Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä

Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä on kolmiulotteinen koordinaattijärjestelmä , joka on polaarikoordinaattijärjestelmän jatke lisäämällä kolmas koordinaatti (yleensä merkitty merkillä ), joka määrittää tason yläpuolella olevan pisteen korkeuden. $z$

Piste annetaan muodossa . Suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän suhteen : $P$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

$\rho \geqslant 0$ on etäisyys kohteesta kohteeseen , pisteen ortogonaalinen projektio tasolle . Tai sama kuin etäisyys akselista . $O$ $P'$ $P$ $XY$ $P$ $Z$
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ on akselin ja segmentin välinen kulma . $X$ $OP'$
$z$ on yhtä suuri kuin pisteen soveltaminen . $P$

Käytettäessä fysikaalisissa tieteissä ja tekniikassa kansainvälinen standardi ISO 31-11 suosittelee merkinnän käyttöä . $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Sylinterimäiset koordinaatit ovat käteviä analysoitaessa pintoja, jotka ovat symmetrisiä jonkin akselin suhteen, jos akseli otetaan symmetria-akseliksi. Esimerkiksi äärettömän pitkällä pyöreällä sylinterillä (sylinterimäisellä pinnalla) suorakulmaisissa koordinaateissa on yhtälö , ja lieriömäisissä koordinaateissa sillä on hyvin yksinkertainen yhtälö . Tästä tulee nimi "sylinterinen" tälle koordinaattijärjestelmälle. $Z$ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ $\rho=c$

Siirtyminen muihin koordinaattijärjestelmiin

Koska lieriömäinen koordinaattijärjestelmä on vain yksi monista kolmiulotteisista koordinaattijärjestelmistä, lieriömäisen koordinaattijärjestelmän ja muiden järjestelmien välisten koordinaattien muuntamiseksi on olemassa lakeja.

Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä

Sylinterimäisen koordinaattijärjestelmän ortit liittyvät karteesisiin ortteihin seuraavilla suhteilla:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_ {y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}$

ja muodosta oikea kolmio:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\ {\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{ \varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}$

Käänteiset suhteet ovat muotoa:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_ {\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\ varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}$

Laki koordinaattien muuntamisesta sylinterimäisestä suorakulmaiseksi:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases))

Laki koordinaattien muuntamisesta karteesisista sylinterimäisiksi:

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi ={\mathrm {arctg}}\left({\dfrac {y}{x }}\oikea),\\z=z.\end{cases}}

Jacobian on:

J=\rho.

Erotusominaisuudet

Sylinterimäiset koordinaatit ovat ortogonaalisia, joten metrisen tensorin muoto on diagonaalinen:

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{{ij}}={\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Käyrän pituuden differentiaalineliö

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Lame-kertoimien muoto on:

H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.

Christoffel-symbolit : ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\))$

\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\ rho }}.

Loput ovat nollia.

Differentiaalioperaattorit

Gradientti sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä:

{\mathrm {grad}}\,\psi ={\vec e}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec e}_{\varphi }{ \frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec e}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z} }.

Divergentti sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä:

{\mathrm {div}}\,{\vec a}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\ frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.

Roottori sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä:

{\mathrm {rot}}\,{\vec a}={\mathrm {det}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{\rho }& {\vec e}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\ frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{ pmatrix}}={\vec e}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec e}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}} -{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec e}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac { \partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right ).

Sädevektorin , nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeet sylinterimäisinä koordinaatteina

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\piste {r}}(t)={\piste {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\piste {\varphi }}{\vec {e ))_{\varphi }+{\piste {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\piste {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\piste {\rho }}{\piste {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z }}{\vec {e}}_{z}$

Katso myös

Kirjallisuus

Khalilov V.R., Chizhov G.A., Klassisten järjestelmien dynamiikka: Proc. korvaus. - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1993. - 352 s.

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori