Erillinen liitto

Disjoint union (myös disjoint union tai disjoint summa ) on joukkojen teoriassa modifioitu joukkoliitosoperaatio , joka epävirallisesti koostuu joukkojen hajautettujen "kopioiden" liittämisestä. Erityisesti kahden äärellisen joukon , jotka koostuvat ja alkioista, disjunktoitu liitto sisältää täsmälleen alkioita, vaikka joukot itse leikkaavatkin. $a$ $b$ $a+b$

Määritelmä

Antaa olla perhe joukkoja lueteltu indeksien mukaan . Sitten tämän perheen hajanainen liitto on asetettu $\{A_i | minä \minässä\}$ $minä$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}

Disjunktiliiton elementit ovat järjestettyjä pareiksi . Siten on olemassa indeksi, joka osoittaa, mistä joukosta elementti tuli liittoon. Jokainen joukko on kanonisesti upotettu disjunktiiviliiton joukkona $(x, i)$ $i$ $A_{i}$ $A_{i}$

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

Joukoille ja niillä ei ole yhteisiä elementtejä, vaikka . Degeneroituneessa tapauksessa, kun joukot ovat yhtä suuria kuin jokin tietty , disjunktiliitto on joukon ja joukon karteesinen tulo , eli $\kaikki i, j \in I: i \neq j$ $A_i^*$ $A_j^*$ $A_i \cap A_j \neq \varnothing$ $A_i \forall i \in I$ $A$ $A$ $minä$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.

Käyttö

Joskus näet merkinnän kahden joukon epäyhtenäisestä liitosta tai seuraavan joukon perheelle: $A+B$

\sum_{i\in I}A_i.

Tämä merkintä viittaa siihen , että disjunktiiviliiton kardinaliteetti on yhtä suuri kuin perheen joukkojen kardinaliteettien summa . Vertailun vuoksi karteesisen tulon teho on yhtä suuri kuin potenssien tulo.

Joukkoluokassa hajaliitto on suora summa . Termiä epäsuhtainen liitto käytetään myös pareittain hajautettujen joukkojen perheen liitosta. Tässä tapauksessa disjoint-liittoa kutsutaan tavalliseksi joukkojen liitoksi , joka on sen kanssa sama. Tämä merkintä löytyy usein tietojenkäsittelytieteestä . Muodollisemmin, jos on joukko sarjoja, niin $C$

\bigcup_{A \in C} A

on hajanainen liitto edellä mainitussa merkityksessä, jos ja vain jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy: $A$ $B$ $C$

A \neq B \implikoi A \cap B = \varnothing.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jos kaikki disjunktiliiton joukot on varustettu topologialla, topologisten avaruuksien (eli topologialla varustetuilla joukoilla) itsellään on luonnollinen topologia - vahvin topologia siten, että jokainen sisällytys on jatkuva kartta . Tämän topologian kanssa tehtyä hajayhdistystä kutsutaan topologisten avaruuksien hajaliitoksi.

Katso myös

Kirjallisuus

Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. Yleinen topologia. - M . : Korkeakoulu, 1979. - S. 132.
Spanier E. Algebrallinen topologia . - M .: Mir, 1971. - S. 9 .
Melnikov O. V. et al. Yleinen algebra: 2 osassa T. 1. - M. : Nauka, 1990. - P. 13. - ISBN 5020144266 .