Summa (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Summa ( lat. summa - yhteensä, yhteensä) matematiikassa - tulos suureiden ( luvut , funktiot , vektorit , matriisit jne. ) yhteenlaskuoperaation soveltamisesta tai useiden yhteenlaskuoperaatioiden peräkkäisen suorittamisen tulos . Kaikille tapauksille yhteisiä ovat kommutatiivisuuden , assosiatiivisuuden ja myös distributiivisuuden ominaisuudet kertolaskussa (jos kertolasku on määritelty tarkasteltaville suureille), eli suhteiden täyttyminen:

a+b=b+a,

{\näyttötyyli a+(b+c)=(a+b)+c,}

{\näyttötyyli (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,}

c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b,

Joukkoteoriassa joukkojen summa (tai liitto) on joukko, jonka alkiot ovat kaikki yhdistettyjen joukkojen alkioita otettuna ilman toistoa.

Myös yhteenlasku (summan löytäminen) voidaan määritellä monimutkaisemmille algebrallisille rakenteille ( ryhmien summa , lineaariavaruuksien summa , ideaalien summa ja muita esimerkkejä). Kategoriateoriassa objektien summan käsite on määritelty .

Luonnollisten lukujen summa

Olkoon joukko sisältää elementtejä, jotka muodostavat osajoukon , ja alkioita, jotka muodostavat osajoukon ( , a ja b ovat luonnollisia lukuja). Tällöin aritmeettinen summa on niiden alkioiden lukumäärä, jotka muodostavat kahden alkuperäisen osajoukon disjunktiiviliitolla saadun osajoukon $\mathbb {N}$ $a$ $A$ $b$ $B$ $A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N}$ $a+b$ $c$ $C\subset \mathbb {N}$ $C=A\sqcup B.$

Algebrallinen summa

Summaa merkitään matemaattisesti isolla kreikkalaisella kirjaimella Σ (sigma) .

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n- 1}+a_{n}

jossa: i — summaindeksi; a i on muuttuja, joka merkitsee sarjan jokaista jäsentä; m on summauksen alaraja, n on summauksen yläraja. Merkintä "i = m" summaussymbolin alla tarkoittaa, että indeksin i alkuarvo (alku) vastaa m :ää . Tästä merkinnästä seuraa, että indeksi i kasvaa 1:llä lausekkeen jokaisessa termissä ja pysähtyy, kun i = n . [yksi]

Ohjelmoinnissa tämä menettely vastaa for - silmukkaa .

Tallennusesimerkkejä

\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86

Rajat voidaan jättää pois merkinnästä, jos ne ovat selkeitä asiayhteydestä:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.

Iteraattori voi olla lauseke - silloin muuttuja muotoillaan hakasulkeilla funktiona " ". Esimerkiksi kaikkien luonnollisten lukujen summa tietyllä alueella : $f()$ $f(k)$ $k$

\sum _{0\leq k<100}f(k).

Joukon elementtien summa : $f(x)$ $x$ $S$

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x).

Kaikkien positiivisten lukujen summa , jotka ovat luvun jakajia : $\mu (d)$ $d$ $n$

\sum _{d|n}\;\mu (d).

Iteratiivisen summausmerkin alla voidaan käyttää useita indeksejä, esimerkiksi:

\sum _{i,j}=\sum _{i}\sum _{j},

lisäksi useiden indeksien joukko voidaan pienentää ns. multi -indeksin muodossa .

Ääretön määrä

Matemaattisessa analyysissä sarjan käsite määritellään - äärettömän määrän termejä summa.

Esimerkkejä peräkkäisistä summista

1. Aritmeettisen progression summa :

\sum _{{i=0}}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Geometrisen progression summa :

\sum _{{i=0}}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{{n+1}}}{1 -b}}

3. $\sum \limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=\vasen[{\frac {n(n+1)}{2}}\oikea]^{2}=\vasen (\sum \limits _{{k=1}}^{n}k\oikea)^{2}$

neljä. $\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\ vasen(1-{\frac {1}{p^{{n+1))))\oikea),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Todiste

\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{{i=0}}^{n }{1\cdot {{\frac {1}{p^{i))))}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p))\right)} ^{{n+1}}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {{\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{ n+1}}}}}{{\frac {p-1}{p}}}}={\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1 )}}={\frac {p}{p-1}}\vasen(1-{\frac {1}{p^{{n+1}}}}\oikea)

5. $\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p }{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Todiste

\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}=\sum _{{i=1}}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{{i= 1}}^{n}ip^{{i-1}}=p\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}(i+1)p^{i}=p \cdot \left(\sum _{{i=0}}^{{n-1}}{ip^{i}}+\sum _{{i=0}}^{{n-1}}p ^{i}\right)=p\cdot \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p ^{n}}{1-p}}\Nuoli oikealle

\Rightarrow (1-p)\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{{n+1}}(1-p)+pp^{ {n+1}}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}

6. $\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{ i})+n+1,\quad p\neq 1$

Todiste

(p-1)\summa _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\summa _{{i= 0}}^{n}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{{i=0}}^{n}p^{ i}-\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}\right)+n+1=

=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{{n+1}}}{1-p}}-{\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}\oikea)+n+1=

={\frac {np^{{n+2}}-np-np^{{n+1}}+n-np^{{n+2}}+np^{{n+1}}+p ^{{n+1}}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

={\frac {p^{{n+1}}-1}{p-1}}=\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}

Esimerkiksi, kun käy ilmi , ja tämä on seuraavan muodon yhtäläisten sarja:

p=10

\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)10^{i} )+n+1

1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234 +5

Määrittämätön määrä

Epämääräinen summa over on sellainen funktio , jota merkitään , että . $a_{i}$ $i$ $f(i)$ $\sum _{{i}}^{{}}a_{i}$ $\kaikki i: f(i+1) - f(i) = a_{i}$

"Diskreetti" Newton-Leibnizin kaava

Jos "johdannainen" löytyy , niin . $a_{i}=f(i+1)-f(i)$ $\sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)$

Etymologia

Latinalainen sana summa on käännetty "pääkohta", "olemus", "kokonaisuus". 1400-luvulta lähtien sanaa aletaan käyttää nykyisessä merkityksessä, ja myös verbi "summaa" ilmestyy (1489).

Tämä sana on tunkeutunut moniin nykyaikaisiin kieliin: sum venäjäksi, sum englanniksi, somme ranskaksi.

Summaa osoittavan erikoissymbolin ( Σ ) otti ensimmäisen kerran käyttöön Leonhard Euler vuonna 1755, sitä tuki Lagrange , mutta pitkään merkki S kilpaili tämän tunnuksen kanssa. Summan nimitys Σ hyväksyttiin lopulta jo 1700-luvulla Fourier ja Jacobi [2] .

Koodaus

Unicodessa on summasymboli U+2211 ∑ n-aarinen summaus (HTML ∑ • ∑).

Katso myös

Lisäys
Työ

Muistiinpanot

↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Luku 2: Summat // Konkreettinen matematiikka: Tietojenkäsittelytieteen säätiö (2. painos ) . - Addison-Wesley Professional , 1994. - ISBN 978-0201558029 . (linkki ei saatavilla)
↑ Alexandrova N. V. Matemaattisten termien, käsitteiden, merkinnän historia: Sanakirja-viitekirja . - 3. painos - Pietari. : LKI, 2008. - S. 175 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Kirjallisuus

Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. -7. - M .: Nauka, 1969. - T. 1. - 608 s. - 100 000 kappaletta.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4193845-8