4-kiihtyvyys

4-kiihtyvyys (nelikiihtyvyys, nelikiihtyvyys) relativistisessa kinematiikassa on neljän vektori , joka yleistää klassisen kiihtyvyyden ja määritellään 4-nopeuden derivaatana suhteessa hiukkasen oikeaan aikaan :

{\mathbf {A}}={\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\piste \gamma }_{u}c,\ neliö \gamma _{u}^{2}{\mathbf a}+\gamma _{u}{\piste \gamma }_{u}{\mathbf u}\right)=\left(\gamma _{u }^{4}{\frac {({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}})}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf {a }}+\gamma _{u}^{4}{\frac {\left({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}}\right)}{c^{2}}}{\ mathbf{u}}\right),

missä

{\mathbf a}={d{\mathbf u} \over dt}

- 3-kiihtyvyys,

{\boldsymbol {\beta }}={\mathbf {u}}/c

- mittaton 3-nopeuksinen,

{\piste \gamma }_{u}={\frac {{\mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {{ \mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\oikea )^{{3/2}}}}

ja on Lorentzin kerroin 3-nopeudelle u . Piste muuttujan yläpuolella tarkoittaa derivaattia suhteessa koordinaattiaikaan tietyssä viitekehyksessä, ei suhteessa oikeaan aikaan $\gamma _{u}$ $\tau .$

Välittömässä muuttuvassa inertiaalisessa viitekehyksessä , eli sellaisessa viitekehyksessä ${\mathbf u}=0,$ $\gamma _{u}=1$ ${\piste \gamma }_{u}=0,$

{\mathbf {A}}=\left(0,{\mathbf a}\oikea).

Geometrisesti 4-kiihtyvyys on maailmanlinjan [1] [2] kaarevuusvektori .

Siten 4-kiihtyvyyden moduuli (joka on invariantti skalaari) on yhtä suuri kuin luontainen kiihtyvyys , jonka "tuntuu" hiukkanen, joka liikkuu maailmanviivaansa pitkin . Maailmanviivat, joilla on vakio 4-kiihtyvyys, ovat Minkowskin ympyröitä eli hyperboleja (katso hyperbolinen liike ).

Jopa relativistisilla nopeuksilla 4-kiihtyvyys liittyy hiukkaseen vaikuttavaan 4-voimaan kaavalla, joka yleistää Newtonin klassisen toisen lain :

F^{\mu }=mA^{\mu };

tässä m on hiukkasen massa .

4-nopeuden ja vastaavan 4-kiihtyvyyden skalaaritulo on aina nolla. Tämä on helppo havaita erottamalla identiteetti oikeaan aikaan: Siten hiukkaseen vaikuttava 4-kiihtyvyys ja sitä vastaava 4-voima ovat aina ortogonaalisia sen 4-nopeuteen nähden (ja 4-momentumin ohjattu yhdessä 4-nopeuden ) kanssa - toisin kuin klassinen mekaniikka. ${\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv c^{2}$ ${\frac {d}{d\tau }}({\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}})=2{\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau } }\cdot {\mathbf {U}}=2{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.$ $p^{\mu }=mU^{\mu }$

Yleisessä suhteellisuusteoriassa neljän vektorin kiihtyvyyden komponentit liittyvät neljän nopeuden komponentteihin kovarianttiderivaatan kautta oikean ajan suhteen.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu }U^{\nu }

( Γ λ μν ovat Christoffel-symbolit ).

Erityisessä suhteellisuusteoriassa koordinaatit ilmaistaan yleensä suoraviivaisessa inertiaalisessa viitekehyksessä, joten termi Christoffel-symboleilla katoaa, mutta joskus, kun kirjoittajat käyttävät kaarevia koordinaatteja kuvaamaan kiihdytettyä järjestelmää, viitekehys ei ole inertia, vaan fysiikka. pysyy edelleen erityisen relativistisena, koska metriikka on yksinkertaisesti Minkowskin avaruusmetriikan koordinaattimuunnos . Tällöin tulee käyttää yllä olevaa lauseketta, koska tässä kaikki Christoffel-symbolit eivät ole nollia.

Kun 4-voima on nolla, vain painovoima vaikuttaa hiukkaseen, ja Newtonin toisen lain nelivektoriversio (katso edellä) pelkistyy geodeettiseen yhtälöön. Geodeettista liikettä tekevällä hiukkasella on nolla-arvo kullekin 4-kiihtyvyysvektorin komponentille. Tämä on sopusoinnussa sen tosiasian kanssa, että painovoima ei ole voima.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Pauli W. Suhteellisuusteoria . – 1981 Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - s . 74 . — ISBN 978-0-486-64152-2 .
↑ Synge JL , Schild A. Tensorilaskenta . – 1978 Dover. - University of Toronto Press , 1949. - S. 149, 153 ja 170. - ISBN 0-486-63612-7 .

Kirjallisuus

Pauli W. Suhteellisuusteoria . - julkaisi uudelleen vuonna 1981 Doverin toimesta. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - ISBN 978-0-486-64152-2 .
Papapetrou A. Luennot yleisestä suhteellisuusteoriasta . — D. Reidel Publishing Company, 1974. - ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang. Johdatus erityiseen suhteellisuusteoriaan (2. ) . - Oxford: Oxford University Press, 1991. - ISBN 0-19-853952-5 .
Synge JL, Schild A. Tensorilaskenta . - julkaisi uudelleen vuonna 1978 Doverin toimesta. - University of Toronto Press , 1949. - ISBN 0-486-63612-7 .