Gaussin kaarevuus

Gaussin kaarevuus on pinnan kaarevuuden mitta minkä tahansa sen pisteen läheisyydessä. Gaussin kaarevuus on pintojen sisäisen geometrian kohde , eli se ei muutu isometristen taivutusten vaikutuksesta.

Määritelmä

Gaussin kaarevuus kaksiulotteiselle pinnalle

Merkitään normaaleja kaarevia pääsuunnissa ( pääkaarevia ) pinnan tarkastelupisteessä ja . Koko: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kutsutaan Gaussin kaarevuudeksi , kokonaiskaareudeksi tai yksinkertaisesti pinnan kaarevuudeksi . On myös termi kaarevuusskalaari , joka tarkoittaa kaarevuustensorin konvoluution tulosta ; tässä tapauksessa kaarevuusskalaari on kaksi kertaa niin suuri kuin Gaussin kaarevuus.

Gaussin kaarevuus voidaan laskea pintametriikan avulla , ja siksi se on sisäisen geometrian kohde (huomaa, että pääkaarevuus ei koske sisäistä geometriaa). Kaarevuusmerkin avulla voit luokitella pinnan pisteet (katso kuva). Tason kaarevuus on nolla. R-säteen pallon kaarevuus on kaikkialla yhtä suuri kuin . Siellä on myös jatkuvan negatiivisen kaarevuuden pinta - pseudosfääri . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Gaussin kaarevuus hyperpinnalle

N-ulotteisen hyperpinnan kaarevuus pisteessä on täysin kuvattu sen pääkaarevilla ja vastaavilla pääsuunnalla . $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\pisteet ,k^{{(n)}}$

Tarkastellaan (merkkiin asti) symmetrisiä polynomeja , jotka koostuvat luvuista

(1)\qquad k^{{(1)}},k^{{(2)}},\dots ,k^{{(n)}}:

(2)\qquad \left\{{\begin{array}{rcl}K^{{[1]}}&=&-(k^{{(1)}}+k^{{(2)} }+\pisteet +k^{{(n)}})=-\sum \limits _{{i}}k^{{(i)}}\\K^{{[2]}}&=&k ^{{(1)}}k^{{(2)}}+k^{{(1)}}k^{{(3)}}+\pisteet +k^{{(n-1)} }k^{{(n)}}=\summa \limits _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}\\\cpisteet &\cdots &\ cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\K^{{[n]}}&=&(-1)^{n}k^{{(1)}}k^{{ (2)}}\cdots k^{{(n)}}\\\end{array}}\right.

Kutsukaamme yllä olevia arvoja vastaavan asteen Gaussin kaarevuudeksi . M -asteen Gaussin kaarevuuden yleinen kaava kirjoitetaan seuraavasti:

(3)\qquad K^{{[m]}}=\summa _{{i_{1}<i_{2}<\pisteet <i_{m}}}k^{{(i_{1})} }k^{{(i_{2})}}\cdots k^{{(i_{m})}}

Gaussin kaarevuus ovat ominaispolynomin kertoimia hyperpinnan kokonaiskaarevuustensorimatriisille:

(4)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}+K^{{[1]}}\lambda ^ {{n-1}}+\pisteet +K^{{[n-1]}}\lambda +K^{{[n]}}

Gaussin kaarevuuden tensorikaava

Kaava (3) määrittelee Gaussin kaarevuuden hyperpinnan kokonaiskaarevuustensorin ominaisarvojen kautta . Yritetään ilmaista nämä suureet itse tensorin komponenteilla missä tahansa koordinaattijärjestelmässä. Toisen asteen mielivaltaisen tensorin determinantin laskemiseksi meillä on seuraava kaava käyttämällä metristä matryoshka-tensoria (katso ehdottoman antisymmetrinen yksikkötensori ): $b_{{ij}}$ $b_{{ij}}$

(5)\qquad \det(a_{j}^{i})={1 \over n!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}}^{{i_{1 }i_{2}\dots i_{n}}}a_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}a_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}\ cdots a_{{i_{n}}}^{{j_{n}}}

Korvaa tämä kaava laskeaksesi kaavan (4) vasen lauseke, niin meillä on: $a_{j}^{i}=\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i}$

(6)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n} }}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}(\lambda \delta _{{i_{1}}}^{{j_{1}}}-b_{{i_{ 1}}}^{{j_{1}}})\cdots (\lambda \delta _{{i_{n}}}^{{j_{n}}}-b_{{i_{n}}}^ {{j_{n}}})

Avataan kaavan (6) sulut. Koska metrinen matryoshka-tensori ei muutu ylemmän ja alemman indeksin synkronisella permutaatiolla, kaikki termit, joilla on sama aste , ovat samat (niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin binomikerroin ), ja saamme: $g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$ $\lambda ^{m}$ $C_{n}^{m}$

(7)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}g_{{s_{1}s_{2} \dots s_{n}}}^{{s_{1}s_{2}\dots s_{n}}}-C_{n}^{1}\lambda ^{{n-1}}g_{{js_ {2}\dots s_{n}}}^{{is_{2}\dots s_{n}}}b_{i}^{j}+C_{n}^{2}\lambda ^{{n- 2}}g_{{j_{1}j_{2}\dots s_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\dots s_{n}}}b_{{i_{1}}} ^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}-\pisteet

Koska metrisen matryoshka-tensorin peräkkäiset konvoluutiot ovat yhtä suuret:

(8)\qquad g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{m}s_{{m+1}}s_{{m_{2}}}\dots s_{n}}}^{{ i_{1}i_{2}\dots i_{m}s_{{m+1}}s_{{m+2}}\dots s_{n}}}=(nm)!\,g_{{j_{ 1}\dots j_{m}}}^{{i_{1}\dots i_{m}}}

Sitten kaavasta (7) ja binomikertoimien kaavasta saadaan seuraava kaava tunnusomaiselle polynomille (jakaa yhtälön (7) molemmat puolet:lla ): $C_{n}^{m}={n! \yli m!(nm)!}$ $n!$

(9)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}-{\lambda ^{{n-1)) \ yli 1!}g_{j}^{i}b_{i}^{j}+{\lambda ^{{n-2}} \yli 2!}g_{{j_{1}j_{2}}} ^{{i_{1}i_{2}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}- \pisteet

Vertaamalla kaavoja (9) ja (4) saamme seuraavan kaavan Gaussin kaarevalle:

(10)\qquad K^{{[m]}}={(-1)^{m} \over m!}g_{{j_{1}j_{2}\dots j_{m}}}^{ {i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2 }}}\dots b_{{i_{m}}}^{{j_{m}}}

Lauseke Riemannin tensorina

Hyperpinnan skalaarikaarevuutta varten meillä on seuraava kaava

(11)\qquad R=g^{{ik}}g^{{jl}}R_{{ijkl}}=2\sum _{{i<j}}k^{{(i)}}k^ {{(j)}}=2K^{{[2]}}

Yleistääksemme tämän kaavan korkeammille tehoille, yritetään korvata kahden metrisen tensorin tulo kaavassa (11) neljännen asteen metrisellä matryoshka-tensorilla:

(12)\qquad g^{{ijkl}}R_{{ijkl}}={\begin{vmatrix}g^{{ik}}&g^{{il}}\\g^{{jk}}&g^ {{jl}}\end{vmatrix}}R_{{ijkl}}=(g^{{ik}}g^{{jl}}-g^{{il}}g^{{jk}})R_ {{ijkl}}=2R=4K^{{[2]}}

Lisälaskelmia varten siirrytään paikalliseen karteesiseen koordinaattijärjestelmään yhdessä moniston P pisteistä ja suuntaamme sen hyperpinnan pääsuuntia pitkin. Pisteessä P metrisen tensorin matriisi on yksikkö:

(13)\qquad g_{{ij}}=\delta _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}

ja siksi emme välttämättä tee numeerisesti eroa tensorien kovarianttien ja vastaavien kontravarianttien (ylempien ja alempien indeksien) välillä. Riemannin tensori pisteessä on jossain mielessä diagonaalinen, nimittäin sen nollasta poikkeavat komponentit ovat yhtä suuret: $P$

(14)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}\qquad (i\neq j)

ja kaikki nämä komponentit ovat yhtä suuria kuin nolla , jossa toinen indeksipari ei ole sama kuin parin permutaatio. $R_{{ijkl}}$ $(kl)$ $(ij)$

Kaavan (12) vasen puoli on Riemannin tensorin lineaarinen muoto, ja metrisen matryoshka-tensorin komponentit toimivat tämän muodon kertoimina. Ilmeinen yleistys on Riemannin tensorin komponentin bilineaarisen muodon ja korkeamman asteen muotojen huomioon ottaminen. Lasketaan kaava (12) uudelleen ja siten, että nämä laskelmat ovat helposti yleistettävissä. Olemme antaneet Riemannin tensorin diagonaalin:

(15)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=\sum _{{i,j}}\left(\sum _{{k, l}}g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}\right)=\sum _{{i,j}}\left(g_{{ij}} ^{{ij}}R_{{ij}}^{{ij}}+g_{{ji}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{ji}}\oikea)

Lisäksi kaavan (15) oikealla puolella olevat kaksi termiä ovat samat johtuen indeksien antisymmetriasta sekä metrisen matryoshka-tensorin että Riemannin tensorin parin sisällä. Lisäksi metrisen sisäkkäisen nuken diagonaalinen komponentti on yhtä suuri kuin yksi, koska (seuraavassa kaavassa samojen indeksien lisäystä ei suoriteta, ja indeksit ovat erilaisia): $i, j$

(16)\qquad g_{{ij}}^{{ij}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{i}&\delta _{j}^{i}\\\delta _ {i}^{j}&\delta _{j}^{j}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1

Ottaen huomioon yllä oleva ja kaava (14), muunnetaan kaava (15) edelleen:

(17)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=2\sum _{{i\neq j}}1\cdot k^{{( i)}}k^{{(j)}}=2\cpiste 2!\sum _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\ cdot 2!K^{{[2]}}

Siirrytään nyt seuraavan toisen asteen muodon laskemiseen:

(18)\qquad \Phi _{2}(R)=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2 }j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{k_ {2}l_{2}}}

Tämän muodon kertoimet ovat kahdeksannen asteen metrisen matryoshka-tensorin komponentteja. Tällä tensorilla on kaksi indeksiryhmää, ja se on antisymmetrinen suhteessa indeksien permutaatioon näiden ryhmien sisällä. Laskemme samalla tavalla kuin kaava (15).

(19)\qquad \Phi _{2}(R)=\sum _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}\left(\sum _{{k_ {1},l_{1},k_{2},l_{2}}}g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{ 1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}} }^{{k_{2}l_{2}}}\right)=2^{2}\sum _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}g_ {{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{ 1}}}^{{i_{1}j_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{i_{2}j_{2}}}

Merkitään indeksit merkinnän yksinkertaisuuden vuoksi: $i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}$ $minä, j, k, l$

(19a)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\sum _{{i,j,k,l}}g_{{ijkl}}^{{ijkl}}R_{{ij }}^{{ij}}R_{{kl}}^{{kl}}=2^{2}4!\sum _{{i,j,k,l \overall\;eri}}g_{ {ijkl}}^{{ijkl}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}

Kaikkien neljän indeksin on oltava pareittain erilaisia, koska metrisen matryoshka-tensorin komponentit ovat nolla, jos samassa ryhmässä on kaksi identtistä indeksiä. Kaavan (19a) oikea summa sisältää metrisen matryoshka-tensorin diagonaalikomponentit, jotka ovat yhtä suuria kuin yksi (samalla tavalla kuin kaava 16). $minä, j, k, l$

(19b)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\sum _{{i,j,k,l \overall\;eri}}k^{{(i)}}k ^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!\sum _{{i<j<k<l}} k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!K^{{ [neljä]}}

Kerroin 4! siirryttäessä toiseen summaan kaavassa (19a), syntyi siitä, että yhdelle oikean summan termille, jolle on tunnusomaista neljän eri luvun kiinteä joukko , vastaa 4! = 24 yhtäläistä termiä vasemmassa summassa, joille on tunnusomaista näiden neljän luvun permutaatiot. $i<j<k<l$

Kaavat (19), (19a), (19b) ovat helposti yleistettävissä korkeamman asteen muotoihin. Siten saadaan yleinen kaava pariasteen Gaussin kaarevuuden löytämiseksi : $2 m$

(20)\qquad K^{{[2m]}}={1 \yli 2^{m}(2m)!}g_{{k_{1}l_{1}\dots k_{m}l_{m} }}^{{i_{1}j_{1}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}} }\cdots R_{{i_{m}j_{m}}}^{{k_{m}l_{m}}}

Vaihtoehtoinen johdannainen Gaussin kaarevuuskaavasta parin potenssille

Käytämme seuraavaa lauseketta Riemannin tensorille kokonaiskaarevuustensorina

(21)\qquad R_{{ij}}^{{kl}}=b_{i}^{k}b_{j}^{l}-b_{j}^{k}b_{i}^{l }

ja aloita kaavasta (10) ryhmittelemään tekijät kahdella, esimerkiksi alkaen kahdesta ensimmäisestä (tässä oletetaan, että Gaussin kaarevuuden aste on vähintään kaksi ( ), ja merkinnän yksinkertaistamiseksi jätämme nimet pois ): $2 m$ $m\geq 1$ $m$

(22)\qquad (2m)!K=g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots =-g_{{ kl\dots }}^{{ji\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots

Viimeinen muunnos on voimassa metrisen matryoshka-tensorin antisymmetrian vuoksi ylemmän ryhmän indekseihin nähden. Seuraavaksi, viimeisessä lausekkeessa, vaihda indeksit : $i, j$

(23)\qquad (2m)!K=-g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{j}^{k}b_{i}^{l}\cdots

Lisätään nyt yhtälöt (22) ja (23), ottaen huomioon (21). Saamme, muuttamalla jälleen indeksien nimitystä:

(24)\qquad 2(2m)!K^{{[2m]}}=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}\dots k_{m}l_{m}} }^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{ 1}l_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{k_{2}}}\cdots b_{{i_{m}}}^{{k_{m}}}b_{{j_ {m}}}^{{l_{m}}}

Yhtälön (24) vasemmalla puolella oleva tekijä 2 ilmestyi kahden tekijän ryhmittelyn tuloksena . Ilmeisesti voimme samalla tavalla ryhmitellä loput tekijät pareittain, jolloin vasemmalla puolella saadaan kerroin , ja oikealla - lauseke, johon osallistuvat vain Riemannin tensori ja metrinen matryoshka-tensori, ts. saamme kaavan (20). $b_{{i_{1}}}^{{k_{1}}}b_{{j_{1}}}^{{l_{1}}}$ $2^{m}$

Parittoman asteen Gaussin kaarevuus

Pariton Gaussin kaarevuus liittyy myös Riemannin tensoriin, mutta monimutkaisemmilla kaavoilla kuin (20). Lisäksi näistä kaavoista Gaussin kaarevuus ilmaistaan moniselitteisesti.

Gaussin kaarevuuden merkitys

Alussa Gaussin kaarevuuden määritelmä annettiin vain hyperpinnalle (kaavat 2, 3). Mutta kaava (20), samoin kuin kaavat parittoman asteen Gaussin kaarevuuden löytämiseksi, antavat meille mahdollisuuden laajentaa tätä käsitettä mielivaltaisiin (abstrakteihin) monisteisiin . Siten voimme pitää Gaussin kaarevia Riemannin tensorin skalaariinvariantteina.

Jakoputken sisäinen kaarevuus kuvataan täysin Riemannin tensorilla.

Gaussin kaarevuus skalaarina voidaan integroida koko jakoputken tilavuuteen (katso artikkeli Gaussin integraalit ). K[n] :n integraali on n -ulotteisen jakotukin topologinen invariantti (ei muutu jakoputken jatkuvassa muodonmuutoksessa).

Brioschin kaava kaksiulotteiselle pinnalle

Kaksiulotteisen pinnan Gaussin kaarevuus voidaan ilmaista sen ensimmäisen neliömäisen muodon kertoimilla

ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}

ja niiden ensimmäisen ja toisen asteen johdannaiset ns. Brioschin kaavan [1] mukaisesti :

K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{{vv}}+F_{{uv}}-{\frac {1}{2}}G_{{ uu))&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1} {2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}} E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{ u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}

Tapauksessa (ns. pinnan ortogonaalinen parametrointi ) tämä kaava voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $F = 0$

K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG))))\left({\frac {\partial }{\partial u)){\frac {G_{u)){{\sqrt { EG))))+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}({\sqrt {EG}}}}\oikea).

Jos pinta annetaan differentioituvan funktion kuvaajana kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa metriikalla , tämä kaava saa muotoa $z=f(x,y)$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

K={\frac {f_{{xx}}\cdot f_{{yy}}-f_{{xy}}^{2}}{(1+f_{x}^{2}+f_{y}^ {2})^{2}}}

Jos kolmiulotteisen euklidisen avaruuden pinta metriikassa saadaan yhtälöllä , kaava saa muotoa [2] $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $f(x,y,z)=0$

K={\frac {[f_{z}(f_{{xx}}f_{z}-2f_{x}f_{{xz}})+f_{x}^{2}f_{{zz}}] [f_{z}(f_{{yy}}f_{z}-2f_{y}f_{{yz}})+f_{y}^{2}f_{{zz}}]-[f_{z} (-f_{x}f_{{yz}}+f_{{xy}}f_{z}-f_{{xz}}f_{y})+f_{x}f_{y}f_{{zz}} ]^{2}}{f_{z}^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+f_{z}^{2})^{2}}}

Jos ensimmäinen neliömuoto on konformisesti ekvivalentti euklidiselle, eli jollain funktiolla ja , Gaussin kaarevuuden kaava saa muodon $E=G=e^{{u}}$ $u=u(x,y)$ $F = 0$

K=-{\frac {1}{2e^{u}}}\Delta u,

missä on Laplace-operaattori .

\Delta

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Brioschi Formula Wolfram MathWorldissä . Haettu 24. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 2. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ Gaussin kaarevuus Wolfram MathWorldissä . Haettu 24. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 18. maaliskuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Pogorelov A. V. Differentiaaligeometria (6. painos). Moskova: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Differentiaaligeometrian kurssi (3. painos). M.-L.: GITTL, 1950.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)