Riemannin geometria

Riemannin geometria (kutsutaan myös elliptiseksi geometriaksi ) on yksi vakiokaarevuuden ei-euklidisista geometrioista ( muut ovat Lobachevsky - geometria ja pallogeometria ). Jos Euklidesin geometria on toteutettu avaruudessa, jossa on nolla Gaussin kaarevuus , Lobatševsky - negatiivisella, niin Riemmannin geometria realisoituu avaruudessa, jossa on jatkuva positiivinen kaarevuus (kaksiulotteisessa tapauksessa projektiivisella tasolla ja paikallisesti pallolla ).

Riemannin geometriassa suora määritellään kahdella pisteellä, taso kolmella, kaksi tasoa leikkaa linjaa pitkin ja niin edelleen, mutta Riemannin geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria. Riemannin geometriassa, kuten pallogeometriassa, väite: kolmion kulmien summa on suurempi kuin kaksi suoraa, kaava tapahtuu missä on kolmion kulmien summa, on pallon säde johon geometria on toteutettu. $\Sigma =\pi +{S}/{R^{2)),$ $\Sigma$ $R$

Riemannin kaksiulotteinen geometria on samanlainen kuin pallogeometria , mutta eroaa siinä, että kahdella "suoralla" ei ole kahta, kuten pallomaisessa, vaan vain yksi leikkauspiste. Tunnistamalla pallon vastakkaiset pisteet saadaan projektiivinen taso , jonka geometria täyttää Riemannilaisen geometrian aksioomat.

Tarkastellaan nimittäin palloa, jonka keskipiste on kolmiulotteisen avaruuden pisteessä . Jokainen piste yhdessä pallon keskipisteen kanssa määrittää jonkin suoran , eli jonkin projektiivisen tason pisteen . Rinnastus määrittää kartoituksen , suuret ympyrät (pallogeometriassa suorat viivat) menevät suoriksi projektiivitasolla , kun taas täsmälleen kaksi pallon pistettä menee yhteen pisteeseen: yhdessä pisteen ja sitä diametraalisesti vastakkaisen pisteen kanssa (ks. kuva). Avaruuden euklidiset liikkeet , jotka ottavat pallon itseensä, antavat joitain tiettyjä projektiivitason muunnoksia , jotka ovat Riemannin geometrian liikkeitä . Riemannin geometriassa kaikki suorat leikkaavat, koska tämä pätee projektiiviseen tasoon, joten siinä ei ole yhdensuuntaisia suoria. $S$ $O$ $E$ $A\in S$ $O$ $l\alajoukko E$ $A_{*}$ $\Pi$ $A\to A_{*}$ $S\to\Pi$ $S$ $\Pi$ $A_{*}\in \Pi$ $A\in S$ $A'\in S$ $E$ $S$ $\Pi$

Yksi eroista Riemannin geometrian ja euklidisen geometrian ja Lobatševskin geometrian välillä on se, että siinä ei ole luonnollista käsitettä "piste C on pisteiden A ja B välissä " (tämä käsite puuttuu myös pallomaisesta geometriasta). Todellakin, suuri ympyrä pallolla näkyysuoralla projektiivitasolla ja kaksi diametraalisesti vastakkaista pistettä pallon ja kulkevat yhteen pisteeseen . Samoin pisteet menevät yhteen pisteeseen ja pisteet yhteen pisteeseen . Näin ollen voidaan yhtälailla olettaa, että piste on ja välissä ja että se ei ole niiden välissä (katso kuva). $\Pi$ $S$ $A$ $A'$ $A_{*}\in \Pi$ ${\näyttötyyli B,B'}$ $B_{*}\in \Pi$ $C,C'$ $C_{*}\in \Pi$ $C_{*}$ $A_{*}$ $B_{*}$

Kirjallisuus

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometria. - M.: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Mikä on ei-euklidinen geometria. — M.: URSS, 2007.
Alekseevskii DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Vakiokaarevien tilojen geometria. Julkaisussa: Itogi nauki i tekhniki. Nykyajan matematiikan ongelmat. perussuuntia. - M.: VINITI, 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometria. / Per. ranskasta - M.: Mir, 1984. - Osa II, osa V: Pallon sisägeometria, hyperbolinen geometria, pallojen avaruus.
Efimov N. V. Korkeampi geometria. - 7. painos — M.: Fizmatlit , 2003. — 584 s. — ISBN 5-9221-0267-2 .
Klein F. Ei-euklidinen geometria. - Mikä tahansa painos.
Stepanov N. N. Pallomainen trigonometria. - L.-M., 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - M.: Fizmatlit, 2009.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 1025719271