4-vektori

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

4-vektori ( neli -vektori , neljä -vektori ) on vektori neliulotteisessa Minkowski-avaruudessa , ja yleisemmässä tapauksessa vektori kaarevassa neliulotteisessa aika-avaruudessa. Minkä tahansa fyysistä järjestelmää kuvaavan 4-vektorin komponentit, siirrettäessä tai pyöritettäessä vertailujärjestelmää sekä siirrettäessä viitejärjestelmästä toiseen, muunnetaan saman referenssijärjestelmän muunnoksen määrittelemän lain mukaisesti. 4-vektorissa on yksi ajallinen ja kolme spatiaalista komponenttia. Tilakomponentit muodostavat tavallisen kolmiulotteisen spatiaalivektorin , jonka komponentit voidaan ilmaista suorakulmaisina, sylinterimäisinä, pallomaisina ja muina tilakoordinaateina.

Nykyaikaisessa merkinnöissä aikakomponentti vastaa yleensä indeksiä 0 (eli sitä pidetään nollakomponenttina), tilakomponentti - 1, 2, 3 (yhdessä x:n, y:n, z :n kanssa ; yleensä oletusarvoisesti ja jos mahdollista, nämä ovat tavallisia suorakaiteen muotoisia suorakulmaisia koordinaatteja ). Vanhassa kirjallisuudessa on usein käytetty ( Minkowskista peräisin olevaa) sopimusta , jonka mukaan aikakomponenttia ei pidetty nollana, vaan neljännenä.
Joskus on kätevää liittää 4-vektorin aikakomponenttiin puhtaasti kuvitteellinen merkki (kerrota aina reaaliaikainen komponentti imaginaariyksiköllä ). Tämä 4-vektorin esitys oli historiallisesti ensimmäinen, joka otettiin käyttöön, ja sitä käytetään joskus myös modernissa kirjallisuudessa.
4-vektorit (niiden komponenttiesitys) voidaan kirjoittaa kontravariantti- ja (tai) kovarianttimuotoihin (katso alla), jotka eivät aina täsmää, ja todellisen esityksen (ilman imaginaarista yksikköä) tapauksessa ne eroavat aina toisistaan , vaikka useimmissa tapauksissa tämä ero on hyvin yksinkertaisen säännön alainen.

Esimerkkejä 4-vektorista

Tässä ja alla käytetään allekirjoitusta . $(+,~-,~-,~-)$

4 liikettä: $dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),$
4-vaihteinen: $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }} ,$ missä on " oikea aika ", joka on yhtä suuri kuin aikaväli , jaettuna valonnopeudella , mitattuna maailmanviivaa pitkin . Geometrisesti 4-nopeus on hiukkasen maailmanviivan tangenttiyksikkövektori . $\tau$ $\tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}$
4-kiihtyvyys : $a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }} ,$ missä - katso yllä. Geometrisesti 4-kiihtyvyys on hiukkasen maailmanviivan kaarevuusvektori . $\tau$
4-energiamomenttivektori ( neljämomentti ): $p^{i}=\left({\frac {\varepsilon }{c)),~p_{x},~p_{y},~p_{z}\oikea)$ . Hiukkaselle, jonka massa on nollasta poikkeava ulkoisten kenttien puuttuessa . $p^{i}=c\,mu^{i}$
neliulotteinen virrantiheys ( 4-virta ): $j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
aalto 4-vektori: $k_{i}=\left({\frac {\omega }{c)),-k_{x},-k_{y},-k_{z}\oikea);$
Sähkömagneettinen potentiaali : $A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).$

Ominaisuudet

Nelivektorin muunnoslaki:

{\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},

missä - matriisi Lorentz-ryhmästä - siirtymämatriisi uusiin koordinaatteihin (uuteen viitekehykseen). $S_{j}^{i}$

4-vektorin pistetulot (erityisesti neliöt) lasketaan käyttämällä Lorentzin metriikkaa (katso myös alla).
- Ne ovat invariantteja Lorentzin muunnoksissa. Niitä kutsutaan skalaariksi (neliulotteisessa - aika-avaruus - merkityksessä).
- Tämä on esimerkiksi väli (välin neliö on Lorentzin metriikassa siirtymävektorin neliö), massa (lepomassa) - sen neliö on vakiokertoimeen asti 4-liikkeen neliö : jne. $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$

Merkintä

Perinteisesti 4-vektoria kutsutaan joukoksi sen komponentteja. Näin ollen 4-vektoria merkitään (älä sekoita tätä merkintää eksponentioon!) tai $a$ $a^{i}$ $a_{i}.$

Koordinaatit, 3 spatiaaliset ja ajalliset, merkitään yleensä nimellä $x^{i}.$

Mitä ylemmän ( ) tai alemman ( ) indeksin käyttö tarkoittaa tässä tapauksessa, on erikseen määritelty, mutta oletusarvoisesti, jos käytetään molempia (tai ainakin ensimmäistä) vaihtoehtoja, eli jos yläindeksiä käytetään ollenkaan, ristiriitaiset koordinaatit 4-vektori, ja alemmat ovat kovarianttikoordinaatit . Näin ollen tässä tapauksessa samalla vektorilla voi olla kaksi erilaista esitystapaa - kontravariantti ja kovariantti . $a^{i}$ $a_{i}$

Tasaisen avaruuden ja inertiavertailukehyksen tapauksessa , kuten sähködynamiikassa , erikoissuhteellisuusteoriassa ja yleensä tapauksissa, joissa gravitaatio voidaan jättää huomiotta, kovariantti- ja kontravariantit eroavat vain ajan merkissä (tai päinvastoin, riippuen ajankohdasta). perinteisesti hyväksytty allekirjoitus - spatiaaliset) komponentit. Tässä tapauksessa skalaaritulo voidaan esittää yksinkertaisena summana vastaavien komponenttien tuloista vain kovarianttivektorin tulolle kontravariantin kanssa, esimerkiksi:

(a,b)=a^{i}b_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{ 2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}

ja erityisesti

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1} +a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{ 2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(Tässä ja alla käytetään toistuvan Einsteinin indeksin summaussääntöä ja neliöintiä merkitään (…)²).

Jos he haluavat kirjoittaa skalaaritulon käyttämällä vain kovariantteja tai vain vastakkaisia komponentteja, he käyttävät yleensä merkintää Lorentzin metriikassa (tai ): $\eta _{{ij}}$ $\eta ^{{ij}}$

(a,b)=\eta _{{ij}}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta _{{ij}}a^{i}b ^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

tai

(a,b)=\eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta ^{{ij}}a_{i}b_{i} =a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(molemmat menetelmät vastaavat toisiaan ja edellä kuvattua menetelmää molemmilla koordinaatilla).

Kuitenkin yleisemmässä ei-Lorentzin vertailujärjestelmien tapauksessa, mukaan lukien kun painovoima otetaan huomioon yleisen suhteellisuusteorian mukaisesti , on hyvin yksinkertaisen ja vakion Lorentzian metriikan sijasta harkittava mielivaltaista metriikkaa , mukaan lukien sellainen, joka riippuu tilakoordinaatit ja aika (Kaikissa tässä yllä olevassa kappaleessa kirjoitetuissa kaavoissa on yleensä korvattava merkillä , ja ). Samanaikaisesti lakkaa pätevä yksinkertainen sääntö, että 4-vektorin kovariantti- ja kontravariantit eroavat vain tilakomponenttien etumerkillä, ne alkavat ilmaista toistensa kautta käyttämällä myös yleismetriikkaa (katso Metrictensori# Isomorfismi tangentin ja kotangenttiavaruuden välillä ): $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}.$ $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}$ $\eta ^{{ij}}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{{ij}}a_{j},

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(Kuten näemme, nämä kaavat pitivät myös paikkansa, mutta siinä tapauksessa ne pelkistettiin yksinkertaiseksi säännöksi joidenkin komponenttien etumerkin muuttamiseksi, mutta tässä niitä ei yleensä enää pelkistetä). $\eta_{{ij}},$

Huomaa myös, että aika-avaruudessa , jossa on kaarevuus (jota pidetään jo oikein vain moninaisena eikä vektoriavaruutena), koordinaattijoukko ei ole enää vektori. Kuitenkin äärettömän pienet koordinaattisiirrot edustavat vektoria ( moniston tangenttiavaruuden vektori pisteessä ). $x^i$ $dx^{i}$ $x^i$

Ja lopuksi, yllä tarkastellun Lorentzian-metriikan tapauksessa käytetään usein vain alaindeksiä , koska kovariantti- ja kontravarianttikomponentit eroavat vain etumerkistä ja voidaan rajoittua mainitsemaan vain yksi niistä (yleensä kontravariantit, vaikka käytetään alaindeksiä ). Tämä menetelmä on tässä tapauksessa suhteellisen kätevä, koska yläindeksien puuttuminen on jonkin verran tutumpaa ei-asiantuntijoille, eikä se myöskään voi aiheuttaa sekaannusta eksponentiomerkinnän kanssa. Siinä on kuitenkin myös sudenkuoppia, sillä esimerkiksi kontravarianttimuotoisessa 4-gradienttivektorissa on yllättäen miinusmerkki tilakomponenteille: koska kokonaisdifferentiaalin on oltava invariantti, ja skalaaritulokaavassa, jos molemmat vektorit on esitetty samassa ristiriitaisessa muodossa, tulee, kuten tiedämme, merkkimuutoksen, joka johtuu $(\osittainen _{0},-\osittainen _{1},-\osittainen _{2},-\osittainen _{3}),$ $df=\osittainen _{0}fdx^{0}+\osittinen _{1}fdx^{1}+\osittinen _{2}fdx^{2}+\osittainen _{3}fdx^{3}$ $\eta _{{ij}}.$

Mielenkiintoista on, että menetelmällä, joka käyttää vain alaindeksejä ja kuvitteellista aikakomponenttia, ei ole näitä haittoja (pääasiassa sovellettavuusalueella, joka rajoittuu tasaisen tilan tapaukseen, mutta ei vain). Tosiasia on, että tätä menetelmää käytettäessä tarvittavat merkit saadaan automaattisesti (huomio: ottaen huomioon allekirjoitus ; allekirjoituksen valinta on kuitenkin edelleen sopimuskysymys). Eli merkkejä ei tarvitse ajatella ollenkaan, ei tarvitse eksplisiittisesti käyttää metristensorin matriisia, vaikka metriikka on muodollisesti esitetty yhdellä matriisilla ("muodollisesti euklidinen", joka , ei tietenkään muuta sen todellista pseudoeuklidista luonnetta, mutta yksinkertaistaa kirjoittamista) ja kaikkien 4-vektorien esitystapaa yksinkertaisesti ja yhtenäisesti: $\eta_{{ij}},$

4-liike $dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4-impulssi $p_{\mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
neliulotteinen virrantiheys $j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),$
aalto 4-vektori $k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
sähkömagneettinen potentiaali $A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),$

ja niin edelleen, missä i on kuvitteellinen yksikkö .

4-vektori matematiikassa

Pistettä Minkowskin avaruudessa kutsutaan tapahtumaksi ja se annetaan neljällä koordinaatilla:

{\mathbf {x}}:=\vasen(ct,x,y,z\oikea),

missä on valon nopeus , tapahtuman aika ja sen tilakoordinaatit. Tällaista 4-vektoria kutsutaan 4-säteen vektoriksi. $c$ $t$ $x, y, z$

Siitä ja kauemmaksi toisistaan voidaan rakentaa monia muita 4-vektoria lisäämällä, vähentämällä, kertomalla tai jakamalla skalaarilla, samoin kuin erottamalla skalaarin suhteen jne. Näin ollen 4-säteisestä vektorista erotus suhteessa oikeaan aikaan , saadaan 4-nopeus jne.

4-vektorin skalaaritulot ovat Lorentzin invariantteja suureita (Lorentz-ryhmän invariantteja), Minkowski-avaruuden skalaareja.

Historia

4-vektoria käsitteli ensin Poincare ( 1905 ) ja sitten Minkowski . He pitivät 4-vektorin aikakomponenttia puhtaasti kuvitteellisena, mikä generoi automaattisesti tarvittavan säännön skalaaritulon laskemiseksi komponenttien tulojen tavanomaisessa summauksessa. Arnold Sommerfeld ehdotti termiä "4-vektori" vuonna 1910 .

Kirjallisuus

Landau L. D. , Lifshits E. M. § 2. Väli. § 3. Oikea aika. § 6. Neliulotteiset vektorit. § 7. Neliulotteinen nopeus. // Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Fysiikan luentoja. Osa 6: Elektrodynamiikka. Käännös englannista (3. osa). — Pääkirjoitus URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . - ch. 25. "Elektrodynamiikka relativistisessa merkinnässä". (Tämä on yksinkertainen johdanto perustutkinto-opiskelijoille; sekaannusten välttämiseksi huomaa, että tässä kirjassa käytetään vain alaindeksiä, mutta ne viittaavat 4-vektorin vastakkaisiin komponentteihin.)