Matriisimenetelmä

Matriisimenetelmä (ratkaisumenetelmä käänteismatriisin kautta ) lineaaristen algebrallisten yhtälöiden , joissa on nollasta poikkeava determinantti , ratkaisemiseksi on seuraava.

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä tuntemattomien kanssa (mielivaltaisen kentän yli): $n$

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \ cdots ,\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n};\end{cases}}$

Sitten se voidaan kirjoittaa uudelleen matriisimuotoon:

$AX=B$ , jossa on järjestelmän päämatriisi ja vastaavasti järjestelmän vapaiden termien ja ratkaisujen sarakkeet: $A$ $B$ $X$

$A={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\lpisteet &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\lpisteet &a_{{2n }}\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\lpisteet &a_{{nn}}\end{pmatrix}},B={\begin {pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix)),X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\ \vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Kerro tämä vasemmalla oleva matriisiyhtälö - matriisilla käänteisesti matriisiin nähden : $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}\left(AX\right)=A^{{-1}}B$

Koska saamme . Tämän yhtälön oikea puoli antaa sarakkeen ratkaisuja alkuperäiseen järjestelmään. Tämän menetelmän sovellettavuuden ehto (sekä epähomogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisun yleinen olemassaolo, jossa yhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä) on matriisin A ei- degeneroitumattomuus . riittävä ehto tälle on matriisin A determinantin epäyhtälö nollaan: $A^{{-1}}A=E$ $X=A^{{-1}}B$

\det A\neq 0

Homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle, eli kun vektori , päinvastainen sääntö on totta: järjestelmällä on ei-triviaali (eli nollasta poikkeava) ratkaisu vain, jos . Tällaista yhteyttä homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisujen välillä kutsutaan Fredholmin vaihtoehdoksi . $B = 0$ $AX=0$ $\detA=0$

Esimerkki epähomogeenisen SLAE :n ratkaisemisesta

${\begin{cases}3x+2y-z=4,\\2x-y+5z=23,\\x+7y-z=5;\end{cases))$

Ensin varmistamme, että tuntemattomien SLAE :iden kertoimien matriisin determinantti ei ole nolla.

${\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-1&5\\1&7&-1\end{vmatrix}}=3-14+10-1-105+4=-103;$

Nyt lasketaan tuntemattomien kertoimista koostuvan matriisin alkioiden algebralliset komplementit . Tarvitsemme niitä löytääksemme käänteismatriisin .

$A_{{11}}=(-1)^{{1+1}}\cdot {\begin{vmatrix}-1&5\\7&-1\end{vmatrix}}=-34;$

$A_{{12}}=(-1)^{{1+2}}\cdot {\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}}=7;$

$A_{{13}}=(-1)^{{1+3}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\1&7\end{vmatrix}}=15;$

$A_{{21}}=(-1)^{{2+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\7&-1\end{vmatrix}}=-5;$

$A_{{22}}=(-1)^{{2+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{{23}}=(-1)^{{2+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\1&7\end{vmatrix}}=-19;$

$A_{{31}}=(-1)^{{3+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\-1&5\end{vmatrix}}=9;$

$A_{{32}}=(-1)^{{3+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}}=-17;$

$A_{{33}}=(-1)^{{3+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\2&-1\end{vmatrix}}=-7;$

Etsi seuraavaksi siihen liittyvä matriisi , transponoi se ja korvaa se käänteismatriisin löytämiskaavalla .

$C^{{*}}={\begin{pmatrix}-34&7&15\\-5&-2&-19\\9&-17&-7\end{pmatrix}});$

$(C^{{*)))^{{T}}={\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix}});$

$A^{{-1}}={\frac {1}{\det A}}\cdot (C^{{*}})^{{T}}$

Korvaamalla muuttujat kaavassa, saamme:

$A^{{-1}}={\frac {1}{-103}}\cdot {\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7 }{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103} }&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}});$

Jää löytää tuntematon. Tätä varten kerromme käänteismatriisin ja vapaiden termien sarakkeen.

$X=A^{{-1}}\cdot B;$

$X={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7} {103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}} &{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\ \4\end{pmatrix}}$

Joten x = 2; y = 1; z = 4.

Menetelmät SLAE :n ratkaisemiseksi
Suorat menetelmät	Matriisimenetelmä Gaussin menetelmä Gauss-Jordan menetelmä Cramer menetelmä LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen Lakaisumenetelmä
Iteratiiviset menetelmät	Jacobin menetelmä Gauss-Seidelin menetelmä Iterointimenetelmä Rentoutumismenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Bikonjugaattigradienttimenetelmä Stabiloitu bikonjugaattigradienttimenetelmä
Kenraali	käänteinen matriisi Projektiomenetelmät SLAE:n ratkaisemiseen Esikäsittely