Kaarevuustensori

Riemannin kaarevuustensori (kutsutaan joskus Riemannin–Christoffelin kaarevuustensoriksi ) on tavallinen tapa ilmaista Riemannin monistojen kaarevuus ja yleisemmin mielivaltaisten jakoputkien kaarevuus, joissa on affiininen yhteys , vääntövapaa tai vääntö.

Nimetty Bernhard Riemannin mukaan .

Määritelmä

Kaarevuustensori määritellään tangenttiavaruuden lineaarisena muunnoksena moniston kussakin pisteessä, joka kuvaa vektorin muutosta , joka on siirretty rinnakkain vektoreiden kattamaa äärettömän pientä suljettua suunnikkaa pitkin . $R(u,\;v)$ $u,\;v$

Kaarevuustensori ilmaistaan Levi-Civita-yhteydellä tai yleensä affiiniyhteydellä (jota kutsutaan myös kovarianttiderivaattaksi ) seuraavasti: $\nabla$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{{[u,\;v] }}w,

missä on Lie hakasulke . $[u,\;v]$

Jos vektorikentät on annettu differentiaatiolla suhteessa koordinaatteihin , ja ja siksi työmatka ( ), kaava on yksinkertaistettu: $u=\osittainen /\osittainen x_{i}$ $v=\osittainen /\osittainen x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

näin ollen kaarevuustensori mittaa kovarianttiderivaataiden eikommutatiivisuutta .

Merkintä. Jotkut kirjoittajat määrittelevät kaarevuustensorin päinvastaisella merkillä

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Lineaarista muutosta kutsutaan kaarevuusmuunnokseksi . $w\mapsto R(u,\;v)w$
Jos ja ovat kaksi kohtisuoraa yksikkövektoria pisteessä , niin lauseke riippuu vain tasosta osoitteessa , joka ulottuu ja . $u$ $v$ $s$ $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $T_{p}$ $u$ $v$
- Tasoa kutsutaan leikkaussuunnaksi . $\sigma$
- Suuruutta kutsutaan poikkileikkauskaareudeksi suunnassa , ja sitä merkitään yleensä symbolilla . $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $K_{\sigma}$

Kaarevuustensorin komponentit

Koordinaatistossa kaarevuustensorin komponentit määritellään seuraavasti: $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=dx^{\rho }(R(\partial _{{\mu }}),\;\partial _{{\nu } } )\partial_{{\sigma }}),

missä on vektorikenttä, joka tangentti koordinaattiviivaa kussakin pisteessä . Christoffel-symbolien suhteen : $\partial _{{\mu }}=\partial /\partial x^{{\mu }}$ $x^{\mu }$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=\osittinen _{\mu }\Gamma _{{\nu \sigma }}^{\rho }-\osittinen _{\nu }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\rho }+\Gamma _({\mu \lambda }}^{\rho }\Gamma _({\nu \sigma }}^{\lambda } -\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\rho }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\lambda }.

Kaksiulotteisessa avaruudessa ainoa ei-triviaali komponentti on Gaussin kaarevuus .

Symmetriat

Riemannin kaarevuustensorilla on seuraavat symmetriaominaisuudet:

R(u,\;v) = -R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Viimeisen identiteetin löysi Ricci , vaikka sitä kutsutaankin ensimmäiseksi Bianchin identiteetiksi tai algebralliseksi Bianchin identiteetiksi .

Nämä kolme identiteettiä määrittelevät kaarevuustensorin täydellisen symmetriajoukon, eli mille tahansa tensorille, joka täyttää nämä suhteet, voidaan löytää Riemannin monisto, jonka kaarevuutta kuvaa tämä tensori. Yksinkertainen kombinatorinen laskelma osoittaa, että kaarevuustensorilla on oltava itsenäiset komponentit. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Toinen hyödyllinen suhde seuraa näistä kolmesta identiteetistä:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Bianchi-identiteetti (kutsutaan myös toiseksi Bianchi-identiteetiksi tai Bianchin differentiaali-identiteetiksi ) sisältää kovarianttijohdannaisia:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Tietyssä koordinaatistossa moniston jonkin pisteen läheisyydessä edellä mainitut kaarevuustensorin komponenttien identiteetit voidaan kirjoittaa seuraavasti. Sulkumerkit tarkoittavat symmetrisaatiota ; puolipisteen jälkeiset alaindeksit tarkoittavat kovarianttijohdannaista.

R_{{abcd}}=-R_{{bacd}}=-R_{{abdc}};

R_{{abcd}}=R_{{cdab}};

R_{{a(bcd)}}=R_{{abcd}}+R_{{acdb}}+R_{{adbc}}=0

(ensimmäinen Bianchin identiteetti);

R_{{ab(cd;e)}}=R_{{abcd;e}}+R_{{abde;c}}+R_{{abec;d}}=0

(toinen Bianchin identiteetti).

Katso myös

Kirjallisuus

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Johdatus Riemannin geometriaan. - Pietari: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .