Ensimmäinen neliömuoto

Pinnan ensimmäinen neliömuoto (tai ensimmäinen perusmuoto tai metrinen tensori ) on pinnan tangenttikimmun neliömuoto , joka määrittää tietyn pisteen läheisyydessä olevan pinnan sisäisen geometrian . Ensimmäinen neliömuoto on usein merkitty . $\mathrm {I}$

Ensimmäisen neliömuodon tunteminen riittää laskemaan pinnan Gaussin kaarevuus , samoin kuin laskemaan kaarien pituudet, käyrien väliset kulmat ja pinnan pinta -alat .

Määritelmä

Olkoon euklidisen avaruuden pinta skalaaritulolla annettu yhtälöllä missä ja ovat pinnan sisäiset koordinaatit; on sädevektorin differentiaali valittua siirtymissuuntaa pitkin pisteestä äärettömän läheiseen pisteeseen . (Tässä ja ovat sädevektorin osaderivaatat suhteessa ja suhteessa vastaavasti.) Sitten pituuslisäyksen pääosan neliö ilmaistaan differentiaalin neliöllä : $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $r_{u}$ $r_{v}$ $r$ $u$ $v$ $|MM'|$ $DR$