Cramer menetelmä

Cramerin menetelmä ( Cramerin sääntö) on menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, ja jossa järjestelmän kerroinmatriisin päädeterminantti ei ole nolla (lisäksi tällaisille yhtälöille ratkaisu olemassa ja on ainutlaatuinen). [yksi]

Menetelmän kuvaus

Lineaarisille yhtälöille, joissa on tuntemattomia (mielivaltaisen kentän yli ) $n$ $n$

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2}+\lpisteet +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}

systeemimatriisin determinantilla , joka on eri kuin nolla, ratkaisu kirjoitetaan muotoon $\Delta$

x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}& \lpisteet &a_{1n}\\a_{21}&\lpisteet &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\lpisteet &a_{2n}\\\lpisteet &\lpisteet & \lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \\a_{n-1,1}&\lpisteet &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i +1}&\lpisteet &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\lpisteet &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\lpisteet &a_{nn} \\\end{vmatrix}}

(järjestelmämatriisin i. sarake korvataan vapaiden termien sarakkeella).
Toisessa muodossa Cramerin sääntö on muotoiltu seuraavasti: kaikille kertoimille c 1 , c 2 , ..., c n yhtälö on tosi:

(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\pisteet +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12 }&\lpisteet &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\lpisteet &a_{2n}&b_{2}\\\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet &\lpisteet \ \a_{n1}&a_{n2}&\lpisteet &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\lpisteet &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}

Tässä muodossa Cramerin menetelmä pätee ilman oletusta, että se eroaa nollasta, ei ole edes välttämätöntä, että järjestelmän kertoimet ovat integraalirenkaan elementtejä (järjestelmän determinantti voi olla jopa nollajakaja renkaassa kertoimet). Voidaan myös olettaa, että joko joukot ja , tai joukko ei koostu järjestelmän kerroinrenkaan elementeistä, vaan jostain tämän renkaan päällä olevasta moduulista . Tässä muodossa Cramerin kaavaa käytetään esimerkiksi Gramin determinantin ja Nakayaman lemman kaavan todistamiseen . $\Delta$ $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $c_{1},c_{2},...,c_{n}$

Esimerkki

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä todellisilla kertoimilla:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{ 22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_ {3}\\\loppu{tapaukset}}

Karsintoja:

{\textstyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{ 33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{ 23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }

\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_ {33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_ {2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}

Determinanteissa vastaavan tuntemattoman kertoimien sarake korvataan järjestelmän vapaiden termien sarakkeella.

Ratkaisu:

x_{1}={\frac {\Delta _{1)){\Delta )),\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2)){\Delta )),\ \ x_{ 3}={\frac {\Delta _{3)){\Delta }}

Esimerkki:

{\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2 }+9x_{3}=110\\\end{cases}}

Karsintoja:

\Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\ \\end{vmatrix}}=-760,\ \

\Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150 \\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.

$x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\ frac {1270}{5}}=-254$

Laskennallinen monimutkaisuus

Cramerin menetelmä edellyttää dimensiodeterminanttien laskemista . Käytettäessä determinanttien laskemiseen Gaussin menetelmää , menetelmällä on monimutkaisuutta kertaluvun alkulaskuoperaatioissa , mikä on vaikeampaa kuin Gauss-menetelmä, kun järjestelmää ratkaistaan suoraan. Siksi menetelmää pidettiin laskelmiin käytetyn ajan kannalta epäkäytännöllisenä. Vuonna 2010 kuitenkin osoitettiin, että Cramerin menetelmä voidaan toteuttaa Gaussin menetelmään verrattuna [2] . $n+1$ $n\ kertaa n$ $O(n^{4})$ $O(n^{3})$

Kirjallisuus

Maltsev I. A. Lineaarisen algebran perusteet. - Toim. 3., tarkistettu, M .: "Nauka", 1970. - 400 s.

Muistiinpanot

↑ Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analysis des lignes Courbes algébriques (ranska) 656–659. Geneve: Europeana (1750). Haettu: 18. toukokuuta 2012.
↑ Ken Habgood ja Itamar Arel. 2010. Tarkastellaan uudelleen Cramerin sääntöä tiheiden lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseksi. Vuoden 2010 kevään simulaatiomonikonferenssin käsittelyssä (SpringSim '10)

Katso myös

Gaussin menetelmä

Menetelmät SLAE :n ratkaisemiseksi
Suorat menetelmät	Matriisimenetelmä Gaussin menetelmä Gauss-Jordan menetelmä Cramer menetelmä LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen Lakaisumenetelmä
Iteratiiviset menetelmät	Jacobin menetelmä Gauss-Seidelin menetelmä Iterointimenetelmä Rentoutumismenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Bikonjugaattigradienttimenetelmä Stabiloitu bikonjugaattigradienttimenetelmä
Kenraali	käänteinen matriisi Projektiomenetelmät SLAE:n ratkaisemiseen Esikäsittely