Pinta

Geometriassa ja topologiassa pinta on kaksiulotteinen topologinen monisto . Tunnetuimpia esimerkkejä pinnoista ovat geometristen kappaleiden rajat tavallisessa kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Toisaalta on pintoja (kuten Klein-pullo ), joita ei voida upottaa kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen ilman singulaarisuutta tai itsensä leikkausta.

Pinnan "kaksiulotteisuus" merkitsee mahdollisuutta toteuttaa koordinaattimenetelmä sille , vaikkakaan ei välttämättä kaikille pisteille. Maan pinta on siis (ihanteellisesti) kaksiulotteinen pallo , jonka kunkin pisteen leveys- ja pituusaste ovat sen koordinaatit (lukuun ottamatta napoja ja 180. pituuspiiriä ).

Pinnan käsitettä sovelletaan fysiikassa , tekniikassa , tietokonegrafiikassa ja muilla fyysisten objektien tutkimuksen aloilla. Esimerkiksi lentokoneen aerodynaamisten ominaisuuksien analyysi perustuu ilmavirtaukseen sen pinnan ympärillä.

Tehtävämenetelmät

Pinta määritellään joukoksi pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät tietyn tyyppisen yhtälön:

F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)

Jos funktio on jossain pisteessä jatkuva ja siinä on jatkuvia osaderivaataita, joista ainakin yksi ei katoa, niin tämän pisteen läheisyydessä yhtälön (1) antama pinta on säännöllinen pinta . $F(x,\,y,\,z)$

Yllä olevan implisiittisen määritystavan lisäksi pinta voidaan määritellä eksplisiittisesti , jos yksi muuttujista, esimerkiksi z, voidaan ilmaista muiden kanssa:

z=f(x,y)\qquad (1')

On myös parametrinen asetustapa. Tässä tapauksessa pinta määräytyy yhtälöjärjestelmällä:

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\oikea.\qquad (1")

Yksinkertaisen pinnan käsite

Intuitiivisesti yksinkertainen pinta voidaan ajatella kappaleena tasosta , joka altistuu jatkuville muodonmuutoksille ( jännitykset, puristukset ja taivutukset ).

Tarkemmin sanottuna yksinkertainen pinta on kuva yksikköneliön sisäpuolen homeomorfisesta kartoituksesta (eli yksi-yhteen ja keskenään jatkuvasta kartoituksesta). Tälle määritelmälle voidaan antaa analyyttinen lauseke.

Olkoon neliö annettu tasossa, jonka koordinaatit ovat suorakaiteen muotoiset u ja v ja jonka sisäpisteiden koordinaatit täyttävät epäyhtälöt 0 < u < 1, 0 < v < 1. Neliön homeomorfinen kuva avaruudessa, jonka koordinaatit ovat x suorakulmaiset , y, z on annettu kaavoilla x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) ( parametrinen pintamäärittely ). Lisäksi funktioiden x(u, v), y(u, v) ja z(u, v) on oltava jatkuvia ja eri pisteillä (u, v) ja (u', v') on oltava erilaiset vastaavat. pisteet (x, y, z) ja (x', y', z').

Esimerkki yksinkertaisesta pinnasta on puolipallo. Koko pallo ei ole yksinkertainen pinta . Tämä edellyttää pinnan käsitteen yleistämistä edelleen.

Avaruuden osajoukkoa, jonka jokaisella pisteellä on yksinkertainen pinta , kutsutaan säännölliseksi pinnaksi .

Pinta differentiaaligeometriassa

Differentiaaligeometriassa tutkittaviin pintoihin sovelletaan yleensä ehtoja, jotka liittyvät differentiaalilaskennan menetelmien soveltamismahdollisuuteen . Pääsääntöisesti nämä ovat pinnan tasaisuuden ehtoja eli tietyn tangentin tason, kaarevuuden jne. olemassaoloa pinnan jokaisessa pisteessä . Nämä vaatimukset kiteytyvät siihen, että pinnan määrittävät funktiot oletetaan kerran, kahdesti, kolmesti ja joissakin kysymyksissä - rajoittamaton määrä kertoja differentioituvia tai jopa analyyttisiä funktioita . Tässä tapauksessa asetetaan lisäksi säännöllisyysehto.

Implisiittinen tehtäväntapaus . Yhtälön antama pinta on sileä säännöllinen pinta , jos , funktio on jatkuvasti differentioituva määritelmäalueellaan eivätkä sen osittaiset derivaatat katoa samanaikaisesti (oikeusehto) koko joukossa : $F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3$ $\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0$ $F$ $\Omega$ $\Omega$

\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\osittainen z}\oikea)^2>0

Parametrisen tehtävän tapaus . Määrittelemme pinnan vektoriyhtälöllä tai, joka on sama, kolmella yhtälöllä koordinaateissa: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\right.\quad (u,\,v)\in\Omega

Tämä yhtälöjärjestelmä määrittelee tasaisen säännöllisen pinnan , jos seuraavat ehdot täyttyvät:

järjestelmä muodostaa yksi-yhteen vastaavuuden kuvan ja prototyypin välille ; $\Omega$
funktiot ovat jatkuvasti erotettavissa ; $x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)$ $\Omega$
rappeutumattomuusehto täyttyy:

\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u & z'_v \\ x'_u & x'_v \end{vmatrix}^2>0

Geometrisesti viimeinen ehto tarkoittaa, että vektorit eivät ole missään rinnakkain. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Parametreja u, v voidaan pitää pintapisteiden sisäisinä koordinaatteina. Kiinnittäen yhden koordinaateista saadaan kaksi koordinaattikäyräperhettä , jotka peittävät pinnan koordinaattiverkolla.

Selkeä tapaus . Pinta voidaan määritellä funktion kuvaajaksi ; on silloin sileä säännöllinen pinta , jos funktio on differentioituva. Tätä vaihtoehtoa voidaan pitää parametrisen tehtävän erikoistapauksena: . $S$ $z=f(x,y)$ $S$ $f$ $x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)$

Tangenttitaso

Tasaisen pinnan pisteen tangenttitaso on taso, jolla on suurin kosketusjärjestys pinnan kanssa kyseisessä pisteessä. Vastaava määritelmä: Tangenttitaso on taso, joka sisältää kaikkien tämän pisteen läpi kulkevien sileiden käyrien tangentit .

Olkoon tasainen käyrä parametrisesti määritellyllä pinnalla muodossa: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

u = u(t);\ v = v(t)

Tällaisen käyrän tangentin suunta antaa vektorin: $\mathbf{v}$

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \frac{dv}{dt}

Tämä osoittaa, että kaikkien käyrien kaikki tangentit tietyssä pisteessä ovat samassa tasossa, joka sisältää vektorit , joiden oletettiin yllä olevan riippumattomia. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Tangenttitasoyhtälö pisteessä on muotoa: $\mathbf{r_0}=(x_0, y_0, z_0)$

\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}\right ) = 0\neliö

( vektorien sekatulo ).

Koordinaateissa tangenttitason yhtälöt pinnan eri määrittelytavoissa on annettu taulukossa:

	Pinnan tangenttitaso pisteessä $(x_{0},y_{0},z_{0})$
implisiittinen toimeksianto	$\frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z -z_0)=0$
selkeä toimeksianto	$\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)=(z-z_0)$
parametrinen tehtävä	$\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_u' & y_u' & z_u' \\ x_v' & y_v' & z_v' \end{vmatrix} = 0$

Kaikki johdannaiset otetaan pisteessä . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Mittarit ja sisäinen geometria

Harkitse tasaista käyrää uudelleen:

u = u(t);\ v = v(t)

Sen pituuden elementti määritetään suhteesta:

ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u))du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}

missä . $E=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u};\ F=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v};\ G=\mathbf{r'_v}\mathbf{r' _v}$

Tätä neliömuotoa kutsutaan ensimmäiseksi neliömäiseksi muodoksi ja se on kaksiulotteinen versio pintametriikasta . Säännölliselle pinnalle se on erotteleva kaikissa kohdissa. Kerroin pinnan pisteessä, jos ja vain jos koordinaattikäyrät kyseisessä pisteessä ovat ortogonaalisia. Erityisesti metriikka saadaan tasossa, jossa on suorakulmaiset koordinaatit ( Pythagoraan lause ). $EG-F^2>0$ $F = 0$ $u,\v$ $ds^2 = du^2 + dv^2$

Mittari ei määritä yksiselitteisesti pinnan muotoa. Esimerkiksi helikoidin ja katenoidin metriikka vastaavasti parametroituna ovat samat, eli niiden alueiden välillä on vastaavuus, joka säilyttää kaikki pituudet ( isometria ). Ominaisuuksia, jotka säilyvät isometristen muunnosten aikana, kutsutaan pinnan sisäiseksi geometriaksi . Sisägeometria ei riipu pinnan sijainnista avaruudessa eikä muutu, kun sitä taivutetaan ilman jännitystä ja puristusta (esim. sylinteri taivutetaan kartioksi ) [1] .

Metriset kertoimet eivät määritä vain kaikkien käyrien pituuksia, vaan yleensä kaikkien pinnan sisällä tehtyjen mittausten tulokset (kulmat, alueet, kaarevuus jne.). Siksi kaikki, mikä riippuu vain metriikasta, viittaa sisäiseen geometriaan. $E,\F,\G$

Normaali ja normaali osa

Yksi pinnan pääominaisuuksista on sen normaali - yksikkövektori, joka on kohtisuorassa tangenttitasoon nähden tietyssä pisteessä:

\mathbf{m} = \frac{[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]} {|[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]|}

Normaalin etumerkki riippuu koordinaattien valinnasta.

Pinnan leikkaus tason mukaan, joka sisältää pinnan normaalin tietyssä pisteessä, muodostaa tietyn käyrän, jota kutsutaan pinnan normaalileikkaukseksi . Normaalileikkauksen päänormaali on sama kuin pinnan normaali (merkkiin asti).

Jos pinnalla oleva käyrä ei ole normaalileikkaus, niin sen päänormaali muodostaa kulman pintanormaalin kanssa . Sitten käyrän kaarevuus suhteutetaan normaalileikkauksen kaarevuuteen (samalla tangentilla) Meunierin kaavalla : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Normaalivektorin koordinaatit pinnan eri määrittelytavoissa on annettu taulukossa:

	Normaalit koordinaatit pintapisteessä
implisiittinen toimeksianto	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
selkeä toimeksianto	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1))$
parametrinen tehtävä	$\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\oikea)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\oikea)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ oikea)^2}}$

täällä . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Kaikki johdannaiset otetaan pisteessä . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Kaarevuus

Eri suuntiin tietyssä pinnan pisteessä saadaan erilainen normaalileikkauksen kaarevuus, jota kutsutaan normaaliksi kaarevuudeksi ; sille annetaan plusmerkki, jos käyrän päänormaali kulkee samaan suuntaan kuin normaali pintaan nähden, tai miinusmerkki, jos normaalien suunnat ovat vastakkaisia.

Yleisesti ottaen jokaisessa pinnan pisteessä on kaksi kohtisuoraa suuntaa ja , joissa normaalikaarevuus saa minimi- ja maksimiarvon; näitä suuntia kutsutaan tärkeimmiksi . Poikkeuksena on tapaus, jossa normaali kaarevuus on sama kaikissa suunnissa (esimerkiksi lähellä palloa tai kiertoellipsoidin lopussa ), silloin kaikki pisteen suunnat ovat pääsuunnat. $e_{1}$ $e_{2}$

Normaalia kaarevuutta pääsuunnissa kutsutaan pääkaareviksi ; merkitään ne ja . Koko: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kutsutaan Gaussin kaarevuudeksi , kokonaiskaareudeksi tai yksinkertaisesti pinnan kaarevuudeksi. On myös termi kaarevuusskalaari , joka tarkoittaa kaarevuustensorin konvoluution tulosta ; tässä tapauksessa kaarevuusskalaari on kaksi kertaa niin suuri kuin Gaussin kaarevuus.

Gaussin kaarevuus voidaan laskea metriikassa, ja siksi se on pintojen sisäisen geometrian kohde (huomaa, että pääkaareet eivät kuulu sisäiseen geometriaan). Kaarevuusmerkin avulla voit luokitella pinnan pisteet (katso kuva). Tason kaarevuus on nolla. R-säteen pallon kaarevuus on kaikkialla yhtä suuri kuin . Siellä on myös jatkuvan negatiivisen kaarevuuden pinta - pseudosfääri . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Geodeettiset viivat, geodeettinen kaarevuus

Pinnan käyrää kutsutaan geodeettiseksi viivaksi tai yksinkertaisesti geodeettiseksi viivaksi, jos käyrän päänormaali on kaikissa kohdissaan sama kuin pinnan normaali. Esimerkki: tasossa geodetiikka on suoria viivoja ja viivan osia, pallolla suuria ympyröitä ja niiden segmenttejä.

Vastaava määritelmä: geodeettiselle suoralle sen päänormaalin projektio tangenttitasolle on nollavektori. Jos käyrä ei ole geodeettinen, määritetty projektio on nollasta poikkeava; sen pituutta kutsutaan pinnan käyrän geodeettiseksi kaarevuudeksi . On suhde: $k_{g}$

k^2 = k_g^2 + k_n^2

missä on annetun käyrän kaarevuus, on pinnan normaalin leikkauksen kaarevuus samalla tangentilla. $k$ $k_n$

Geodeettiset viivat viittaavat sisäiseen geometriaan. Luettelemme niiden tärkeimmät ominaisuudet.

Yksi ja vain yksi geodeetti kulkee tietyn pinnan pisteen läpi tiettyyn suuntaan.
Riittävän pienellä pinta-alalla geodeesilla voidaan aina yhdistää kaksi pistettä, ja lisäksi vain yksi. Selitys: pallolla vastakkaiset navat on yhdistetty äärettömällä määrällä meridiaaneja, ja kaksi läheistä pistettä voidaan yhdistää paitsi suuren ympyrän segmentillä, myös lisäämällä se täyteen ympyrään, joten ainutlaatuisuus havaitaan vain pienessä.
Geodeettinen on lyhin. Tarkemmin sanottuna: pienellä pinnanpalalla lyhin reitti tiettyjen pisteiden välillä kulkee geodeettista tietä pitkin.

Alue

Toinen pinnan tärkeä ominaisuus on sen pinta- ala , joka lasketaan kaavalla:

S=\iint\,|[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

täällä . $\mathbf{r}'_u=\left\{\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{ \partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v=\left\{\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v}, \,\frac{\partial z}{\partial v}\right\}$

Koordinaateissa saamme:

	selkeä toimeksianto	parametrinen tehtävä
alueen ilmaisu	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1 }\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y$	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\oikea)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D( u,v)}\oikea)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\oikea)^2}\;\mathrm{d}\,u\, \mathrm{d}\,v$

Pintatopologia

Suunta

Toinen pinnan tärkeä ominaisuus on sen suuntaus .

Pintaa kutsutaan kaksipuoliseksi , jos sillä on jatkuva normaalivektori koko pituudeltaan. Muuten pintaa kutsutaan yksipuoliseksi .

Orientoitu pinta on kaksipuolinen pinta, jolla on valittu normaalin suunta.

Esimerkkejä yksipuolisista ja siksi suuntautumattomista pinnoista ovat Klein-pullo tai Möbius-nauha .

Pintatyypit

Suljettu pinta on kompakti pinta ilman rajaa.
Avoin pinta on täydellinen ei-tiivis pinta ilman rajaa; upotetun pinnan tapauksessa oletetaan lisäksi, että se muodostaa suljetun joukon ympäröivässä tilassa.
suuntautuvat ja ei-suuntautuvat pinnat

Esimerkkejä

Vallankumouksen pinnat

Kierrospinta voidaan saada kiertämällä käyrää xz -tasossa z -akselin ympäri , olettaen, että käyrä ei leikkaa z -akselia . Oletetaan, että käyrä saadaan lausekkeesta

x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)

jossa t on kohdassa ( a , b ) ja parametroitu kaaren pituudella, niin että

{\piste {\varphi }}^{2}+{\piste {\psi }}^{2}=1.

Tällöin vallankumouksen pinta on joukko pisteitä

M=\{(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in (a,b),\theta \in [ 0.2\pi )\}.

Gaussin kaarevuus ja keskimääräinen kaarevuus saadaan lausekkeilla [2]

K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\piste {\psi }}+\varphi ({\piste {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.

Geodeesia pyörimispinnalla määritellään Clairaut-relaatiolla .

Toisen asteen pinta

Tarkastellaan lausekkeen [3] antamaa toisen kertaluvun pintaa.

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

Tämä pinta mahdollistaa parametrisoinnin

x={\sqrt {a(au)(av) \over (ab)(ac)))),\,\,y={\sqrt {b(bu)(bv) \over (ba) ( bc))),\,\,z={\sqrt {c(cu)(cv) \over (cb)(ca)))).

Gaussin kaarevuus ja keskikaarevuus saadaan kaavalla

K={abc \over u^{2}v^{2)),\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^ {3}}}.

Viivatut pinnat

Hallittu pinta on pinta, joka voidaan saada siirtämällä suoraa linjaa [4] [5] . Valitsemalla pinnalle suoraviivainen eli tasainen yksikkönopeuskäyrä c ( t ) , joka on kohtisuorassa suorille viivoille, ja valitsemalla sitten yksikkövektoreiksi käyrää pitkin suorien viivojen suunnassa nopeusvektorille ja u , $\mathbb{E}^3$ $u(t)$ ${\displaystyle v=c_{t))$

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

Pinta koostuu pisteistä

c(t)+s\cdot u(t)

kun vaihdat s ja t .

Sitten jos

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2))} ,\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

Gaussin ja keskikaarevuus saadaan lausekkeilla

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2)),\,\,K_{m}=- {r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-) \alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

Hallitun pinnan Gaussin kaarevuus katoaa, jos ja vain jos ja v ovat verrannollisia [6] . Tämä ehto vastaa sitä tosiasiaa, että pinta on tasojen verhokäyrä , joka sisältää tangenttivektorin v ja ortogonaalisen vektorin u , eli pinta avautuu käyrää pitkin [7] . Yleisemmin sanottuna pinnalla in on nolla Gaussin kaarevuus lähellä pistettä, jos ja vain jos se kehittyy tämän pisteen lähelle [8] (Vastaava ehto on annettu alla metriikassa.) $u_{t}$ $\mathbb{E}^3$

Minimaaliset pinnat

Vuonna 1760 Lagrange laajensi Eulerin variaatiolaskennan tulokset yhden muuttujan integraaleilla integraaleiksi kahdessa muuttujassa [9] [10] . Hän pohti seuraavaa ongelmaa:

Tällaista pintaa kutsutaan minimipinnaksi .

Vuonna 1776 Jean Baptiste Meunier osoitti, että Lagrangen johdettu differentiaaliyhtälö vastaa katoavan pinnan keskimääräistä kaarevuutta:

Minimaalisilla pinnoilla on yksinkertainen tulkinta tosielämässä - ne ovat saippuakalvon muotoisia, jos lankakehys kastetaan saippuaveteen ja poistetaan varovasti. Kysymystä siitä, onko olemassa minimaalista pintaa tietyllä rajalla, kutsutaan tasankoongelmaksi belgialaisen fyysikon Joseph Platon mukaan, joka kokeili saippuakalvoja 1800-luvun puolivälissä. Vuonna 1930 Jesse Douglas ja Tibor Rado antoivat myönteisen vastauksen Plateaun ongelmaan (Douglas sai yhden ensimmäisistä Fields-palkinnoista tästä työstä vuonna 1936) [11] .

Tunnetaan monia esimerkkejä minimaalisista pinnoista, kuten katenoidi , helikoidi , Scherk-pinta ja Enneper-pinta . Tällä alueella on tehty intensiivistä tutkimusta, jonka tulokset on koottu Ossermanin kirjaan [12] . Erityisesti Ossermanin tulos osoittaa, että jos minimipinta ei ole tasomainen, niin sen kuva Gaussin kartan alla on tiheä . $S^{2}$

Vakio Gaussin kaarevuuden pinnat

Jos pinnalla on vakio Gaussin kaarevuus, sitä kutsutaan vakiokaarevuuspinnaksi [13] [14] [15] .

Yksikköpallon in vakio Gaussin kaarevuus on +1. $\mathbb{E}^3$
Euklidisen tason ja sylinterin Gaussin kaarevuus on vakio 0.
Kierroksen c pinnalla on vakio Gaussin kaarevuus −1. Erikoistapaus saadaan ottamalla , ja [14] [16] [17] . Viimeinen tapaus on klassinen pseudosfääri , joka muodostuu tractrixin pyörimisestä keskiakselin ympäri. Vuonna 1868 Eugenio Beltrami osoitti, että pseudovesipallon geometria liittyi suoraan hyperbolisen tason geometriaan, jonka Lobachevsky (1830) ja Bolyai (1832) löysivät itsenäisesti . Jo vuonna 1840 F. Minding, Gaussin oppilas, sai pseudosfäärille trigonometriset kaavat, jotka olivat identtisiä hyperbolisen tason kanssa [18] . Tämä tasaisen kaarevuuden pinta ymmärretään nyt paremmin Poincarén metriikan avulla ylemmän puolitason tai yksikköympyrän avulla, ja sitä voidaan kuvata muilla malleilla, kuten Klein-mallilla tai hyperboloidimallilla, joka on saatu tarkastelemalla kaksiarkkista hyperboloidia kolmiulotteinen Minkowski-avaruus , jossa [19] . $\varphi _{tt}=\varphi$ $\varphi (t)=C\mathrm {ch} \,t$ $C\mathrm {sh} \,t$ ${\displaystyle Ce^{t))$ $q(x,y,z)=-1$ ${\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2))$

Jokaisella näillä vakiokaarevuuden pinnoilla on transitiivinen Lie -symmetriaryhmä. Tällä ryhmäteoreettisella tosiasialla on kauaskantoisia seurauksia, jotka ovat erityisen merkittäviä, kun otetaan huomioon näiden erikoispintojen keskeinen rooli pintojen geometriassa Poincarén yhdenmukaistamislauseen mukaan (katso alla).

Muita esimerkkejä pinnoista, joilla on Gaussin kaarevuus 0, ovat , kehitettävät tangenttipinnat ja yleisemmin mikä tahansa kehitettävä pinta .

Yleistys

Katso teorian moniulotteiset analogit:

Kirjallisuus

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analyyttinen geometria. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - M . : Bustard. — 570 s.
Pogorelov AI Differentiaaligeometria . - 6. painos. - M .: Nauka, 1974.
Rashevsky PK Differentiaaligeometrian kurssi . – 3. painos. - M .: GITTL, 1950.
Pinta // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osana (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Muistiinpanot

↑ Rashevsky P.K., 1950 , luku 7.
↑ do Carmo, 1976 , s. 161-162.
↑ Eisenhart, 2004 , s. 228–229.
↑ Eisenhart, 2004 , s. 241-250.
↑ do Carmo, 1976 , s. 188-197.
↑ do Carmo, 1976 , s. 194.
↑ Eisenhart, 2004 , s. 61–65.
↑ Eisenhart, 2004 .
↑ Eisenhart, 2004 , s. 250–269.
↑ do Carmo, 1976 , s. 197-213.
↑ Douglasin ratkaisu on kuvattu Courantin julkaisussa (( Courant 1950 )).
↑ Osserman, 2002 .
↑ Eisenhart, 2004 , s. 270–291.
↑ 1 2 O'Neill, 1997 , s. 249-251.
↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 .
↑ do Carmo, 1976 , s. 168-170.
↑ Grey, Abbena, Salamon, 2006 .
↑ Stillwell, 1996 , s. 1–5.
↑ Wilson, 2008 .

Linkit

Pintojen muodostaminen liikuttamalla käyriä, video Arkistoitu 23. syyskuuta 2016 Wayback Machinessa