Rinnakkaissiirto

Rinnakkainen käännös on tasojen isomorfismi tasaisen nipun pohjan palakohtaisesti tasaisen käyrän päiden yli , määritellyt jonkin tietyn yhteyden muodossa . Erityisesti tangenttiavaruuksien ja lineaarinen isomorfismi, joka on määritelty käyrää pitkin jollain affiinilla yhteydellä , joka on annettu . $\eta :E\to B$ $E$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$ $\gamma \in M$ $M$

Rinnakkaiskäännös affiiniyhteyttä pitkin

Tehdään affiiniliitäntä sileälle jakoputkelle . Vektorin sanotaan saatavan rinnakkaisella translaatiolla vektorista tasaista käyrää pitkin ilman itseleikkauksia , jos tämän käyrän läheisyydessä on tasainen vektorikenttä, jolla on seuraavat ominaisuudet: $M$ $X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$ $X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$ $\gamma :[0,1]\to M$ $X$

tasa-arvo ja täyttyvät ; ${\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0))$ ${\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1))$
mille tahansa arvolle yhtälö pätee , jossa symboli tarkoittaa kovarianttiderivaatta ja on nopeusvektori . $t\in [0,1]$ $\nabla _{{\piste {\gamma }}(t)}X=0$ $\nabla$ ${\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}$ $\gamma$

Kommentti. Koska paikallisissa koordinaateissa yhtäläisyys on totta:

(\nabla _{\piste {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\piste {\gamma }}^{k}

ja tässä lausekkeessa ei ole vektorin komponenttien osittaisia derivaattoja , rinnakkaiskäännöksen määritelmässä ei tarvitse vaatia vektorikentän olevan määritelty koko polun naapurustossa , riittää että se on olemassa ja on sujuvasti tätä polkua pitkin yksin. $X$ $X$ $\gamma (t)$

Yhdensuuntainen käännös palakohtaisesti sileää käyrää pitkin (mukaan lukien käyrät, joissa on itseleikkaukset) määritellään rinnakkaisten translaatioiden superpositioksi pitkin sen ei-itseleikkautuvia sileitä kappaleita.

Vektorin rinnakkaiskäännöksen käsitteen perusteella määritellään mielivaltaisen valenssin tensorin rinnakkaiskäännöksen käsitteet.

Vektorien rinnakkaiskäännöksen ominaisuudet

Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian mukaan mielivaltaisen lineaarisen ODE:n Cauchyn ongelman ratkaisu jatkuu loputtomiin mitä tahansa tasaista käyrää pitkin, joten määrittämällä alkupisteessä vektori ja osoittamalla rinnakkaismuunnospolun tämä vektori siirretään yksiselitteisesti mihin tahansa tämän polun pisteeseen.
Käännettäessä vektoreita samaa polkua pitkin, kaikki niiden väliset lineaariset suhteet säilyvät.
Vektorien siirto on reversiibeli: riittää, että siirrät loppuvektorit paluureittiä pitkin, jotta saadaan alkuperäiset vektorit.
Kahden edellisen ominaisuuden seurauksena käy ilmi, että käyrän rinnakkaissiirron operaattori on avaruuksien ja lineaarinen isomorfismi . $\gamma$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$
Jos affiiniyhteys on yhdenmukainen metrisen tensorin kanssa Riemannin moninaisessa ( Levi-Civita-yhteys ), niin translaatiooperaattori on ortogonaalinen, eli se säilyttää vektorien pistetulot, niiden pituudet ja niiden väliset kulmat.
Rinnakkaiskäännöksen tärkeä ominaisuus on myös käännöstuloksen riippumattomuus polun parametroinnista (vastaavat polut antavat saman tuloksen). Samanaikaisesti rinnakkainen käännös eri käyriä pitkin johtaa yleensä erilaisiin tuloksiin.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Geodeettinen on tasainen polku, jonka tangenttivektori kussakin pisteessä saadaan tangenttivektorin rinnakkaissiirrolla mistä tahansa muusta pisteestä.
Holonomiaryhmä on tangenttiavaruuden automorfismien ryhmä , jonka määrittelevät rinnakkaiset käännökset suljettuja palasittain sileitä käyriä pitkin. Lisäksi yhdistetylle jakosarjalle ja ovat aina konjugoituja. $\Phi _{x}$ $T_{x}M$ $\Phi _{x}$ ${\displaystyle \Phi _{y))$

Historia

Rinnakkaiskäännöksen käsitteen kehitys alkoi tavanomaisella rinnakkaisuudella euklidisessa tasossa, jolle Minding osoitti vuonna 1837 mahdollisuuden yleistää se pinnan tapaukseksi esittelemänsä käsitteen avulla käyrän avaamisesta kone . Tämä Mindingin osoitus toimi lähtökohtana Levi-Civitalle , joka formalisoi tangenttivektorin analyyttisesti yhdensuuntaisen kuljetuksen pinnalla, havaitsi sen riippuvuuden vain pinnan metriikasta ja yleisti sen tämän perusteella välittömästi -ulotteisen Riemannin avaruuden tapaus (katso Levi-Civita-yhteys ) . Tämän käsitteen lisäyleistykset liittyvät yleisen yhteysteorian kehittämiseen. $\mathbb {R} ^{3}$ $\gamma \in S$ $\mathbb {R} ^{2}$ $n$

Kirjallisuus

Rashevsky PK Riemannin geometria ja tensorianalyysi. - Mikä tahansa painos.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Differentiaaligeometrian perusteet. — Novokuznetskin fysiikan ja matematiikan instituutti. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 .