Funktiovektori

Vektorifunktio on funktio, jonka arvot ovat vektoreita kahden , kolmen tai useamman ulottuvuuden vektoriavaruudessa . Funktioargumentit voivat olla: $\mathbb {V}$

yksi skalaarimuuttuja - sitten vektorifunktion arvot määritetään jollekin käyrälle ; $\mathbb {V}$
m skalaarimuuttujaa - silloin vektorifunktion arvot muodostuvat yleisesti ottaen m - ulotteisessa pinnassa; $\mathbb {V}$
vektorimuuttuja - tässä tapauksessa vektorifunktiota pidetään yleensä vektorikenttänä . $\mathbb {V}$

Yhden skalaarimuuttujan vektorifunktio

Selvyyden vuoksi rajoitamme edelleen kolmiulotteisen avaruuden tapaukseen, vaikka laajentaminen yleiseen tapaukseen ei ole vaikeaa. Yhden skalaarimuuttujan vektorifunktio kuvaa jonkin reaalilukujen intervallin spatiaalivektoreiden joukoksi (väli voi olla myös ääretön). ${\mathbf {r}}(t)$ ${\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2))$

Valittuaan koordinaattivektorit voimme jakaa vektorifunktion kolmeen koordinaattifunktioon x ( t ), y ( t ), z ( t ): $\mathbf {\hat {i)) ,\mathbf {\hat {j)) ,\mathbf {\hat {k))$

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i)) +y(t)\mathbf {\hat {j)) +z(t)\mathbf {\hat { k}}

Sädevektoreina katsottuna vektorifunktion arvot muodostavat tietyn käyrän avaruudessa, jolle t on parametri.

Vektorifunktiolla sanotaan olevan raja pisteessä if (tässä ja alla tarkoitamme vektorin moduulia ). Vektorifunktion rajalla on tavalliset ominaisuudet: ${\mathbf {r}}(t)$ $\mathbf {r_{0}}$ $t=t_{0}$ $\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0$ $|\mathbf {v} |$ $\mathbf{v}$

Vektorifunktioiden summan raja on yhtä suuri kuin termien rajojen summa (olettaen, että ne ovat olemassa).
Vektorifunktioiden skalaaritulon raja on yhtä suuri kuin tekijöiden rajojen skalaaritulo.
Vektorifunktioiden vektoritulon raja on yhtä suuri kuin tekijöiden rajojen vektoritulo.

Vektorifunktion jatkuvuus määritellään perinteisesti.

Vektorifunktion johdannainen suhteessa parametriin

Määritellään vektorifunktion derivaatta parametrin suhteen: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Jos derivaatta on olemassa pisteessä, vektorifunktion sanotaan olevan differentioituva tässä pisteessä. Derivaatan koordinaattifunktiot ovat . $t$ $x'(t),\y'(t),\z'(t)$

Vektorifunktion derivaatan ominaisuudet (kaikkialla oletetaan, että derivaattoja on olemassa):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ - summan derivaatta on johdannaisten summa
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — tässä f(t) on differentioituva skalaarifunktio.
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - skalaaritulon eriyttäminen .
${\frac {d}{dt))[{\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t)]=\vasen[{\frac {d{\mathbf {r_{1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)\right]+\left[{\mathbf {r_{1}}}(t){\ frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}\right]$ — vektorituotteen eriyttäminen .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\oikea)+\vasen({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\oikea)$ on sekatuotteen eriyttäminen .

Yhden skalaarimuuttujan vektorifunktioiden sovellukset geometriassa, katso: käyrien differentiaaligeometria .

Useiden skalaarimuuttujien vektorifunktio

Selvyyden vuoksi rajoitumme kahden muuttujan tapaukseen kolmiulotteisessa avaruudessa. Vektorifunktion arvot (niiden hodografi ) muodostavat yleisesti ottaen kaksiulotteisen pinnan, jolla argumentteja u, v voidaan pitää pintapisteiden sisäisinä koordinaatteina. $\mathbf {r} (u,v)$

Koordinaateissa yhtälö näyttää tältä: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

{\näyttötyyli x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)}

Samalla tavalla kuin yhden muuttujan tapauksessa, voimme määrittää vektorifunktion derivaatat, joita on nyt kaksi: . Osa pinnasta on rappeutumaton (eli meidän tapauksessamme kaksiulotteinen), jos se ei katoa sille samalla tavalla. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$ $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Tämän pinnan käyrät määritellään kätevästi seuraavasti:

u = u(t);\ v = v(t)

missä t on käyräparametri. Riippuvuuksien oletetaan olevan differentioituvia, eivätkä niiden derivaatat saa samaan aikaan kadota tarkasteltavalla alueella. Erityinen rooli on koordinaattiviivoilla , jotka muodostavat koordinaattiverkon pinnalle: ${\näyttötyyli u(t),\ v(t)}$

u=t;\ v=const

- ensimmäinen koordinaattiviiva.

u=const;\ v=t

on toinen koordinaattiviiva.

Jos pinnalla ei ole yksittäisiä pisteitä ( ei katoa mihinkään), niin tasan kaksi koordinaattiviivaa kulkee kunkin pinnan pisteen läpi. $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Lisätietoja useiden skalaarimuuttujien vektorifunktioiden geometrisista sovelluksista on kohdassa Pintateoria .

Kirjallisuus

Borisenko AI, Tarapov IE Vektorianalyysi ja tensorilaskennan periaatteet. 3. painos Moskova: Korkeakoulu, 1966.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Vektorianalyysi. Nauka, 1978, 160 s. (2. painos URSS, 2002)
Kochin N. E. Vektorilaskenta ja tensorilaskennan alku. Arkistoitu 14. marraskuuta 2007 Wayback Machinen 9th ed. Moskova: Nauka, 1965.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

Muut