Rodriguen kiertokaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. huhtikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Rodriguesin kiertokaava on kaava , joka yhdistää kaksi vektoria , joilla on yhteinen origo, joista toinen saadaan kiertämällä toista tunnetun kulman verran yhteisen origon kautta kulkevan akselin ympäri:

{\vec {R}}_{2}-\tan(\chi /2)[{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{2}]={\vec { R}}_{1}+\tan(\chi /2)[{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}]

missä on alkuvektori, on tuloksena saatu vektori, on kiertoakselin yksikkövektori , on kiertokulma. Kaava voidaan kirjoittaa myös seuraavasti: ${\vec {R}}_{1}$ ${\vec {R}}_{2}$ $\vec{e}$ $\chi$

{\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e }}+({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi

Äärillisten rotaatioiden ja rotaatioiden yhteenlaskennan vektoriteorian taustalla . Vastaanottanut O. Rodrigues vuonna 1840 [1]

Johtopäätös

Yleisyyden menettämättä suuntaamme akselin yksikkövektoria pitkin ja vektori on OXZ-tasossa, sitten: ${\vec {z))$ $\vec{e}$ ${\vec {R}}_{1}$

{\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{1z}

{\vec {R}}_{1y}=0

{\vec {R}}_{1z}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}

Missä:

{\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){ \vec{e}}

Asetetaan vektori yhtäläiseksi: $\vec{w}$

{\vec {w}}={\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}

Huomaa, että:

|{\vec {w}}|=|{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}|=|{\vec {e}}|\,|{\ vec {R}}_{1}|\sin \phi \ =|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi

|{\vec {R}}_{1x}|=|{\vec {R}}_{1}|\cos(\pi /2-\phi )=|{\vec {R}} _{1}|\sin \phi .

Sitten vektori voidaan ilmaista vektoreilla ja ja kulmalla : ${\vec {R}}_{2x}$ $\vec{w}$ ${\vec {R}}_{1x}$ $\chi$

{\vec {R}}_{2x}={\vec {R}}_{1x}\cos \chi +{\vec {w}}\sin \chi =({\vec {R} }_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\ kertaa {\vec {R}}_{1})\sin \chi

Tuloksena oleva vektori ilmaistaan vektoreilla ja : ${\vec {R}}_{2}$ ${\vec {R}}_{2x}$ ${\vec {R}}_{1z}$

{\vec {R}}_{2}={\vec {R}}_{2x}+{\vec {R}}_{1z}=({\vec {R}}_{1 }-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}

Tuomalla samanlaisia, saamme Rodriguesin kiertokaavan:

{\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e }}+({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi

Matriisimuodossa

Vektorin kertominen vektorilla k voidaan esittää kertolaskuna matriisilla K :

\mathbf {k} \times \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z }-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end {bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {K} \mathbf {v} \,.

Vektori v , kun sitä kierretään yksikkövektorin k ympäri , menee vektoriin

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {R} \mathbf {v} \,,

missä $\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \ kertaa \mathbf {v} )\,.$

Siten käy ilmi, että kiertomatriisi yksikkövektorin k ympäri kulman verran $\theta$

\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}~.

missä

\mathbf {K} =\left[{\begin{array}{ccc}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y} &k_{x}&0\end{array}}\right]~.

Muistiinpanot

↑ Rodrigues, 1840 , s. 380-440.

Kirjallisuus

Lur'e A. I. Analyyttinen mekaniikka. - M .: Fizmatgiz, 1961. - 824 s. - S. 101-103.
Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'une système solide dans l'espace et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des aiheuttaa qui peuvent les produire // Liouvillés // Liouvillés. Math.. - 1840. - Vol. 5. - s. 380-440.