Stabiloitu bikonjugaattigradienttimenetelmä

Bikonjugaattigradienttistabiloitu menetelmä (BiCGStab ) on iteratiivinen menetelmä Krylov-tyyppisten SLAE :iden ratkaisemiseksi . Van der Worstin ( englanniksi) kehittämä järjestelmien ratkaisemiseksi epäsymmetrisillä matriiseilla . Konvergoi nopeammin kuin perinteinen bikonjugaattigradienttimenetelmä , joka on epävakaa [1] ja siksi yleisemmin käytetty [2] .

Merkintä

Monimutkaisille SLAE :ille menetelmä käyttää kahden tyyppisiä skalaarituloja , kun kyseessä ovat todelliset matriisit ja oikean puolen ne osuvat yhteen.

$(u, v) = \sum_{i=1}^n \overline{u}_i v_i$
$[u, v] = \sum_{i=1}^n u_i v_i$

Menetelmäalgoritmi

Muodon SLAE:n ratkaisemiseksi , jossa on kompleksinen matriisi, voidaan käyttää seuraavaa algoritmia [1] [3] bikonjugaattigradienttien stabiloidulla menetelmällä : $kirves = b$ $A$

Valmistelu ennen iteratiivista prosessia

Valitsemme alustavan likiarvon $x^0$
$r^0 = b - Ax^0$
$\tilde{r} = r^0$
$\rho^0 = \alpha^0 = \omega^0 = 1$
$v^0 = p^0 = 0$

k

-th menetelmä iteraatio

$\rho^k = (\tilde{r}, r^{k-1})$
$\beta^k = \frac{\rho^{k}}{\rho^{k-1}} \frac{\alpha^{k-1}}{\omega^{k-1}}$
$p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})$
$v^k = Ap^k$
$\alpha^k = \frac{\rho^k}{(\tilde{r}, v^k)}$
${\displaystyle s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k))$
$t^k = A s^k$
$\omega^k = \frac{[t^k, s^k]} {[t^k, t^k]}$
$x^k = x^{k-1} + \omega^ks^k + \alpha^kp^k$
$r^k = s^k - \omega^kt^k$

Iteratiivisen prosessin pysäyttämisen kriteeri

Perinteisten pysäytyskriteerien, kuten iteraatioiden lukumäärän ( ) ja määritellyn jäännösmäärän ( ), lisäksi menetelmä voidaan pysäyttää myös, kun arvosta on tullut pienempi kuin jokin ennalta määrätty luku . $k \le k_{max}$ $\||r^k|| /||b|| < \varepsilon$ $|\omega^k|$ $\varepsilon_{\omega}$

Katso myös

Konjugaattigradienttimenetelmä

Muistiinpanot

↑ 1 2 Henk A. van der Vorst. Iteratiiviset Krylov-menetelmät suurelle lineaariselle järjestelmälle. - Cambridge University Press, 2003. - 221 s. — ISBN 9780521818285 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen ultraheikosta variaatioformulaatiolla . – 2006.
↑ A. Formmer , V. Hannemann , B. Nokel , Th. Lippert , K. Schilling. Wilsonin fermion-matriisi-invesion nopeuttaminen stibiloidun bikonjugaatti-cgadientti- agoritmin avulla . – 1994.

Menetelmät SLAE :n ratkaisemiseksi
Suorat menetelmät	Matriisimenetelmä Gaussin menetelmä Gauss-Jordan menetelmä Cramer menetelmä LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen Lakaisumenetelmä
Iteratiiviset menetelmät	Jacobin menetelmä Gauss-Seidelin menetelmä Iterointimenetelmä Rentoutumismenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Bikonjugaattigradienttimenetelmä Stabiloitu bikonjugaattigradienttimenetelmä
Kenraali	käänteinen matriisi Projektiomenetelmät SLAE:n ratkaisemiseen Esikäsittely