Napakoordinaattijärjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Napakoordinaattijärjestelmä on kaksiulotteinen koordinaattijärjestelmä , jossa jokainen tason piste on määritelty kahdella numerolla - napakulmalla ja napasäteellä. Napakoordinaattijärjestelmä on erityisen hyödyllinen, kun pisteiden väliset suhteet on helpompi esittää säteinä ja kulmina; yleisemmässä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tällaiset suhteet voidaan määrittää vain käyttämällä trigonometrisiä yhtälöitä.

Napakoordinaattijärjestelmän antaa säde, jota kutsutaan nollasäteeksi tai napa-akseliksi. Pistettä, josta tämä säde tulee esiin, kutsutaan origoksi tai napaksi. Mikä tahansa tason piste määritellään kahdella napakoordinaatilla: säteittäinen ja kulmainen. Säteittäinen koordinaatti (yleensä merkitty ) vastaa etäisyyttä pisteestä alkupisteeseen. Kulmakoordinaattia kutsutaan myös napakulmaksi tai atsimuutiksi , ja sitä merkitään , joka on yhtä suuri kuin kulma, jolla sinun on käännettävä napa-akselia vastapäivään päästäksesi tähän pisteeseen [1] . $r$ $\varphi$

Tällä tavalla määritelty säteittäinen koordinaatti voi ottaa arvoja nollasta äärettömään ja kulmakoordinaatti vaihtelee välillä 0° - 360°. Mukavuuden vuoksi napakoordinaatin arvojen aluetta voidaan kuitenkin laajentaa täyden kulman yli ja antaa myös negatiivisia arvoja, mikä vastaa napa-akselin pyörimistä myötäpäivään.

Historia

Kulman ja säteen käsitteet tunnettiin jo ensimmäisellä vuosituhannella eKr. Kreikkalainen tähtitieteilijä Hipparkhos (190-120 eKr.) loi taulukon, jossa jänteen pituudet annettiin eri kulmille. On todisteita siitä, että hän käytti napakoordinaatteja taivaankappaleiden sijainnin määrittämiseen [2] . Arkhimedes kuvaa esseessään "Spiraalit" niin kutsuttua Arkhimedes-spiraalia, funktiota, jonka säde riippuu kulmasta. Kreikkalaisten tutkijoiden työ ei kuitenkaan kehittynyt yhtenäiseksi koordinaattijärjestelmän määritelmäksi.

800- luvulla persialainen matemaatikko Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) käytti kartografisten projektioiden ja pallomaisen trigonometrian menetelmiä muuntaakseen napakoordinaatit toiseksi koordinaattijärjestelmäksi, joka on keskittynyt johonkin pisteeseen pallolla, tässä tapauksessa Qiblan määrittämiseksi . suunta Mekkaan [3 ] . Persialainen tähtitieteilijä Abu Rayhan Biruni ( 973-1048 ) esitti ajatuksia, jotka näyttävät kuvaukselta napakoordinaatistosta. Hän oli ensimmäinen, joka noin vuoden 1025 tienoilla kuvasi taivaanpallon polaarisen ekvi-asimutaalisen tasaetäisyyden projektion [4] .

Polaaristen koordinaattien käyttöönotosta muodollisena koordinaattijärjestelmänä on olemassa erilaisia versioita. Syntymisen ja tutkimuksen koko historia on kuvattu Harvardin professorin Julian Lovell Coolidgen teoksessa "The Origin of Polar Coordinates" [5] . Grégoire de Saint-Vincent ja Bonaventura Cavalieri päätyivät itsenäisesti samanlaiseen konseptiin 1600-luvun puolivälissä. Saint-Vincent kuvasi napajärjestelmän henkilökohtaisissa muistiinpanoissaan vuonna 1625, kun hän julkaisi teoksensa vuonna 1647 ; ja Cavalieri julkaisivat teoksensa vuonna 1635 ja tarkistetun version vuonna 1653 . Cavalieri käytti napakoordinaatteja laskeakseen Arkhimedes-spiraalin rajoittaman alueen. Blaise Pascal käytti myöhemmin napakoordinaatteja laskeakseen parabolisten kaarien pituudet .

Vuonna 1671 kirjoitetussa teoksessa The Method of Fluxions, joka painettiin vuonna 1736, Sir Isaac Newton tutki polaaristen koordinaattien välistä muutosta, jonka hän nimitti "Seitsemänneksi tieksi; For Spirals ” (“ Seitsemäs tapa; For Spirals ”) ja yhdeksän muuta koordinaattijärjestelmää [6] . Vuonna 1691 Acta eruditorum -lehdessä julkaistussa artikkelissa Jacob Bernoulli käytti järjestelmää, jossa oli piste linjalla, jota hän kutsui napa- ja napa-akseliksi. Koordinaatit annettiin etäisyydenä napasta ja kulmana napa-akselista. Bernoullin työ oli omistettu tässä koordinaattijärjestelmässä määriteltyjen käyrien kaarevuussäteen löytämisen ongelmalle.

Termin "napakoordinaatit" käyttöönoton ansioksi kuuluu Gregorio Fontana . 1700-luvulla se sisällytettiin italialaisten kirjailijoiden sanakirjaan. Termi tuli englanniksi Sylvester Lacroix'n tutkielman "Differential and Integral Calculus" käännöksen kautta, jonka George Peacock teki vuonna 1816 [7] [8] Kolmiulotteiselle avaruudelle napakoordinaatteja ehdottivat ensin Alexi Clairaut ja Leonard Euler . oli ensimmäinen, joka kehitti vastaavan järjestelmän [5] .

Graafinen esitys

Jokainen napakoordinaattijärjestelmän piste voidaan määrittää kahdella napakoordinaatilla, joita kutsutaan yleensä nimellä (säteittäinen koordinaatti, on merkintämuunnos ) ja (kulmakoordinaatti, napakulma, vaihekulma, atsimuutti, sijaintikulma , joskus kirjoitettuna tai ). Koordinaatti vastaa etäisyyttä pisteestä koordinaattijärjestelmän keskipisteeseen tai napaan, ja koordinaatti on yhtä suuri kuin kulma, joka lasketaan vastapäivään säteestä 0°:een (jota kutsutaan joskus koordinaattijärjestelmän napa-akseliksi). [1] . $r$ $\rho$ $\varphi$ $\theta$ $t$ $r$ $\varphi$

Napasäde on määritelty mille tahansa tason pisteelle ja se saa aina ei-negatiivisia arvoja . Napakulma määritellään mille tahansa tason pisteelle napaa lukuun ottamatta , ja se saa arvot . Napakulma mitataan radiaaneina ja mitataan napa-akselilta: $r\geqslant 0$ $\varphi$ $O$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi$

positiiviseen suuntaan (myötäpäivään), jos kulman arvo on positiivinen;
negatiiviseen suuntaan (myötäpäivään), jos kulman arvo on negatiivinen.

Esimerkiksi piste, jolla on koordinaatit , näkyy kaaviossa pisteenä säteellä, joka on 60°:n kulmassa napa-akseliin nähden, 3 yksikön etäisyydellä navasta. Piste koordinaatteineen piirretään samaan paikkaan. $(3,\;60^{\circ })$ $(3,\;-300^{\circ })$

Yksi napakoordinaattijärjestelmän tärkeistä ominaisuuksista on, että sama piste voidaan esittää äärettömällä monella tavalla. Tämä johtuu siitä, että pisteen atsimuutin määrittämiseksi sinun on käännettävä napa-akselia niin, että se osoittaa pisteeseen. Mutta suunta pisteeseen ei muutu, jos tehdään mielivaltainen määrä täydentäviä lisäkäännöksiä. Yleisessä tapauksessa piste voidaan esittää muodossa tai , jossa on mielivaltainen kokonaisluku [9] . $(r,\;\varphi )$ $(r,\;\varphi \pm n\times 360^{\circ })$ $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\times 180^{\circ })$ $n$

Koordinaatteja käytetään osoittamaan napa . Koordinaatista riippumatta piste, jonka etäisyys napasta on nolla, sijaitsee aina siinä [10] . Yksiselitteisten pistekoordinaattien saamiseksi tulee yleensä rajoittaa etäisyysarvo ei-negatiivisiin arvoihin ja kulma väliin tai (radiaaneina tai ) [11] . $(0,\;\varphi )$ $\varphi$ $r\geqslant 0$ $\varphi$ $[0,\;360^{\circ })$ $(-180^{\circ },\;180^{\circ }]$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Kulmat napakoordinaateissa määritetään joko asteina tai radiaaneina, . Valinta riippuu yleensä sovelluksesta. Navigaatiossa käytetään perinteisesti asteita , kun taas jotkin fysiikan alat ja lähes kaikki matematiikan alat käyttävät radiaaneja [12] . $2\pi \;{\mathrm {RAD}}=360^{\circ }$

Karteesisten ja napakoordinaattien välinen suhde

Napakoordinaattipari, joka voidaan muuntaa suorakulmaisiksi koordinaateiksi ja soveltamalla sinin ja kosinin trigonometrisiä funktioita (oletetaan, että napakoordinaatiston nollasäde on sama kuin karteesisen järjestelmän akseli): $r$ $\varphi$ $x$ $y$ $x$

x=r\cos \varphi ,

y=r\sin \varphi ,

kun taas nämä kaksi ovat karteesisia koordinaatteja ja ne voidaan muuntaa napakoordinaateiksi : $x$ $y$ $r$

r^{2}=y^{2}+x^{2}

( Pythagoraan lauseen mukaan ).

Kulmakoordinaatin määrittämiseksi on otettava huomioon seuraavat kaksi seikkaa: $\varphi$

Sillä , voi olla mielivaltainen reaaliluku. ${r\equiv 0}$ $\varphi$
Jotta saat yksilöllisen arvon , sinun tulee rajoittaa itsesi väliin . Valitse yleensä intervalli tai . $r\neq 0$ $\varphi$ $2\pi$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Laskeaksesi välissä voit käyttää seuraavia yhtälöitä ( tarkoittaa tangentin käänteisfunktiota): $\varphi$ $[0,\;2\pi )$ $\mathrm{arctg}$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x)),&x>0,y\geq 0\\\operaattorinimi {arctg} ({\frac { y }{x)))+2\pi ,&x>0,y<0\\\operaattorinimi {arctg} ({\frac {y}{x)))+\pi ,&x<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end { tapaukset}}

Laskeaksesi välissä voit käyttää seuraavia yhtälöitä: [13] $\varphi$ $(-\pi ,\;\pi ]$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x))),&x>0\\\operaattorin nimi {arctg} ({\frac {y}{x} })+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operaattorinimi {arctg} ({\frac {y}{x)))-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{ tapaukset}}

Ottaen huomioon, että napakulman laskemiseen ei riitä, että tiedetään suhdetta numeroon , vaan tarvitaan myös yhden näistä luvuista etumerkit, monilla nykyaikaisilla ohjelmointikielillä on toimintojensa joukossa sen funktion lisäksi, joka määrää luvun arctangentti , myös lisäfunktio , jolla on erilliset argumentit osoittajalle ja nimittäjälle . Ohjelmointikielissä, jotka tukevat valinnaisia argumentteja (kuten Common Lisp ), funktio voi ottaa koordinaattiarvon . Voidaan kuitenkin huomata, että karteesisten koordinaattien etumerkeistä riippumatta kulman osittaiset derivaatat niihin nähden lasketaan melko yksinkertaisesti, minkä ansiosta saamme käteviä Jacobi-matriiseja: $y$ $x$ atanatan2atan $x$

$J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{ \partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi ))\\{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y}{\partial \ varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-r\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&r\cos(\varphi )\end{vmatrix }}.$

$J^{-1}=\det {\frac {\partial (r,\;\varphi )}{\partial (x,\;y)))={\begin{vmatrix}{\dfrac { \partial r}{\partial x))&{\dfrac {\partial r}{\partial y))\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x))&{\dfrac {\partial \ varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{r}}\sin( \varphi )&{\dfrac {1}{r}}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}.$

Käyrien yhtälö napakoordinaateissa

Napakoordinaattijärjestelmän säteittäisestä luonteesta johtuen jotkin käyrät voidaan kuvata yksinkertaisesti napayhtälöllä, kun taas yhtälö suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä olisi paljon monimutkaisempi. Tunnetuimpia käyriä ovat naparuusu , Arkhimedeen spiraali , Lemniskaatti , Pascalin etana ja kardioidi .

Ympyrä

Yleinen yhtälö ympyrästä, jonka keskipiste on ( ) ja säde on: $r_{0},\;\theta$ $a$

r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.

Tätä yhtälöä voidaan yksinkertaistaa esimerkiksi erikoistapauksia varten

r(\varphi )=a

on yhtälö, joka määrittää ympyrän, jonka keskipiste on napa ja jonka säde on [14] . $a$

Suora

Säteittäiset viivat (ne, jotka kulkevat navan läpi) määritellään yhtälöllä

\varphi=\theta

missä on kulma, jolla suora poikkeaa napa-akselista, eli , missä on suoran kaltevuus suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäinen suora, joka leikkaa kohtisuoraan säteittäisen suoran pisteessä , saadaan yhtälöllä $\theta$ $\theta ={\mathrm {arctg}}\,m$ $m$ $\varphi=\theta$ $(r_{0},\;\theta )$

r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).

Polar Rose

Polarruusu on hyvin tunnettu matemaattinen käyrä , joka näyttää kukalta, jossa on terälehtiä. Se voidaan määrittää yksinkertaisella yhtälöllä napakoordinaateissa:

r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})

mielivaltaiselle vakiolle (mukaan lukien 0). Jos on kokonaisluku, tämä yhtälö määrittää ruusun, jonka terälehdet on pariton , tai joiden terälehdet on parillinen . Jos on rationaalinen, mutta ei kokonaisluku, yhtälön antama kuvaaja muodostaa ruusun kaltaisen muodon, mutta terälehdet menevät päällekkäin. Jos - irrationaalinen, niin ruusu koostuu äärettömästä määrästä osittain päällekkäisiä terälehtiä. Ruusuja, joissa on 2, 6, 10, 14 jne. terälehtiä, ei voida määrittää tällä yhtälöllä. Muuttuja määrittää terälehtien pituuden. $\theta _{0}$ $k$ $k$ $k$ $2k$ $k$ $k$ $k$ $a$

Jos oletetaan, että säde ei voi olla negatiivinen, niin mille tahansa luonnolliselle saamme -terälehtiruusun. Joten yhtälö määrittelee ruusun, jossa on kaksi terälehteä. Geometrialta katsottuna säde on etäisyys navasta pisteeseen eikä se voi olla negatiivinen. $k$ $k$ $r(\varphi )=\cos(2\varphi )$

Archimedesin spiraali

Archimedean spiraali on nimetty sen keksijän, antiikin kreikkalaisen matemaatikon Archimedesin mukaan . Tämä spiraali voidaan määrittää käyttämällä yksinkertaista napayhtälöä:

r(\varphi )=a+b\varphi .

Muutokset parametrissa johtavat kierteen pyörimiseen ja parametrin muutos johtaa kierrosten väliseen etäisyyteen, joka on vakio tietylle kierteelle. Arkhimedes-spiraalissa on kaksi haaraa, toinen :lle ja toinen . Kaksi haaraa yhdistyvät tasaisesti pylväässä. Yhden haaran peilaus suhteessa 90°/270° kulman läpi kulkevaan suoraan viivaan tuottaa toisen haaran. Tämä käyrä on mielenkiintoinen, koska se oli yksi ensimmäisistä kuvatuista matemaattisessa kirjallisuudessa kartioleikkauksen jälkeen , ja on muita parempia, että se määritetään napayhtälön avulla. $a$ $b$ $\varphi > 0$ $\varphi<0$

Kartioprofiilit

Kartioleikkaus, jossa yksi polttopiste on navassa ja toinen jossain napa-akselilla (niin, että puolipääakseli on napa-akselilla), saadaan seuraavasti:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

missä on epäkeskisyys ja polttoparametri. Jos , Tämä yhtälö määrittelee hyperbelin; jos , niin paraabeli; jos , niin ellipsi. Erikoistapaus on , joka määrittelee ympyrän säteellä . $e$ $\ell$ $e>1$ $e=1$ $e<1$ $e=0$ $\ell$

Kompleksiluvut

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää pisteellä kompleksitasolla, ja vastaavasti tämä piste voidaan määrittää suorakulmaisina koordinaateina (suorakulmainen tai karteesinen muoto) tai napakoordinaateina (napainen muoto). Kompleksiluku voidaan kirjoittaa suorakaiteen muotoon seuraavasti: $z$

z=x+iy

missä on imaginaariyksikkö tai polaarinen (katso koordinaattijärjestelmien välisen muuntamisen kaavat yllä): $i$

z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)

ja täältä:

z=re^{i\varphi }

missä on Eulerin luku . Eulerin kaavan ansiosta molemmat esitykset ovat samanarvoisia [15] (Tässä kaavassa, kuten muissa kulmien eksponentioinnilla sisältävissä kaavoissa, kulma on annettu radiaaneina) $e$ $\varphi$

Vaihtaaksesi kompleksilukujen suorakulmaisen ja polaarisen esityksen välillä voidaan käyttää yllä olevia koordinaattijärjestelmien välisiä muunnoskaavoja.

Kerto-, jakolasku- ja eksponentiointi kompleksiluvuilla on yleensä helpompi tehdä polaarisessa muodossa. Eksponentioinnin sääntöjen mukaan:

Kertominen:

r_{0}e^{{i\varphi _{0}}}\cdot r_{1}e^{{i\varphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i (\varphi _{0}+\varphi _{1})}}.

Jaosto:

{\frac {r_{0}e^{{i\varphi _{0)))){r_{1}e^{{i\varphi _{1))))}={\frac {r_{0 }}{r_{1}}}e^{{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}.

Eksponentti ( De Moivren kaava ):

(re^{{i\varphi }})^{n}=r^{n}e^{{in\varphi }}.

Matemaattisessa analyysissä

Matemaattisen analyysin operaatiot voidaan muotoilla myös polaaristen koordinaattien avulla [16] [17] .

Differentiaalilaskenta

Seuraavat kaavat ovat voimassa:

r{\frac {\partial }{\partial r))=x{\frac {\partial }{\partial x))+y{\frac {\partial }{\partial y)),

{\frac {\partial }{\partial \varphi ))=-y{\frac {\partial }{\partial x))+x{\frac {\partial }{\partial y)).

Löytääksemme napakäyrän minkä tahansa pisteen tangentin kulmakertoimen tangentin suorakulmaisina koordinaatteina ilmaisemme ne yhtälöjärjestelmän kautta parametrisessa muodossa: $r(\varphi)$

x=r(\varphi )\cos \varphi,

y=r(\varphi )\sin \varphi .

Erottamalla molemmat yhtälöt suhteessa saamme: $\varphi$

{\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,

{\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .

Jakamalla nämä yhtälöt (toinen ensimmäisellä), saamme halutun tangentin tangentin kulmakertoimen suorakulmaisessa koordinaatistossa pisteessä : $(r,\;r(\varphi ))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r( \varphi )\sin \varphi }}.

Integraalilaskenta

Antaa olla alueen muodostama napakäyrä ja säteet ja , Jossa . Sitten tämän alueen pinta-ala on selvä integraali : $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$ $0<ba<2\pi$

{\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Tällainen tulos voidaan saada seuraavasti. Ensin jaamme välin mielivaltaiseen määrään osaväliä . Siten tällaisen osavälin pituus (välin kokonaispituus) jaettuna (osavälien lukumäärällä). Olkoon kunkin osavälin keskipiste. Muodostetaan sektoreita, joiden keskipiste on navassa, säteet , keskikulmat ja kaaren pituus . Siksi kunkin tällaisen sektorin pinta-ala on . Kaikkien sektoreiden kokonaispinta-ala siis: $[a,\;b]$ $n$ $\Delta \varphi$ $ba$ $n$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $\varphi _{i}$ $r(\varphi _{i})$ $\Delta \varphi$ $r(\varphi _{i})\Delta \varphi$ ${\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi$

\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .

Jos osavälien määrää lisätään, niin tällaisen likimääräisen lausekkeen virhe pienenee. Asettamalla , tuloksena olevasta summasta tulee integraali. Tämän summan raja määräytyy yllä kuvatun integraalin avulla: $n$ $n\to\infty$ $\Delta \varphi \to 0$

\lim _{{\Delta \varphi \to 0}}\sum _{{i=1}}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{ 2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Yleistys

Karteesisten koordinaattien avulla äärettömän pienen elementin pinta-ala voidaan laskea muodossa . Kun vaihdetaan toiseen koordinaattijärjestelmään useissa integraaleissa, on käytettävä Jacobi-determinanttia : $dA=dx\,dy$

J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }} \end{vmatrix}}.

Polaariselle koordinaattijärjestelmälle Jacobi-matriisin determinantti on : $r$

J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.

Siksi elementin pinta-ala napakoordinaateissa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .

Nyt napakoordinaateilla kirjoitettu funktio voidaan integroida seuraavasti:

\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{{r(\varphi )} }f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

Tässä alue , kuten edellisessä osassa, on napakäyrän ja säteiden sekä . $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$

Edellisessä osassa kuvattu pinta-alan laskentakaava saadaan tapauksessa . Mielenkiintoinen tulos useiden integraalien kaavan soveltamisesta on Euler-Poisson-integraali : $f = 1$

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx={\sqrt \pi }.

Vektorianalyysi

Napakoordinaateille voidaan soveltaa vektorianalyysin elementtejä . Mikä tahansa vektorikenttä kaksiulotteisessa avaruudessa (tasossa) voidaan kirjoittaa napakoordinaattijärjestelmään käyttämällä yksikkövektoreita : $\mathbf {F}$

{\mathbf {e}}_{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )

suuntaan ja $\mathbf {r}$

{\mathbf {e))_{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );

{\mathbf {F}}=F_{r}{\mathbf {e}}_{r}+F_{\varphi }{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Yhteys kentän karteesisten komponenttien ja sen komponenttien välillä napakoordinaatistossa saadaan yhtälöistä: $F_{x}$ $F_{y}$

F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;

F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .

Tämän mukaisesti vektorianalyysioperaattorit määritellään napakoordinaatistossa. Esimerkiksi skalaarikentän gradientti kirjoitetaan: $\Phi (r,\;\varphi )$

{\mathrm {grad}}\,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}{\mathbf {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{ \frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Kaikki tämä toimii paitsi yksi singulaarinen piste - napa, jolle sitä ei ole määritelty, ja edellä kuvattua vektorikantaa ei voida rakentaa tällä tavalla tässä vaiheessa. Tämä on syytä muistaa, vaikka käytännössä polaaristen koordinaattien avulla tutkitut vektorikentät usein joko itsellään ovat tässä pisteessä singulaarisuus tai ovat siinä nolla, mikä hieman helpottaa asiaa. Lisäksi polaaristen koordinaattien käyttö ei millään tavalla vaikeuta mielivaltaisen vektorikentän ilmaisua mielivaltaisesti lähellä tätä pistettä. $\varphi$

3D-laajennus

Polaarinen koordinaattijärjestelmä laajenee kolmanteen ulottuvuuteen kahdella järjestelmällä: lieriömäisellä ja pallomaisella, jotka molemmat sisältävät kaksiulotteisen napakoordinaattijärjestelmän osajoukona. Pohjimmiltaan sylinterimäinen järjestelmä laajentaa napajärjestelmää lisäämällä yhden etäisyyskoordinaatin, kun taas pallomainen järjestelmä lisää toisen kulmakoordinaatin.

Sylinterimäiset koordinaatit

Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä, karkeasti sanottuna, laajentaa litteää napajärjestelmää lisäämällä kolmannen lineaarisen koordinaatin, jota kutsutaan "korkeudeksi" ja joka on yhtä suuri kuin nollatason yläpuolella olevan pisteen korkeus, samalla tavalla kuin karteesinen järjestelmä laajennetaan kolmen tason tapaukseen. mitat. Kolmas koordinaatti merkitään yleensä nimellä , joka muodostaa koordinaattikolmikon . $z$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Sylinterimäisten koordinaattien kolmikko voidaan muuntaa suorakulmaiseksi järjestelmäksi seuraavilla muunnoksilla:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases))

Pallokoordinaatit

Polaarisia koordinaatteja voidaan myös laajentaa kolmeen ulottuvuuteen lisäämällä kulmakoordinaatit , jotka ovat yhtä suuria kuin kiertokulma pystyakselista (kutsutaan zeniitiksi tai leveysasteeksi, arvot ovat välillä 0 - 180 °). Toisin sanoen pallomaiset koordinaatit ovat kolme , jossa on etäisyys koordinaattien keskustasta, on kulma akselista (kuten litteissä napakoordinaateissa), on leveysaste. Pallomainen koordinaattijärjestelmä on samanlainen kuin maantieteellinen koordinaattijärjestelmä, jolla määritetään paikka maan pinnalla, jossa origo on sama kuin maan keskipiste, leveysaste on komplementti ja yhtä suuri kuin , ja pituusaste lasketaan kaavalla [ 18] . $\theta$ $z$ $(r,\;\varphi,\;\theta)$ $r$ $\varphi$ $x$ $\theta$ $\delta$ $\theta$ $\delta =90^{\circ }-\theta$ $l$ $l=\varphi -180^{\circ }$

Pallokoordinaattien kolmoiskappale voidaan muuntaa suorakulmaiseksi järjestelmäksi seuraavilla muunnoksilla:

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Yleistys n mittaan

Napakoordinaattijärjestelmä voidaan laajentaa -ulotteisen avaruuden tapaukseen. Antaa , olla koordinaattivektorit -ulotteisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän. Vaaditut koordinaatit -ulotteisessa napajärjestelmässä voidaan syöttää vektorin poikkeamakulmaksi koordinaattiakselista . $n$ $x_{i}\in {\mathbb {R}}$ $i=1,\;\ldots ,\;n$ $n$ $n$ $x\in {\mathbb {R}}^{n}$ $x_{{i+2}}$

Muuntaaksesi yleistetyt -ulotteiset napakoordinaatit suorakulmaisiksi, voit käyttää seuraavia kaavoja: $n$

{\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3)) \sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3 }}\sin \vartheta _{{n-2}};\\\lpisteet &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{{n-1}}&=&r\cos \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{{n-2}}.\end{array}}

Kuten voidaan osoittaa, tapaus vastaa tavallista polaarikoordinaattijärjestelmää tasossa ja tavallista pallomaista koordinaattijärjestelmää. $n = 2$ $n = 3$

Jakobinen polaaristen koordinaattien muuntamiseksi suorakulmaisiksi koordinaatiksi saadaan seuraavasti:

\det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1}, \;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}

missä -ulotteinen tilavuuselementti on muodossa: $n$

dV=r^{{n-1}}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{{n-2}})^ {{n-2}}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{{n-2}}=

=r^{{n-1}}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{{j=1}}^{{n-2}}(\sin \vartheta _{j})^{ j}\,d\vartheta _{j}.

Sovellus

Polaarinen koordinaattijärjestelmä on kaksiulotteinen ja siksi sitä voidaan käyttää vain tapauksissa, joissa pisteen sijainti määräytyy tasossa, tai jos järjestelmän ominaisuudet ovat homogeenisiä kolmannessa ulottuvuudessa, esimerkiksi kun tarkastellaan virtausta pyöreässä putkessa. Paras konteksti napakoordinaattien käyttämiselle on tapaukset, jotka liittyvät läheisesti suuntaan ja etäisyyteen jostakin keskipisteestä. Esimerkiksi yllä olevat esimerkit osoittavat, että yksinkertaiset yhtälöt napakoordinaateissa ovat riittäviä määrittämään käyriä, kuten Arkhimedeen spiraali, jonka yhtälöt suorakulmaisissa koordinaateissa ovat paljon monimutkaisempia. Lisäksi monet fyysiset järjestelmät – ne sisältävät kappaleita, jotka liikkuvat keskuksen ympärillä tai jostain keskustasta eteneviä ilmiöitä – on paljon helpompi mallintaa napakoordinaateilla. Syynä napakoordinaattijärjestelmän luomiseen oli kiertoradan ja ympyräliikkeen tutkimus, myöhemmin kävi ilmi, että se on joskus erittäin kätevä ei-ympyräliikkeen tutkimiseen (katso Keplerin ongelma ).

Paikannus ja navigointi

Napakoordinaattijärjestelmää käytetään usein navigoinnissa , koska määränpääksi voidaan määrittää etäisyys ja kulkusuunta lähtöpisteestä. Esimerkiksi ilmailussa navigointiin käytetään hieman muokattua versiota napakoordinaateista. Tässä yleisesti navigointiin käytetyssä järjestelmässä 0° sädettä kutsutaan 360-suunnaksi ja kulmat mitataan myötäpäivään. Suunta 360 vastaa magneettista pohjoista ja suunnat 90, 180 ja 270 vastaavat magneettista itää, etelää ja länttä [19] . Siten lentokonetta , joka lentää 5 meripeninkulmaa itään, voidaan kuvata lentokoneeksi , joka lentää 5 yksikköä suuntaan 90 (tehtäväohjaus kutsuu sitä nin-zero-ksi) [20] .

Sovellukset fysiikassa

Säteittäissymmetriset järjestelmät soveltuvat erittäin hyvin kuvattavaksi säteittäisillä koordinaatteilla, joissa koordinaattijärjestelmän napa osuu symmetriakeskuksen kanssa. Esimerkkinä on pohjaveden virtausyhtälö säteittäisesti symmetristen kaivojen tapauksessa. Keskusvoimilla toimivat järjestelmät soveltuvat myös polaaristen koordinaattien mallintamiseen. Tällaisia järjestelmiä ovat painovoimakentät, jotka noudattavat käänteisneliöriippuvuuden lakia, ja yleensä keskusvoimat. Lisäksi napakoordinaatit tarjoavat merkittävää mukavuutta työskennellessään järjestelmien kanssa, joissa on piste- (tai suunnilleen piste) energialähteitä, kuten radioantennit - tutkittaessa niiden säteilyä suhteellisen suurilla etäisyyksillä antennista, äänen tai valon etenemistä - erityisesti (mutta ei välttämättä) pallomaisesti tai sylinterimäisesti symmetrinen. Tietyissä ongelmissa, mukaan lukien edellä mainitut, pallomaisten tai sylinterimäisten koordinaattien käyttö (jotka ovat luonnollisia näille ongelmille) rajoittuvat olennaisesti vain kaksiulotteisten napakoordinaattien käyttöön.

Napakoordinaatit sekä laskelmissa että niiden tulosten visualisoinnissa ovat varsin hyödyllisiä, ei vain tapauksissa, joissa tehtävän symmetria on yleensä lähellä aksiaalista tai pallomaista, vaan myös tapauksissa, joissa symmetria on selvästi kaukana sellaisesta, esim. laske kentän dipoli . Tässä tapauksessa napakoordinaattien käyttöä motivoi kenttälähteen pieni koko (dipolin varaukset sijaitsevat hyvin lähellä toisiaan), lisäksi jokaisen tällaisen varauksen kenttä ilmaistaan yksinkertaisesti napakoordinaateina, varsinkin jos asetat tangon johonkin näistä latauksista (toisen kenttä eroaa merkkiä lukuun ottamatta vain pienellä korjauksella).

Kvanttimekaniikassa ja kemiassa polaarisia koordinaatteja (monimutkaisemmissa tapauksissa pallokoordinaattien kanssa) käytetään kuvaamaan atomin elektronin aaltofunktion kulmariippuvuutta, myös laadullisen analyysin ja opetuksen selkeyden vuoksi.

Sovellukset, säteilykuviot

Polaarisia koordinaatteja käytetään eri sovellusalueilla sekä vastaavilla perusfysiikan alueilla käytettyjä tavoilla että itsenäisesti.

Kaiuttimien äänen 3D-mallinnusta voidaan käyttää niiden suorituskyvyn ennustamiseen. On tarpeen tehdä useita kaavioita napakoordinaateilla laajalle taajuusalueelle, koska etuosa vaihtelee merkittävästi äänen taajuuden mukaan. Napakaaviot auttavat sinua näkemään, että monet alas-säteilevät kaiuttimet menettävät suunnan. Kun kyseessä on säteilijä, jolla on tiukka aksiaalinen symmetria tai hieman siitä poikkeava, riittää, että käytetään ei pallomaisia, vaan tavallisia (kaksiulotteisia) napakoordinaatteja, koska kaikissa symmetria-akselin läpi kulkevissa tasoissa riippuvuus on sama tai melkein sama. Jos tällaista symmetriaa ei ole, niin pari (jokaiselle taajuudelle) kohtisuorassa tasossa olevaa napakaaviota elliptiselle tai suorakaiteen muotoiselle säteilijälle, joka on kytketty sen pääakseleihin, voi antaa jonkinlaisen käsityksen äänivirrasta eri suuntiin.

Napakoordinaateissa on myös tapana esittää mikrofonien suuntausominaisuutta , joka määräytyy herkkyyden suhteen, kun ääniaalto putoaa kulmassa suhteessa mikrofonin akustiseen akseliin sen aksiaaliseen herkkyyteen.

Periaatteessa napakaavioita voidaan käyttää edustamaan melkein mitä tahansa suhdetta. Mutta käytännössä tällainen esitystapa valitaan yleensä tapauksissa, joissa se riippuu todellisesta geometrisestä suunnasta (katso esim . Tuuliruusu , Sirontakaavio , heijastuneen valovirran riippuvuus kulmasta fotometriassa , antennien säteilykuvio , LEDit ja muut valonlähteet, valoanturit, akustiset järjestelmät jne.). Varsin yleistä on myös kohdata napakoordinaattien käyttöä tapauksissa, joissa jompikumpi muuttujista on luonteeltaan syklinen (napakoordinaateissa se on melko luonnollista esittää kulmana).

Myös kenttiä, jotka eivät suoraan liity fysiikkaan, voidaan soveltaa (tosin joskus enemmän tai vähemmän suoraa analogiaa voidaan jäljittää tässä suhteessa), esimerkiksi tuuliruusun kaltaisia napakaavioita voidaan käyttää esimerkiksi eläinten suuntien tutkimiseen. muuttoliikkeet. Tällainen käyttö on varsin kätevää ja visuaalista.

Katso myös

Alkeismatematiikan koordinaattijärjestelmät

Muistiinpanot

↑ 1 2 Brown, Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus diskreetin matematiikan ja data-analyysin kanssa / Andrew M. Gleason. Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. - ISBN 0-395-77114-5 .
↑ Ystävällinen Michael virstanpylväitä temaattisen kartografian, tilastollisen grafiikan ja datan visualisoinnin historiassa (linkki ei ole käytettävissä) . Haettu 10. syyskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 26. huhtikuuta 2001. (määrätön)
↑ T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine , Elsevier , s. 169, ISBN 0444503285
↑ David A. King (1996), "Astronomy and Islamic Society: Qibla, gnomics and timekeeping", julkaisussa Roshdi Rashed (toim.), Encyclopedia of the History of Arabic Science , Voi. 1, s. 128-184 [153], Routledge, Lontoo ja New York
↑ 1 2 Coolidge, Julian Napakoordinaattien alkuperä (englanniksi) // American Mathematical Monthly : Journal. - 1952. - Voi. 59 . - s. 78-85 . - doi : 10.2307/2307104 .
↑ Boyer, C. B. Newton napakoordinaattien alkuunpanijana // American Mathematical Monthly : Journal . - 1949. - Voi. 56 . - s. 73-78 . - doi : 10.2307/2306162 .
↑ Miller, Jeff Joidenkin matematiikan sanojen varhaisimmat tunnetut käyttötavat . Haettu 10. syyskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2012. (määrätön)
↑ Smith, David Eugene. Matematiikan historia, osa II (määrätön) . - Boston: Ginn and Co., 1925. - s. 324.
↑ Napakoordinaatit ja grafiikka (PDF) (linkki ei saatavilla) ( 2006-04-13 ). Käyttöpäivä: 22. syyskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2012. (määrätön)
↑ Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar. Precalculus: Yksikköympyrän trigonometrialla . – Neljäs painos. — Thomson Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0534402305 .
↑ Stewart, Ian; David Tall. Monimutkainen analyysi (Lifthiker's Guide to the Plane ) . - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 0521287634 .
↑ Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. Fysiikan periaatteet (määrittelemätön) . — Brooks/Cole—Thomson Learning, 2005. — ISBN 0-534-49143-X .
↑ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence. Opiskelijan Johdatus Mathematicaan® . - Cambridge University Press , 1999. - ISBN 0521594618 .
↑ Claeys, Johan Napakoordinaatit (linkki ei saatavilla) . Haettu 25. toukokuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2012. (määrätön)
↑ Smith, Julius O. Eulerin identiteetti // Diskreetin Fourier-muunnoksen (DFT ) matematiikka . - W3K Publishing, 2003. - ISBN 0-9745607-0-7 .
↑ Husch, Lawrence S. Napakäyrien rajaamat alueet (linkki ei saatavilla) . Haettu 25. marraskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 11. lokakuuta 2014. (määrätön)
↑ Lawrence S. Husch. Tangenttiviivat napakaavioihin (linkki ei saatavilla) . Haettu 25. marraskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 2. heinäkuuta 2015. (määrätön)
↑ Wattenberg, Frank Spherical Coordinates (linkki ei saatavilla) (1997). Haettu 16. syyskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2012. (määrätön)
↑ Santhi, Sumrit Aircraft Navigation System (linkki ei saatavilla) . Haettu 26. marraskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2012. (määrätön)
↑ Hätätoimenpiteet (PDF). Käyttöpäivä: 15. tammikuuta 2007. Arkistoitu alkuperäisestä 15. helmikuuta 2012. (määrätön)

Kirjallisuus

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Koordinaattimenetelmä. (pääsemätön linkki) Viides painos, stereotyyppinen. Sarja: Fysiikan ja matematiikan koulun kirjasto. Matematiikka. Numero 1. M.: Nauka, 1973, s. 47-50.

Linkit

Ohjelmat kaavioiden piirtämiseen Curlie Link Directoryssa (dmoz)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Britannica (verkossa) Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4323692-3

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori