De Moivren kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

De Moivren kaava kompleksiluvuille väittää, että $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )

[yksi]

mille tahansa . $n\in \mathbb {N}$

Historiallisesti De Moivren kaava todistettiin aikaisemmin kuin Eulerin kaava :

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

siitä kuitenkin seuraa välittömästi.

Sovellus

Samanlaista kaavaa voidaan soveltaa myös nollasta poikkeavan kompleksiluvun n: nnen juuren laskemiseen:

z^{1/n}={\big [}r{\iso (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big ) }{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n))+i\sin {\frac {\ varphi +2\pi k}{n}}\oikea),

missä . $k=0,1,\dots ,n-1$

Tästä kaavasta seuraa, että nollasta poikkeavan kompleksiluvun th juuret ovat aina olemassa ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin . Kompleksisella tasolla, kuten samasta kaavasta voidaan nähdä, kaikki nämä juuret ovat säännöllisen n - kulman kärkipisteitä, jotka on piirretty sädeympyrään, jonka keskipiste on nolla. $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

Moivren kaavasta voit johtaa trigonometristen funktioiden arvot useille argumenteille (esimerkiksi kaksois-, kolmois- jne. kulmien sini ja kosini). $r=1$

Historia

Löysi englantilainen matemaatikko Abraham de Moivre .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ § 3. Kompleksiluvun nostaminen potenssiksi ja juuren erottaminen kompleksiluvusta . scask.ru . Haettu: 27.3.2022. (määrätön)