Christoffel-symbolit

Christoffel-symbolit (tai Christoffeli ) ovat affiiniyhteyden , erityisesti Levi-Civita-yhteyden , koordinaattilausekkeen kertoimia . Nimetty Elvin Bruno Christoffelin mukaan . Käytetään differentiaaligeometriassa , yleisessä suhteellisuusteoriassa ja niihin liittyvissä painovoimateorioissa . Näkyy kaarevuustensorin koordinaattilausekkeessa . Samaan aikaan symbolit itsessään eivät ole tensoreita.

Yleensä merkitään ; joskus Christoffelin alkuperäisen merkinnän mukaisesti [1] -symbolia käytetään ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k))$ $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.$

Alla käytetään Einsteinin summaussääntöä , eli toistuvien ylä- ja alaindeksien kohdalla viitataan summaukseen.

Historia

Symbolit esiintyivät ensimmäisen kerran Christoffelin artikkelissa "Toisen asteen homogeenisten differentiaalilausekkeiden muuntamisesta" ( saksa: Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades - J. fur Math., No. 70, 1869). Siinä kirjoittaja pohti ehtoja Riemannilaisen geometrian yhteensattumiselle , jonka määrittelee kaksi erilaista metristä muotoa. Christoffelista riippumatta samanlaisen ongelman ratkaisi Rudolf Lipschitz , jonka artikkeli ilmestyi vuotta myöhemmin [1] .

Christoffel-symbolien alkeellinen käsite

Johdanto

Christoffel-symbolien visuaalinen esitys voidaan saada käyttämällä esimerkkiä napakoordinaattijärjestelmästä . Tässä järjestelmässä pisteen koordinaatit ovat etäisyys siitä napaan ja suuntakulma napa-akselista. ${r}$ $\varphi$

Vektorin koordinaatteja , kuten suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä , on pidettävä näiden suureiden differentiaaleina (äärettömän pieninä askelina): . $({\rm d}r,\,{\rm d}\varphi)$

Olkoon vektori komponenteilla , jossa on geometrinen merkitys vektorin projektiolla radiaaliseen säteeseen (joka kulkee vektorin alun kautta) ja on kulma, jossa vektori nähdään navalta. Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektorikomponentit eivät muutu rinnakkaissiirron aikana. Näin ei ole napakoordinaatistossa ( katso kuvat 1 ja 2 ). $\boldsymbol A$ $(a,\,\alfa)$ $a$ $\boldsymbol A$ $\alpha$

Christoffel-symbolit vain ilmaisevat vektorikomponenttien muutosta sen rinnakkaissiirron aikana.

Rinnakkaiskäännös koordinaattiviivoja pitkin

Kun vektoria siirretään säteittäistä sädettä pitkin etäisyyden verran , sen komponentti ei ilmeisesti muutu, mutta sen toinen koordinaatti ( ) pienenee ( kuvio 1 ). Vektorin arvo pysyy ennallaan, joten . Tästä käy ilmi (jättämättä huomioimatta toisen ja korkeamman pienuusasteen arvot ): ${\rm d}r$ $a$ $\alpha$ $|A|^2= a^2 + r^2\alpha^2$ $a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

Rinnakkaissiirto kaaria pitkin muuttaa sekä koordinaatteja että ( kuvio 2 ). Ilmeisesti , , ja siksi: $a$ $\alpha$ $\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda$ $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Lisäksi vuodesta , , ja , sitten $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$ $A\sin\lambda=r\alpha$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Rinnakkaiskäännös mielivaltaiseen suuntaan

Vektorin mielivaltaista pientä siirtymää varten (kun sekä ja että muuttuvat), komponenttien muutokset on lisättävä : $r$ $\varphi$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi .

Tuloksena olevilla lausekkeilla on yhteinen rakenne: vektorin komponenttien muutos on verrannollinen vektorin kaikkiin komponentteihin ja verrannollinen vektorin siirtymän suuruuteen. Suhteellisuuskertoimia (ilman yhteistä miinusta) kutsutaan Christoffel-symboleiksi .

Yleisemmällä merkinnällä , , ja voidaan kirjoittaa (pidä mielessä toistuvien indeksien summa ): $x^1=r$ $x^2=\varphi$ ${A^1=a}$ $A^2=\alpha$

{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.

Tässä Christoffel-symbolit , ja kaikki loput ovat yhtä suuria kuin nolla. ${\Gamma^1_{22}=-r}$ $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r$

Suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä kaikki Christoffel - symbolit ovat nollia, koska vektorin komponentit eivät muutu rinnakkaissiirron aikana. Tästä voidaan päätellä, että Christoffel-symbolit eivät muodosta tensoria : jos tensori on nolla missä tahansa koordinaattijärjestelmässä, niin se on nolla kaikissa muissa koordinaattijärjestelmissä.

Ensimmäisen ja toisen tyypin Christoffel-symbolit

Toisen tyypin Christoffel-symbolit voidaan määritellä koordinaattivektorien kovarianttiderivaatan laajennuskertoimiksi suhteessa kantaan : $\Gamma^{k}_{ij}$ $\partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$

\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.

Ensimmäisen tyyppiset Christoffel-symbolit : $\Gamma^{}_{n,ij}$

\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in} } {n}}}\oikea).

Lauseke metrisen tensorin muodossa

Levi-Civita-yhteyden Christoffel-symbolit kartalle voidaan määrittää vääntön puuttumisesta eli $x^i$

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},

ja ehto, että metrisen tensorin kovarianttiderivaata on yhtä suuri kuin nolla: $g_{{ik}}$

0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik)){\partial x^{\ell ))}-g_{mk}\Gamma ^{m} {}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.

Merkintämerkinnän lyhentämiseksi nabla-symboli ja osittaiset johdannaissymbolit jätetään usein pois, niiden sijaan puolipiste ";" sijoitetaan ennen indeksiä, jolla erotus tehdään. kovariantin ja pilkun tapauksessa "," osittaisen derivaatan tapauksessa. Joten yllä oleva lauseke voidaan kirjoittaa myös muodossa $\nabla$

0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m} {}_{k\ell }.

Eksplisiittiset lausekkeet toisen tyyppisille Christoffel-symboleille saadaan lisäämällä tämä yhtälö ja kaksi muuta yhtälöä, jotka saadaan indeksien syklisellä permutaatiolla:

\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell ))}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x ^{m))}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m }),

missä on ristiriitainen esitys metriikasta, joka on matriisi käänteinen , löydetään ratkaisemalla lineaarinen yhtälöjärjestelmä . $g^{ij}$ $g_{ij}$ $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$

Muuttumaton merkintä

Liitettävyyden muuttumaton merkintätapa on irrotettu tietystä koordinaattijärjestelmästä ja on siksi parempi matemaattisten lauseiden todistamisessa.

Olkoot X ja Y vektorikenttiä komponenteilla ja . _ Sitten kentän Y kovarianttiderivaatan k -nen komponentti suhteessa X :ään on annettu $X^{i}$ ${\displaystyle Y^{k))$

\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac { \osittais Y^{k}}{\osittais x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\oikea).

Liitoksen vääntövapaa ehto : _

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

vastaa Christoffel-symbolien symmetriaa kahdessa alaindeksissä:

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.

Koordinaattien muutos

Vaikka Christoffel-symbolit on kirjoitettu samalla merkinnällä kuin tensorien komponentit , ne eivät ole tensoreja , koska ne eivät muunnu kuin tensorit uuteen koordinaattijärjestelmään vaihdettaessa. Erityisesti valitsemalla koordinaatit minkä tahansa pisteen läheisyydestä, Christoffel-symbolit voidaan paikallisesti tehdä nollaksi (tai takaisin ei-nollaksi), mikä on mahdotonta tensorille.

Kun muuttujat korvataan kantavektoreilla, ne muuntuvat kovarianttisesti : ${\näyttötyyli (x^{1},\pisteet ,x^{n})\ }$ ${\näyttötyyli (y^{1},\pisteet ,y^{n})}$

{\frac {\partial }{\partial y^{i))}={\frac {\partial x^{k)){\partial y^{i))}{\frac {\partial } {\osittainen x^{k))},

mistä Christoffel-symbolin muunnoskaava seuraa:

{{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\ frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\ osittainen x^{r))}+{\frac {\osittinen y^{k)){\osittinen x^{r))}\,{\frac {\osittinen ^{2}x^{r)){ \osittainen y^{i}\osittainen y^{j}}}.

Viiva tarkoittaa y - koordinaattijärjestelmää . Näin ollen Christoffel-symbolit eivät muunnu tensorina. Ne edustavat monimutkaisempaa geometrista objektia tangenttiavaruudessa, jolla on epälineaarinen muunnoslaki koordinaattijärjestelmästä toiseen.

Huom . Määritelmästä näkyy esimerkiksi, että ensimmäinen indeksi on tensori, eli sen mukaan Christoffel-symbolit muunnetaan tensoriksi.

Christoffel-symbolit erilaisissa koordinaattijärjestelmissä

Käyttämällä symbolin ilmaisua metrisen tensorin kautta tai muuntamalla koordinaatteja, voit saada niiden arvot missä tahansa koordinaattijärjestelmässä. Mekaniikassa ja fysiikassa käytetään yleisimmin ortogonaalisia kaarevia koordinaattijärjestelmiä . Tässä tapauksessa Christoffel-symbolit yhtäläisillä kertoimilla ilmaistaan Lamé-kertoimina (metrisen tensorin diagonaalielementit) ja kaikki muut ovat nollia. $H_\beta$

Ensimmäisen tyypin Christoffel-symbolit ilmaistaan seuraavasti:

\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}

klo

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta )){\partial x^{\gamma ))}.

Toisen tyypin Christoffel-symbolit:

\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\ beta }}{\partial x^{\gamma }}}

klo

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta ))}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.

Yleisten koordinaattijärjestelmien arvot:

Karteesisessa koordinaatistossa : , joten kovarianttiderivaata on sama kuin osittaisderivaata. $\{x,y,z\}$ $\Gamma _{ij}^{k}\equiv 0$
Sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä : , . Loput ovat nollia. ${\näyttötyyli \{r,\phi ,z\))$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r))$
Pallomaisessa koordinaatistossa : , , , , . Loput ovat nollia. ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \))$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$ $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$ $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operaattorinimi {ctg} \theta$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kahden affiinin yhteyden ero

\Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y

on tensori. Jos määritellään kartassa yhteydeksi, jossa tensorikentät vakiokomponenteilla ovat rinnakkain, Christoffelit ovat tuloksena olevan tensorin komponentteja . Tässä tapauksessa molempien liitäntöjen vääntövoiman puuttuminen merkitsee tensorin symmetriaa ${\tilde {\nabla ))$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$ $\Gamma$

\Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X

Voit valita toisen tukiaseman liitännän . Esimerkiksi julistamalla mielivaltainen ortonormaalien kehysten kenttä rinnakkain; näin se tehdään liikkuvan kehyksen menetelmässä . Koska tässä tapauksessa liitoksella voi olla nollasta poikkeava vääntö , niin yleensä . Kuitenkin, koska molemmat yhteydet ovat Riemannilaisia, toinen yhtä hyödyllinen suhde pätee: ${\tilde {\nabla ))$ ${\tilde {\nabla ))$ $\Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X$

\langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0

Toisin sanoen se on 1-muoto jakosarjassa, jonka arvot ovat antisymmetrisissä operaattoreissa tangenttiavaruudessa. $\Gamma$ $\Gamma _{X}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 1800-luvun matematiikka. Osa II: Geometria. Analyyttisten funktioiden teoria / Toim. Kolmogorova A. N. , Juskevitš A. P .. - M .: Nauka, 1981. - S. 89. - 270 s.

Kirjallisuus

Dimitrienko Yu. I. Tensorilaskenta. - M . : Korkeakoulu, 2001. - 575 s. — ISBN 5-06-004155-7 .

Pobedrya B.E. Luennot tensorianalyysistä. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1974. - 206 s.

Chernavsky A. V. Differentiaaligeometria, 2 kurssia .