Gramin determinantti

Euklidisen avaruuden vektorijärjestelmän Gram - determinantti ( Gramian ) on tämän järjestelmän Gram - matriisin determinantti : $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \ langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n, \;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},

missä on vektorien skalaaritulo ja . $\langle e_i,\;e_j\rangle$ $\mathbf{e}_i$ $\mathbf{e}_j$

Gram-matriisi syntyy seuraavasta lineaarisesta algebraongelmasta:

Generoikoon euklidisen avaruuden vektorijärjestelmä aliavaruuden . Kun tiedät, mitkä ovat kunkin vektorin skalaaritulot , selvitä vektorin laajenemiskertoimet vektoreilla . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $x$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Perustuu hajoamiseen

\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,

saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gram-matriisilla:

{\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1} ,\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n }=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\ range x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2} ,\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathb e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\ \end{cases}}

Tämä ongelma on yksiselitteisesti ratkaistavissa, jos ja vain jos vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Siksi vektorijärjestelmän Gram-determinantin katoaminen on niiden lineaarisen riippuvuuden kriteeri. $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Gramin determinantin geometrinen merkitys

Gram-determinantin geometrinen merkitys paljastuu, kun ratkaistaan seuraava ongelma:

Generoikoon euklidisen avaruuden vektorijärjestelmä aliavaruuden . Kun tiedät vektorin skalaaritulot kunkin näistä vektoreista, etsi etäisyys kohteesta - . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $U$ $\mathbf {x}$ $V$ $\mathbf {x}$ $U$

Vähimmäisetäisyydet kaikissa vektoreissa kohteesta saavutetaan vektorin ortogonaalisella projektiolla . Tässä tapauksessa , jossa vektori on kohtisuorassa kaikkiin vektoreihin osoitteesta , ja etäisyys kohteesta - on yhtä suuri kuin vektorin moduuli . Vektorille laajenemisongelma (katso yllä) vektorien suhteen on ratkaistu ja tuloksena olevan järjestelmän ratkaisu kirjoitetaan Cramerin säännön mukaisesti : $|\mathbf{x}-\mathbf{u}|$ $\mathbf {u}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$ $\mathbf {n}$ $U$ $\mathbf {x}$ $U$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1, \;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x} \rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\ mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf {e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix},

missä on järjestelmän Gram-determinantti. Vektori on: $\Gamma$ $\mathbf {n}$

\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\ rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{ e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e }_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e} _2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{ e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix}

ja sen moduulin neliö on

|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2, \;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\; \mathbf{e}_n)}.

Tästä kaavasta saamme seuraavan väitteen induktion avulla: $n$

Vektorijärjestelmän Gram-determinantti on yhtä suuri kuin näiden vektorien kattaman -ulotteisen suuntaissärmiön tilavuuden neliö . Tämä osoittaa, että kolmiulotteisen avaruuden tapauksessa kolmen vektorin Gram-determinantti on yhtä suuri kuin niiden sekatulon neliö . $n$ $n$

Katso myös

Gram-Schmidtin prosessi