Rentoutumismenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23.11.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Relaksaatiomenetelmä ( lat. relaxatio , tässä "pelkistys") on iteratiivinen menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi .

Menetelmän kuvaus

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matrix} \right.$

pienennetty muotoon [1]

$\left\{{\begin{matrix}P_{11}x_{1}+P_{12}x_{2}+\ldots +P_{1n}x_{n}+c_{1}&=&0 \\&\lpisteet &\\P_{n1}x_{1}+P_{n2}x_{2}+\lpisteet +P_{nn}x_{n}+c_{n}&=&0\\\end{ matriisi}}\oikea.$

missä ,. _ Eli kaikki = -1. $P_{ij}=-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}$ $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$ $P_{ii}$

Jäännökset löytyvät : $R_{j}$

$\left\{{\begin{matrix}R_{1}^{(0)}&=&c_{1}-x_{1}^{(0)}+\sum \limits _{j=2 }^{n}P_{1j}x_{j}^{(0)}\\R_{2}^{(0)}&=&c_{2}-x_{2}^{(0)}+\ summa \limits _{j=1,j\neq 2}^{n}P_{2j}x_{j}^{(0)}\\&\ldots &\\R_{n}^{(0)} &=&c_{n}-x_{n}^{(0)}+\summa \limits _{j=1}^{n-1}P_{nj}x_{j}^{(0)}\\ \end{matrix}}\right.$

Alkuperäinen approksimaatio valitaan . Jokaisessa vaiheessa on tarpeen asettaa enimmäispoikkeama nollaan: . $X^{(0)} = 0$ $R_{s}^{(k)}=\delta x_{s}^{(k)}\Rightarrow R_{s}^{(k+1)}=0,R_{i}^{( k+1)}=R_{i}^{(k)}+P_{is}\delta x_{s}^{(k)}$

Pysäytystila: . $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$

Vastaus saadaan kaavalla: . $x_i \noin x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$

Muistiinpanot

↑ Salvadori M.J. Numeeriset menetelmät tekniikassa. - M. , Vuzovskaya kniga, 2007. - ISBN 5-9502-0186-8 - s. 36-42

Menetelmät SLAE :n ratkaisemiseksi
Suorat menetelmät	Matriisimenetelmä Gaussin menetelmä Gauss-Jordan menetelmä Cramer menetelmä LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen Lakaisumenetelmä
Iteratiiviset menetelmät	Jacobin menetelmä Gauss-Seidelin menetelmä Iterointimenetelmä Rentoutumismenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Bikonjugaattigradienttimenetelmä Stabiloitu bikonjugaattigradienttimenetelmä
Kenraali	käänteinen matriisi Projektiomenetelmät SLAE:n ratkaisemiseen Esikäsittely