Lippu (matematiikka)

Lippu on vektoriavaruuden (tai muun tyyppisen avaruuden , jolle on määritelty ulottuvuuden käsite) sisäkkäisten aliavaruuksien ketju , jonka muoto on $L$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,

missä

0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.

Täydellisen (tai maksimi ) lipun käsite, jossa , ja siten luku, kohdataan useimmiten . Yleensä täydellisen lipun määritelmässä lisäehto ketjun kunkin naapurialitilan parin suuntaukselle lisätään (katso määritelmä alla). $\dim L_{i}=i$ $k=\dim L.$

Lipun käsitettä käytetään pääasiassa algebrassa ja geometriassa (joskus kutsutaan myös suodatukseksi ).

Täysi lippu

Täydellinen lippu äärellisen ulottuvuuden vektoriavaruudessa on aliavaruuksien sarja $L$ $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

missä aliavaruus koostuu vain nollavektorista, aliavaruus osuu yhteen kaiken kanssa ja jokainen naapurialiavaruuspari on suunnattu ts. kahdesta puoliavaruudesta , joihin aliavaruus jakautuu , valitaan yksi (toisin sanoen näiden puoliavaruuksien pari on järjestetty ). $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ ${\näyttötyyli (L_{i}, L_{i-1})}$ $L_{i-1}$ $L_{i}$

Jokainen vektoriavaruuden kanta määrittää siihen jonkin täydellisen lipun. Nimittäin asetetaan (tässä kolmiosulut tarkoittavat niiden välisten vektorien lineaarista verhokäyrää ) ja parin suunnan asettamiseksi valitsemme puoliavaruuden, joka sisältää vektorin . $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ ${\näyttötyyli (L_{i}, L_{i-1})}$ $e_{i}$

Tällä tavalla muodostettujen kantojen ja täyslippujen vastaavuus ei ole yksi yhteen: tilan eri kantakohdat voivat määrittää siihen saman lipun (esim. oikeanpuoleisessa kuvassa kantat ja taso määrittelevät sama täysi lippu). Kuitenkin, jos vektoriavaruus on euklidinen , niin silloin, kun toimitaan ei mielivaltaisten, vaan vain tämän avaruuden ortonormaalisten kantakantojen kanssa, saadaan yksi-yhteen vastaavuus ortonormaalien kantojen ja täydellisten lippujen välillä. ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1},e'_{2))$ $L$

Siksi kahdelle euklidisen avaruuden täydelliselle lipulle on ainutlaatuinen ortogonaalinen muunnos , joka yhdistää ensimmäisen lipun toiseen. $L$ $A:L - L$

Liput affiineissa tiloissa ja Lobatševski-geometria

Täydelliset liput määritellään samalla tavalla affinisessa avaruudessa ja Lobatševskin ulottuvuusavaruudessa : $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

jossa aliavaruus koostuu vain yhdestä pisteestä (affineavaruus tai Lobatševsky-avaruus), jota kutsutaan lipun keskipisteeksi , aliavaruus osuu yhteen kaiken kanssa ja jokainen pari on suunnattu . $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ ${\näyttötyyli (L_{i}, L_{i-1})}$

Euklidisen affiinisen avaruuden tai Lobatševskin avaruuden kahdelle täydelliselle lipulle on olemassa tämän avaruuden liike , joka vie ensimmäisen lipun toiseen, ja tällainen liike on ainutlaatuinen. Sophus Lie kutsui tätä ominaisuutta tilan vapaaksi liikkuvuudeksi . Helmholtz-Lien lauseessa sanotaan, että vain kolmella avaruustyypillä (kolmella "suurella geometrialla") on tämä ominaisuus: Euclid , Lobachevsky ja Riemann . [yksi]

Nest

Äärettömässä ulottuvuudessa V idea lipusta yleistetään pesäksi. Nimittäin joukko aliavaruuksia, jotka on järjestetty hyvin suljettujen aliavaruuksien mukaan, kutsutaan pesäksi .

Kirjallisuus

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.

Muistiinpanot

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. XII, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.