Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. tammikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä ( lineaarinen järjestelmä , käytetään myös lyhenteitä SLAE , SLUE ) on yhtälöjärjestelmä , jossa jokainen yhtälö on ensimmäisen asteen lineaarialgebrallinen yhtälö .

Klassisessa versiossa muuttujien, vapaiden termien ja tuntemattomien kertoimia pidetään reaalilukuina , mutta kaikki menetelmät ja tulokset säilytetään (tai luonnollisesti yleistetään) minkä tahansa kentän tapaukselle , esimerkiksi kompleksiluvuille .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaiseminen on yksi lineaarisen algebran klassisista ongelmista , joka määritti suurelta osin sen kohteet ja menetelmät. Lisäksi lineaarisilla algebrallisilla yhtälöillä ja niiden ratkaisumenetelmillä on tärkeä rooli monilla sovelletuilla aloilla, mukaan lukien lineaarinen ohjelmointi , ekonometria .

Voidaan yleistää tapaukseen, jossa on ääretön joukko tuntemattomia .

Yleissopimukset ja määritelmät

Yleiskuva lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmästä:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_ {1}+a_{22}x_{2}+\pisteet +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\pisteet \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{ 2}+\pisteet +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

Tässä on yhtälöiden lukumäärä ja muuttujien lukumäärä, ovat määritettävät tuntemattomat, kertoimet ja vapaat termit oletetaan tunnetuiksi. Kertoimien indeksit lineaarisissa yhtälöjärjestelmissä ( ) muodostetaan seuraavan sopimuksen mukaisesti: ensimmäinen indeksi ( ) ilmaisee yhtälön numeroa, toinen ( ) on sen muuttujan numero, jolla tämä kerroin on [1] . $m$ $n$ $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$ ${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m))$ $a_{{ij}}$ $i$ $j$

Järjestelmää kutsutaan homogeeniseksi , jos sen kaikki vapaat jäsenet ovat nolla ( ), muuten se on heterogeeninen . $b_{1}=b_{2}=\dots =b_{m}=0$

Neliöllinen lineaariyhtälöjärjestelmä on järjestelmä, jossa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä (). Järjestelmä, jossa tuntemattomien lukumäärä on suurempi kuin yhtälöiden lukumäärä, on alimääräinen , tällaisia lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiä kutsutaan myös suorakaiteen muotoisiksi . Jos yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia, järjestelmä on ylimäärätty . $m = n$

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisu on joukko lukuja , joiden vastaava korvaaminen järjestelmän sijaan muuttaa sen kaikki yhtälöt identiteeteiksi . $n$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n))$ $x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}$

Järjestelmää kutsutaan yhteensopivaksi , jos sillä on vähintään yksi ratkaisu, ja epäjohdonmukaiseksi, jos sillä ei ole ratkaisuja. Ratkaisuja pidetään erilaisina, jos vähintään yksi muuttujien arvoista ei täsmää. Yhteistä järjestelmää, jossa on yksi ratkaisu, kutsutaan määrätyksi , jos ratkaisuja on useampi kuin yksi alimäärätty .

Matriisimuoto

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä voidaan esittää matriisimuodossa seuraavasti:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

tai:

kirves = b

Tässä on järjestelmän matriisi, tuntemattomien sarake ja vapaiden termien sarake. Jos oikealla olevaan matriisiin on määritetty vapaiden termien sarake, tuloksena olevaa matriisia kutsutaan laajennetuksi. $A$ $x$ $b$ $A$

Kronecker-Capellin lause asettaa välttämättömän ja riittävän ehdon lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuudelle matriisiesitysten ominaisuuksien kautta: järjestelmä on johdonmukainen silloin ja vain, jos sen matriisin järjestys on sama kuin laajennetun matriisin järjestys.

Vastaavat lineaariyhtälöjärjestelmät

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä kutsutaan ekvivalenteiksi , jos niiden ratkaisujoukko on sama, eli mikä tahansa ratkaisu yhdelle järjestelmälle on myös ratkaisu toiselle ja päinvastoin. Oletetaan myös, että järjestelmät ilman ratkaisuja ovat vastaavia.

Tiettyä järjestelmää vastaava järjestelmä voidaan saada erityisesti korvaamalla yksi yhtälöistä tällä yhtälöllä kerrottuna millä tahansa nollasta poikkeavalla luvulla. Vastaava järjestelmä voidaan saada myös korvaamalla yksi yhtälö tämän yhtälön summalla järjestelmän toisella yhtälöllä. Yleensä järjestelmän yhtälön korvaaminen lineaarisella yhtälöyhdistelmällä antaa järjestelmän, joka vastaa alkuperäistä.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä vastaa järjestelmää , jossa on ei- singulaarinen matriisi . Erityisesti, jos matriisi itse on ei-singulaarinen ja sille on olemassa käänteimatriisi , yhtälöjärjestelmän ratkaisu voidaan kirjoittaa muodollisesti muodossa . $A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$ $C$ $A$ $A^{-1}$ $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$

Ratkaisumenetelmät

Suorat menetelmät antavat algoritmin, jolla voidaan löytää tarkka ratkaisu lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmille. Iteratiiviset menetelmät perustuvat iteratiivisen prosessin käyttöön ja mahdollistavat ratkaisun saamisen peräkkäisten approksimaatioiden tuloksena.

Jotkut suorat menetelmät:

Gaussin menetelmä
Gauss-Jordan menetelmä
Cramer menetelmä
Matriisimenetelmä
Pyyhkäisymenetelmä ( kolmikulmaisille matriiseille )
Cholesky-hajotus tai neliöjuurimenetelmä ( positiivinen-definiittinen symmetrinen ja hermiittinen matriisi)

Iteratiiviset menetelmät luovat menettelyn tietyn ratkaisun alkulikiarvon jalostamiseksi. Kun konvergenssiehdot täyttyvät, niiden avulla voidaan saavuttaa mikä tahansa tarkkuus yksinkertaisesti toistamalla iteraatioita. Näiden menetelmien etuna on, että niillä saadaan usein nopeammin ratkaisu ennalta määrätyllä tarkkuudella ja ne mahdollistavat myös suurten yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen. Näiden menetelmien ydin on löytää matriisiyhtälön kiinteä piste

{\displaystyle \mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime ))

vastaa alkuperäistä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmää. Iteroitaessa yhtälön oikealla puolella esimerkiksi Jacobi-menetelmässä (yksinkertainen iteraatiomenetelmä) korvataan edellisessä vaiheessa löydetty approksimaatio: $\mathbf {x}$

{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime ))

Iteratiiviset menetelmät jaetaan useisiin tyyppeihin käytetystä lähestymistavasta riippuen:

Split-pohjainen: $(MN)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+ 1 }=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
Muunnelman tyyppi: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
Projektion tyyppi: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf { m}$

Iteratiivisten menetelmien joukossa:

Jacobi - menetelmä ( yksinkertainen iteraatiomenetelmä )
Gauss-Seidelin menetelmä
Rentoutumismenetelmä
Multigrid-menetelmä
Montanten menetelmä
Abramovin menetelmä (sopii pienten SLAE-ongelmien ratkaisemiseen)
Yleisten minimijäännösten menetelmä
Bikonjugaattigradienttimenetelmä
Stabiloitu bikonjugaattigradienttimenetelmä
Bikonjugaattigradienttien neliöllinen menetelmä
Kvasi- minimijäännösten menetelmä ( QMR )
Kiertomenetelmä [2]

Muistiinpanot

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineaarinen algebra: Oppikirja yliopistoille. - 6. painos, poistettu. — M.: Fizmatlit, 2004. — 280 s.
↑ Verzhbitsky V. M. Numeeristen menetelmien perusteet. - M . : Korkeakoulu , 2009. - S. 80-84. — 840 s. — ISBN 9785060061239 .

Linkit

Kuksenko SP, Gazizov TR Iteratiivisia menetelmiä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi tiheällä matriisilla. - Tomsk: Tomskin valtionyliopisto , 2007. - 208 s. - ISBN 5-94621-226-5 .
Forsythe J., Moler K. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden numeerinen ratkaisu. - Moskova: Mir , 1969. - 166 s.

Menetelmät SLAE :n ratkaisemiseksi
Suorat menetelmät	Matriisimenetelmä Gaussin menetelmä Gauss-Jordan menetelmä Cramer menetelmä LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen Lakaisumenetelmä
Iteratiiviset menetelmät	Jacobin menetelmä Gauss-Seidelin menetelmä Iterointimenetelmä Rentoutumismenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Bikonjugaattigradienttimenetelmä Stabiloitu bikonjugaattigradienttimenetelmä
Kenraali	käänteinen matriisi Projektiomenetelmät SLAE:n ratkaisemiseen Esikäsittely

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu