnimi {sh} y={\frac {\operaattorinnimi {ch} (x+y)-\operaattorinimi {ch} (xy)}{2}}.$
2. $\operaattorinnimi {sh} x\,\operaattorinnimi {ch} y={\frac {\operaattorinnimi {sh} (x+y)+\operaattorinimi {sh} (xy)}{2}}.$
3. $\operaattorinnimi {ch} x\,\operaattorinnimi {ch} y={\frac {\operaattorinnimi {ch} (x+y)+\operaattorinimi {ch} (xy)}{2}}.$
4. $\operaattorinnimi {th} x\,\operaattorinnimi {th} y={\frac {\operaattorinnimi {ch} (x+y)-\operaattorinimi {ch} (xy)}{\operaattorinimi {ch} (x+y) +\operaattorinimi {ch} (xy)}}.$
Summat:
1. $\operaattorinimi {sh} x\pm \operaattorinimi {sh} y=2\operaattorinimi {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operaattorinimi {ch} {\frac {x\mp y}{2 }}.$
2. $\operaattorinnimi {ch} x+\operaattorinnimi {ch} y=2\operaattorinnimi {ch} {\frac {x+y}{2}}\operaattorinnimi {ch} {\frac {xy}{2}}.$
3. $\operaattorinnimi {ch} x-\operaattorinnimi {ch} y=2\operaattorinnimi {sh} {\frac {x+y}{2}}\operaattorinnimi {sh} {\frac {xy}{2}}.$
4. $\operaattorinimi {th} x\pm \operaattorinimi {th} y={\frac {\operaattorinimi {sh} (x\pm y)}{\operaattorinimi {ch} x\,\operaattorinimi {ch} y)).$
Alempiin päivityskaavat:
1. $\operaattorinnimi {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operaattorinnimi {ch} x+1}{2}}.$
2. $\operaattorinnimi {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operaattorinimi {ch} x-1}{2}}.$
Johdannaiset :

Toiminto $f(x)$	Johdannainen $f'(x)$	Merkintä
$\mathrm {sh} \x$	$\mathrm {ch} \x$	Todiste $(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm {ch} \x$	$\mathrm {sh} \x$	Todiste $(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm {th} \x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Todiste $(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch( x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}} ={\frac {1}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Todiste $(cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)))\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)- ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x) )}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{ \frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \x$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$	Todiste $(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$	Todiste $(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$

Integraalit : Katso myös: Lista hyperbolisten funktioiden integraaleista , Luettelo käänteisten hyperbolisten funktioiden integraaleista
1. $\int \operaattorin nimi {sh} x\,dx=\operaattorin nimi {ch} x+C.$
2. $\int \operaattorin nimi {ch} x\,dx=\operaattorin nimi {sh} x+C.$
3. $\int \operaattorinimi {th} x\,dx=\ln \operaattorinimi {ch} x+C.$
4. $\int {\frac {1}{\operaattorinimi {ch} ^{2}x}}\,dx=\operaattorinimi {th} x+C.$
5. $\int {\frac {1}{\operaattorinimi {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operaattorinimi {cth} x+C.$
6. $\operaattorinimi {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operaattorinimi {ch} tdt.$
7. $\operaattorinnimi {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operaattorinnimi {sh} tdt.$
8. $\operaattorinimi {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operaattorinimi {ch} ^{2}t}}.$
Esitys puolikulman hyperbolisen tangentin muodossa :
1. $\operaattorinnimi {sh} x={\frac {2\operaattorinimi {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operaattorinimi {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
2. $\operaattorinimi {ch} x={\frac {1+\operaattorinimi {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1-\operaattorinimi {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
3. $\operaattorinimi {th} x={\frac {2\operaattorinimi {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operaattorinimi {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
4. $\operaattorinimi {cth} x={\frac {1+\operaattorinimi {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operaattorinimi {th} {\frac {x}{ 2}}}}$
5. $\operaattorinimi {sch} x={\frac {1-\operaattorinimi {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1+\operaattorinimi {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
6. $\operaattorinimi {csch} x={\frac {1-\operaattorinimi {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operaattorinimi {th} {\frac {x}{ 2}}}}$

Epätasa-arvo

Kaikille se toimii: $x\in \mathbb {R}$

$0\leq \operaattorinimi {ch} x-1\leq |\operaattorinimi {sh} x|<\operaattorinnimi {ch} x$
$|\operaattorinimi {th} x|<1$

Tehosarjan laajennus

\operaattorinimi {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7 }}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\operaattorinimi {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{ 6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\operaattorinimi {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7} }{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1 }}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}

\operaattorinimi {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac { 2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n }x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi

( Laurent - sarja )

\operaattorinimi {sch} \,x={\frac {1}{\operaattorinimi {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n }\,x^{2n}}{(2n)!}}

Tässä ovat Bernoulli-luvut ja Euler -luvut . $B_{2n}$ $E_{2n}$

Kaaviot

Analyyttiset ominaisuudet

Hyperbolinen sini ja hyperbolinen kosini ovat analyyttisiä koko kompleksitasolla lukuun ottamatta olennaisesti yksittäistä pistettä äärettömässä. Hyperbolinen tangentti on analyyttinen kaikkialla, paitsi napoissa pisteissä , joissa on kokonaisluku. Jäännökset kaikissa näissä napoissa ovat yhtä suuria kuin yksi. Hyperbolinen kotangentti on analyyttinen kaikkialla, paitsi pisteitä , sen jäännökset näissä navoissa ovat myös yhtä suuria kuin yksi. $z=i\pi (n+1/2)$ $n$ $z=i\pi n$

Käänteiset hyperboliset funktiot

Niitä kutsutaan muuten aluefunktioiksi: etuliite "alue-" lisätään vastaavien hyperbolisten funktioiden nimiin - lat. "alue" - "alue". Aluefunktioiden pääarvot määritellään seuraavilla lausekkeilla.

$\operaattorinnimi {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1)))$ - käänteinen hyperbolinen sini, pinta-sini.
$\operaattorinimi {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$ — käänteinen hyperbolinen kosini, pintakosini.
$\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$ - käänteinen hyperbolinen tangentti, pinta-alatangentti.
$\operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$ — käänteinen hyperbolinen kotangentti, pinta-alan kotangentti.
$\operaattorinnimi {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x));0<x\leq 1$ — käänteinen hyperbolinen sekantti, pinta-ala sekantti. Huomaa, että ratkaisu täyttää myös yhtälön , mutta aluefunktioiden pääarvot ovat yksiarvoisia funktioita. $y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x))$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sch} y=x}$
$\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2)))){x))=\left\{{\begin {array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2)))){x)),\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\ sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.$ — käänteinen hyperbolinen kosekantti, pinta-alan kosekantti.

Kaaviot

Joidenkin käänteisten hyperbolisten ja käänteisten trigonometristen funktioiden välinen suhde:

\operaattorinimi {Arsh} x=-i\operaattorinimi {Arcsin} (-ix),

\operaattorinnimi {Arsh} (ix)=i\operaattorin nimi {Arcsin} x,

\operaattorinimi {Arcsin} x=-i\operaattorinimi {Arsh} (ix),

\operaattorin nimi {Arcsin} (ix)=-i\operaattorin nimi {Arsh} (-x),

\operaattorin nimi {Arccos} \ x=-i\ \operaattorin nimi {Arch} \ x,

missä i on kuvitteellinen yksikkö .

Näillä toiminnoilla on seuraava sarjalaajennus:

\operaattorinimi {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac { 1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1) ^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\oikea){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}),\quad \ vasen\vert x\right\vert <1;

\operaattorinimi {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3 }} \cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _ {n =1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\oikea){ \frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;

\operaattorin nimi {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7} }{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.

Ulkomaisessa kirjallisuudessa käänteisiä hyperbolisia funktioita merkitään usein ensimmäisen asteen miinusmerkillä: esimerkiksi ne kirjoittavat muodossa (ja merkitsee toista funktiota - ) jne. $\operaattorinimi {Arth} \,x$ $\operaattorin nimi {tanh} ^{-1}x$ $(\operaattorin nimi {tanh} \,x)^{-1}$ $\operaattorinimi {cth} \,x$

Historia

Historioitsijat löysivät ensimmäisen hyperbolisten funktioiden esiintymisen englantilaisen matemaatikon Abraham de Moivren ( 1707 , 1722 ) kirjoituksista . Vincenzo Riccati teki nykyaikaisen määritelmän ja yksityiskohtaisen tutkimuksen niistä vuonna 1757 ("Opusculorum", osa I), hän ehdotti myös niiden nimityksiä: , . Riccati lähti yhden hyperbolin tarkastelusta (katso kuva osiossa #Definition ) . $\operaattorinimi {sh}$ $\operaattorinimi {ch}$

Riippumattoman löydön ja lisätutkimuksen hyperbolisten funktioiden ominaisuuksista suoritti Johann Lambert ( 1768 ), joka loi laajan rinnakkaisuuden tavallisen ja hyperbolisen trigonometrian kaavojen välille. N. I. Lobachevsky käytti myöhemmin tätä rinnakkaisuutta yrittäessään todistaa ei-euklidisen geometrian johdonmukaisuuden , jossa pyöreä trigonometria korvataan hyperbolisella.

Hyperbolisten funktioiden merkinnöissä on havaittu epäjohdonmukaisuutta. Esimerkiksi Brockhausin ja Efronin tietosanakirjassa käytetään nimityksiä , venäjänkielisessä kirjallisuudessa juurtunut ja englanninkielisessä kirjallisuudessa . $\operaattorinimi {sinhyp}$ $\operaattorinimi {coshyp}$ $\operaattorinnimi {sh} ,\operaattorinnimi {ch}$ $\sinh ,\cosh$

Sovellus

Hyperbolisia funktioita esiintyy usein erilaisten integraalien laskennassa . Jotkut rationaalifunktioiden ja radikaaleja sisältävien funktioiden integraalit voidaan laskea melko yksinkertaisesti vaihtamalla muuttujia hyperbolisten funktioiden avulla.

Samalla tavalla kuin näkymämatriisit kuvaavat rotaatioita kaksiulotteisessa euklidisessa avaruudessa , matriisit kuvaavat rotaatioita yksinkertaisimmassa kaksiulotteisessa Minkowski-avaruudessa . Tämän vuoksi suhteellisuusteoriassa esiintyy usein hyperbolisia toimintoja . ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix))$ ${\begin{pmatrix}{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x&{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x\\{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x& {\mathop {\mathrm {ch} }}\,x\end{pmatrix}}$

Tasainen köysi tai ketju, joka on vapaasti ripustettu päistään, on funktion graafin muodon (jonka yhteydessä hyperbolista kosinigraafia kutsutaan joskus ajoverkostoksi ). Tätä seikkaa käytetään kaarien suunnittelussa , koska kaaren muoto käänteisen ajojohdon muodossa jakaa kuorman tehokkaimmin. $y=a\,{\mathop {\mathrm {ch} }}\,{\frac {x}{a}}$

Kirjallisuus

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Korkeampi matematiikka. Differentiaaliyhtälöt. Useita integraaleja. Rivit. Kompleksisen muuttujan funktiot. - Moskova: Nauka, 1985. - S. 464.

Shervatov V. G. Hyperboliset toiminnot - Gostekhizdat, 1954. - 58 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ). – 25 000 kappaletta.
A. R. Yanpolsky. hyperboliset toiminnot. - Moskova, 1960. - 195 s.

Linkit

GonioLab : Interaktiivinen esittely trigonometrisista ja hyperbolisista funktioista Java Web Startissa
TSB: Matemaattiset merkit
Käänteiset trigonometriset ja hyperboliset funktiot (englanniksi)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Hienoa norjalaista Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Brockhaus ja Efron Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11979371t J9U : 987007553158105171 LCCN : sh85052338 NDL : 00571407 NKC : ph1124553