Nolla matriisi

Nollamatriisi on matriisi, jonka kaikkien elementtien koko on nolla . Se on merkitty tai tai [1] $m\times n,$ $Z$ $O$ ${\displaystyle O_{m,n))$

$Z={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix))$

Kyltit

Nollamatriisilla ja vain sillä on arvo 0.

Tämä tarkoittaa, että vain nollamatriisilla on ominaisuus tuottaa nollasarake, kun se kerrotaan oikealta millä tahansa sarakevektorilla, ja vastaavasti, kun se kerrotaan rivivektorilla vasemmalta.

Toinen seuraus tästä tosiasiasta on kaikkien m × 0 ja 0 × n matriisien nollallisuus , koska m × n -matriisin järjestys ei ylitä arvoa min( m , n ).

Ominaisuudet

Nollamatriisin tulo millä tahansa luvulla on yhtä suuri kuin itsensä:

a\,Z=Z.

Samankokoisen matriisin ja nollamatriisin summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen matriisi : $A$ $A$

A+Z=A,\;\;\;Z+A=A.

Samankokoisen matriisin ja nollamatriisin ero on yhtä suuri kuin alkuperäinen matriisi : $A$ $A$

AZ=A.

Kokomatriisin tulo nollakokomatriisilla on yhtä suuri kuin nollakokomatriisi $A$ $l\times m,$ $m\times n,$ $l\times n:$

A\cdot Z=Z.

Neliön nollamatriisi n × n at on degeneroitunut ja sen seurauksena sen determinantti on yhtä suuri kuin nolla: $n\geqslant 1$ $\left|Z\right|=0.$ Täten sellaisella matriisilla ei ole käänteistä .

Neliön nollamatriisi on symmetrinen ja sen seurauksena sen transponoitu matriisi on yhtä suuri kuin se itse:

Z^{T}=Z.

Neliön nollamatriisi on myös vinosymmetrinen :

Z^{T}=-Z\,(=Z).

Vain nollamatriisi on sekä symmetrinen että vinosymmetrinen samanaikaisesti.

Kaksi viimeistä kohtaa ovat sanatarkasti totta myös sen suhteen, että ne ovat hermiittejä ja vinohermiittisiä kompleksilukujen alalla.

Neliön nollamatriisi on ylempi kolmiomatriisi , alempi kolmiomatriisi ja diagonaalinen matriisi.

Neliönnollamatriisi on skalaarimatriisi , ja siksi se permutoituu minkä tahansa samankokoisen neliömatriisin kanssa:

ZA=AZ=Z

Kaikki yllä mainitut nollamatriisin ominaisuudet ovat tavalla tai toisella seurausta siitä, että nollamatriisi on sen kokoisten matriisien lineaarisen avaruuden additiivinen neutraali elementti (puhekielessä: nolla), mikä tarkoittaa, että se (ja vain se) kuuluu mihin tahansa lineaariseen aliavaruuteen . No, samaan aikaan matriisien algebran nolla, jos matriisi on neliö.

Tästä huolimatta nollamatriisilla on myös ei-triviaali ominaisuus nollasta poikkeavien jakajien suhteen . Itse asiassa niitä on niin monta kuin haluat, ainakin oikealla, jopa vasemmalla, mutta tarkka määritelmä "niin monta kuin haluat" riippuu matriisien tilasta, minkä kokoisia etsimme. niitä. Nollasta poikkeavien matriisien M parit , joiden koko on m × l ja N , joiden koko on l × n , niin että ne ovat olemassa silloin ja vain jos . l \u003d 0 olemassaoloon se ei riitä jo siitä syystä, että sekä m × 0 että 0 × n kokoisten matriisien joukossa ei ole nollasta poikkeavia ykkösiä (katso edellä ). Jakajien, joissa l = 1, ei ole olemassa selitystä , katso artikkeli tensoritulo . Siten n × n matriisin algebrassa minkä tahansa kentän yli on nolla jakajaa silloin ja vain jos . Mikä ei kuitenkaan ole yllättävää, jos tarkastelemme, kuinka tällaiset algebrat on järjestetty arvoille n = 1 ja n = 0. ${\displaystyle NM=Z_{m\times n))$ $l\geqslant 2$ $n\geqslant 2$

Muistiinpanot

↑ Lineaarisen algebran perusteet, 1975 , s. yksitoista.

Kirjallisuus

Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. - M .: Nauka, 1975. - 400 s.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

Muut