Vektoriavaruus

Vektoriavaruus ( lineaariavaruus ) on matemaattinen rakenne , joka on joukko elementtejä, joita kutsutaan vektoreiksi ja joille on määritelty yhteenlasku- ja kertolaskuoperaatiot luvulla - skalaari [1] . Nämä operaatiot ovat kahdeksan aksiooman alaisia . Skalaarit voivat olla reaali- , kompleksi- tai minkä tahansa muun lukukentän elementtejä . Tällaisen avaruuden erikoistapaus on tavallinen kolmiulotteinen euklidinen avaruus , jonka vektoreita käytetään esimerkiksi esittämään fyysisiä voimia . Tässä tapauksessa vektoria vektoriavaruuden elementtinä ei tarvitse määritellä suunnatuksi segmentiksi. "Vektorin" käsitteen yleistäminen minkä tahansa tyyppisen vektoriavaruuden elementiksi ei vain aiheuta termien sekaannusta, vaan antaa meille myös mahdollisuuden ymmärtää tai jopa ennakoida useita tuloksia, jotka pätevät mielivaltaisen luonteen avaruuksiin [ 2] .

Vektoriavaruudet ovat lineaarialgebran tutkimuksen kohteena . Yksi vektoriavaruuden tärkeimmistä ominaisuuksista on sen ulottuvuus. Dimensiolla tarkoitetaan avaruuden lineaarisesti riippumattomien elementtien enimmäismäärää, eli karkeaan geometriseen tulkintaan turvautuen niiden suuntien lukumäärä, joita ei voida ilmaista toistensa kautta pelkällä yhteenlaskolla ja skalaarilla kertomisella. Vektoriavaruuteen voidaan lisätä lisärakenteita, kuten normi tai pistetulo . Tällaiset avaruudet esiintyvät luonnollisesti laskennassa , pääasiassa äärettömän ulottuvuuden funktioavaruuksien joissa vektorit funktioita Monet analyysiongelmat edellyttävät sen selvittämistä, konvergoiko vektoreiden sarja tiettyyn vektoriin. Tällaisten kysymysten tarkastelu on mahdollista vektoriavaruuksissa, joissa on lisärakenne, useimmissa tapauksissa - sopiva topologia , jonka avulla voimme määritellä läheisyyden ja jatkuvuuden käsitteet . Tällaiset topologiset vektoriavaruudet , erityisesti Banachin ja Hilbertin avaruudet , mahdollistavat syvemmän tutkimuksen.

Ensimmäiset teokset, jotka ennakoivat vektoriavaruuden käsitteen käyttöönottoa, ovat peräisin 1600-luvulta . Silloin kehittyivät analyyttinen geometria , matriisien oppi , lineaariset yhtälöt ja euklidiset vektorit .

Määritelmä

Lineaarinen tai vektoritila kentän päällä on järjestetty nelinkertainen , jossa $V(F)$ $F$ ${\näyttötyyli (V,F,+,\cdot )}$

$V$ on ei- tyhjä joukko mielivaltaisia elementtejä, joita kutsutaan vektoreiksi .
$F$ on kenttä, jonka alkioita kutsutaan skalaareiksi .
Määritetään vektorien yhteenlaskuoperaatio , joka yhdistää jokaisen joukon alkioparin yhteen joukon alkioon , jota kutsutaan niiden summaksi ja jota merkitään . $V\times V\to V$ $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ $V$ $V$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$
Vektorien skalaarien kertomisen operaatio on määritelty , joka yhdistää jokaisen kentän elementin ja joukon jokaisen elementin yhteen joukon elementtiin , jota merkitään tai . $F\kertaa V\V:ksi$ $\lambda$ $F$ $\mathbf {x}$ $V$ $V$ $\lambda \cdot \mathbf {x}$ $\lambda \mathbf {x}$

Annettujen operaatioiden on täytettävä seuraavat aksioomit — lineaarisen (vektori)avaruuden aksioomit:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ mille tahansa ( lisäyksen kommutatiivisuus ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ mille tahansa ( lisäyksen assosiatiivisuus ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
on olemassa sellainen elementti , että mille tahansa ( neutraalin elementin olemassaolo suhteessa summaukseen ), jota kutsutaan nollavektoriksi tai yksinkertaisesti nollaksi , avaruus ; $\mathbf {0} \in V$ $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \in V$ $V$
jokaiselle on sellainen elementti , jota kutsutaan vektoria vastapäätä olevaksi vektoriksi ; $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {x}$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( skalaarilla kertomisen assosiatiivisuus );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitaarisuus: kertominen kentän neutraalilla (kerto-)elementillä säilyttää vektorin $F$ ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( vektorin skalaarilla kertomisen jakauma suhteessa skalaarien yhteenlaskemiseen );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( vektorin skalaarilla kertomisen distributiivisuus suhteessa vektoreiden yhteenlaskemiseen ).

Näin ollen summausoperaatio määrittelee (additiivisen) Abelin ryhmän rakenteen joukossa . $V$

Samalle elementtijoukolle, mutta eri kentille määritetyt vektoriavaruudet ovat erilaisia vektoriavaruuksia (esimerkiksi reaalilukuparien joukko voi olla kaksiulotteinen vektoriavaruus reaalilukukentän päällä tai yksiulotteinen yli kompleksilukujen kenttä ). $\mathbb {R} ^{2}$

Yksinkertaisimmat ominaisuudet

Vektoriavaruus on yhteenlaskettuna Abelin ryhmä .
Neutraali elementti on ainoa, joka johtuu ryhmän ominaisuuksista. $\mathbf {0} \in V$
$0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$ mille tahansa . $\mathbf {x} \in V$
Sillä mikä tahansa vastakkainen elementti on ainoa, joka seuraa ryhmän ominaisuuksista. $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ mille tahansa . $\mathbf {x} \in V$
$(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$ mille tahansa ja . $\alpha \in F$ $\mathbf {x} \in V$
$\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ mille tahansa . $\alpha \in F$

Aiheeseen liittyvät määritelmät ja ominaisuudet

Alatila

Algebrallinen määritelmä: Lineaarinen aliavaruus tai vektorialiavaruus on lineaarisen avaruuden ei-tyhjä osajoukko siten, että se on itse lineaarinen avaruus suhteessa niihin, jotka on määritelty yhteen- ja kertolaskuoperaatioissa skalaarilla. Kaikkien aliavaruuksien joukko merkitään yleensä nimellä . Jotta osajoukko olisi aliavaruus, se on välttämätöntä ja riittävää $K$ $V$ $K$ $V$ $\mathrm {Lat} (V)$

mille tahansa vektorille vektori kuului myös mille tahansa vektorille ; $\mathbf {x} \in K$ $\alpha \mathbf {x}$ $K$ $\alpha \in F$
mille tahansa vektorille vektori kuului myös . $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ $K$

Kaksi viimeistä lausetta vastaavat seuraavia:

mille tahansa vektorille vektori kuului myös mille tahansa .

\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K

\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}

K

\alpha ,\beta \in F

Erityisesti vain yhdestä nollavektorista koostuva vektoriavaruus on minkä tahansa avaruuden aliavaruus; mikä tahansa tila on itsensä aliavaruus. Aliavaruuksia, jotka eivät ole samat näiden kahden kanssa, kutsutaan oikeaksi eli ei-triviaaliksi .

Alitilan ominaisuudet

Minkä tahansa aliavaruuksien perheen leikkauspiste on jälleen aliavaruus;
Alitilojen summa määritellään joukoksi, joka sisältää kaikki mahdolliset elementtien summat : $\{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\}$ $K_{i}$ $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\in 1\ldots N)\}$ .
- Äärillisen aliavaruuksien perheen summa on jälleen aliavaruus.

Lineaariset yhdistelmät

Muodon muodollinen ilmaisu

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}

kutsutaan [3] elementtien lineaariseksi yhdistelmäksi kertoimilla . $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$

Itse asiassa tämä määritelmä (ja alla annetut) ei koske vain vektoreiden yhdistelmiä, vaan myös kaikkien muiden objektien yhdistelmiä, joille tällaiset summat ovat ylipäänsä järkeviä (esimerkiksi affinisessa avaruudessa olevien pisteiden yhdistelmiä ).

Lineaarista yhdistelmää kutsutaan:

epätriviaali , jos ainakin yksi sen kertoimista on nollasta poikkeava.
barysentrinen , jos sen kertoimien summa on 1 [4] ,
kupera , jos sen kertoimien summa on 1 ja kaikki kertoimet eivät ole negatiivisia,
tasapainotettu , jos sen kertoimien summa on 0.

Perusta. Mitta

Vektoreita kutsutaan [5] lineaarisesti riippuviksi , jos niistä on olemassa ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä, jonka arvo on nolla; tuo on $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _ {n}=\mathbf {0}

joillekin nollasta poikkeaville kertoimille $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F.$

Muuten näitä vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumattomiksi .

Tämä määritelmä sallii seuraavan yleistyksen: ääretöntä vektoreiden joukkoa kohteesta kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi , jos jokin sen äärellinen osajoukko on lineaarisesti riippuvainen, ja lineaarisesti riippumaton , jos jokin sen äärellisistä osajoukoista on lineaarisesti riippumaton. $V$

Voidaan osoittaa [6] , että vektoriavaruuden suurimman lineaarisesti riippumattoman elementtijoukon alkioiden lukumäärä ( teho ) ei riipu tämän joukon valinnasta. Tätä lukua kutsutaan tilan arvoksi tai dimensioksi , ja tätä joukkoa kutsutaan kantaksi ( Hamel -kanta tai lineaarinen kanta ). Kantaelementtejä kutsutaan kantavektoreiksi . Avaruuden ulottuvuutta ilmaistaan useimmiten symbolilla . ${\rm {dim}}$

Siten vektoriavaruuden ulottuvuus on joko ei-negatiivinen kokonaisluku (erityisesti yhtä suuri kuin nolla, jos avaruus koostuu vain yhdestä nollavektorista) tai ääretön (tarkemmin sanottuna äärettömän joukon potenssi). Ensimmäisessä tapauksessa vektoriavaruutta kutsutaan äärettömäksi -ulotteiseksi ja toisessa - äärettömäksi -ulotteiseksi (esimerkiksi jatkuvien funktioiden avaruus on ääretön-ulotteinen ). Perinteisesti äärellisulotteisten vektoriavaruuksien ja niiden kuvausten tutkiminen kuuluu lineaariseen algebraan ja äärettömän ulottuvuuden vektoriavaruuksien tutkiminen funktionaaliseen analyysiin . Toisessa tapauksessa olennainen rooli on kysymyksellä tietyn elementin hajotettavuudesta tietyssä äärettömässä funktiojärjestelmässä , eli vastaavien äärettömien summien konvergenssilla , jolle äärettömän ulottuvuuden vektoriavaruutta tarkastellaan yhdessä. lisärakenteella, jonka avulla voidaan määrittää konvergenssi esimerkiksi metriikan tai topologian avulla .

Perusominaisuudet:

Kaikki lineaarisesti riippumattomat -ulotteisen avaruuden elementit muodostavat tämän avaruuden perustan . $n$ $n$
Mikä tahansa vektori voidaan esittää (ainutlaatuisesti) peruselementtien äärellisenä lineaarisena yhdistelmänä: $\mathbf {x} \in V$

\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf { x} _{n}

Lineaarinen kuori

Lineaarisen avaruuden osajoukon lineaarinen jänneväli on kaikkien osan sisältävien aliavaruuksien leikkauspiste . ${\mathcal {V}}(X)$ $X$ $V$ $V$ $X$

Lineaarinen span on aliavaruus . $V$

Lineaarista jänneväliä kutsutaan myös :n generoimaksi aliavaruudeksi . Sanotaan myös, että lineaarinen jänneväli on joukon kattama tila . $X$ ${\mathcal {V}}(X)$ $X$

Lineaarinen jänneväli koostuu kaikista mahdollisista lineaarisista yhdistelmistä eri elementtien äärellisistä osajärjestelmistä alkaen . Erityisesti, jos on äärellinen joukko, niin se koostuu kaikista lineaarisista elementtien yhdistelmistä . Siten nollavektori kuuluu aina lineaariseen jänneväliin. ${\mathcal {V}}(X)$ $X$ $X$ ${\mathcal {V}}(X)$ $X$

Jos on lineaarisesti riippumaton joukko, niin se on kanta ja määrittää siten sen ulottuvuuden. $X$ ${\mathcal {V}}(X)$

Isomorfismi

Kaksi lineaarista avaruutta ja niitä kutsutaan isomorfisiksi , jos vektorien välille voidaan muodostaa yksi-yhteen-vastaavuus ja siten, että seuraavat ehdot täyttyvät: $V'(F)$ $V''(F)$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

jos vektori vastaa vektoria ja vektori vastaa vektoria , niin vektori vastaa vektoria $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
jos vektori vastaa vektoria ja on kentän elementti , niin vektori vastaa vektoria [7] $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Esimerkkejä

Nolla-avaruus, jonka ainoa elementti on nolla.
Kaikkien äärellisen tuen funktioiden avaruus muodostaa vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on yhtä suuri kuin teho . $X\ F$ $X$
Reaalilukukenttää voidaan pitää jatkuvaulotteisena vektoriavaruutena rationaalisten lukujen kentän päällä .
Mikä tahansa kenttä on yksiulotteinen tila itsensä yläpuolella.
Matriisien ja tensorien avaruudet muodostavat lineaarisen avaruuden.

Lisärakenteet

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Älä sekoita käsitteitä "kertominen skalaarilla" ja " skalaaritulo ".
↑ Iljin, Poznyak, 2010 , s. 45.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. kahdeksan.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 198.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 16.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. neljätoista.
↑ Shilov G. E. Johdatus lineaaristen tilojen teoriaan. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - s. 70

Kirjallisuus

Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta. - 5. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 s. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta. 5. painos - M . : Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 s. - ISBN 5-7913-0016-6 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria. 2. painos — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. Osa 2: Lineaarinen algebra. - 3. - M . : Nauka ., 2004. - 368 s. — (Yliopistooppikirja).
Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.

Postnikov M. M. Lineaarinen algebra (geometrian luentoja. Lukukausi II). - 2. — M .: Nauka , 1986. — 400 s.
Streng G. Lineaarinen algebra ja sen sovellukset. — M .: Mir , 1980. — 454 s.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineaarinen algebra. 6. painos - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 s. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Halmos P. Äärillisulotteiset vektoriavaruudet. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 s.
Faddeev D.K. Luennot algebrasta. - 5. - Pietari. : Lan , 2007. - 416 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - 1. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 s.
Schreier O., Shperner G. Johdatus lineaariseen algebraan geometrisessa esityksessä = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (käännetty saksasta). - M. - L .: ONTI , 1934. - 210 s.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu