Rinnakkaissiirto
Rinnakkainen käännös on tasojen isomorfismi tasaisen nipun pohjan palakohtaisesti tasaisen käyrän päiden yli , määritellyt jonkin tietyn yhteyden muodossa . Erityisesti tangenttiavaruuksien ja lineaarinen isomorfismi, joka on määritelty käyrää pitkin jollain affiinilla yhteydellä , joka on annettu .
![{\displaystyle \eta :E\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1dca66170ea03bc61d6975d6dbbcbf5b93850d1)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![{\displaystyle T_{\gamma (0)}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ee96fd3e525dce25b14f5b59408a16aa43825d)
![{\displaystyle T_{\gamma (1)}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d828e71ef848b686439e48808f65839cf43d69)
![{\displaystyle \gamma \in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e4c574bcce05b99e8f917a3c0d50c9ca733922)
Rinnakkaiskäännös affiiniyhteyttä pitkin
Tehdään affiiniliitäntä sileälle jakoputkelle . Vektorin sanotaan saatavan rinnakkaisella translaatiolla vektorista tasaista käyrää pitkin ilman itseleikkauksia , jos tämän käyrän läheisyydessä on tasainen vektorikenttä, jolla on seuraavat ominaisuudet:
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![{\displaystyle X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41ec99bef71c69bc17030861c56a408c09f6cae)
![{\displaystyle X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568b9efd7b09be483b2b56e0ffc8a01d38eb1754)
![{\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0066953642fb00abb394327531cea098815cd1c8)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- tasa-arvo ja täyttyvät ;
![{\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bc52eb2c16690543388ac460a88340efbc1af1)
![{\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fcbc7dc8b81af85efa8c80faa126d165c0b072)
- mille tahansa arvolle yhtälö pätee , jossa symboli tarkoittaa kovarianttiderivaatta ja on nopeusvektori .
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
![{\displaystyle \nabla _{{\piste {\gamma }}(t)}X=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff760c6bab016b45e39cc7237a5d9b2d94a5977)
![\nabla](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d0e93b78c50237f9ea83d027e4ebbdaef354b2)
![{\näyttötyyli {\piste {\gamma }}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc803b9b734185548ca3c18bb50e78bc44c1b35)
![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Kommentti. Koska paikallisissa koordinaateissa yhtäläisyys on totta:
![{\displaystyle (\nabla _{\piste {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\piste {\gamma }}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5ba2ff7aebae6c5d053fec2c847c234a4009c3)
,
ja tässä lausekkeessa ei ole vektorin komponenttien osittaisia derivaattoja , rinnakkaiskäännöksen määritelmässä ei tarvitse vaatia vektorikentän olevan määritelty koko polun naapurustossa , riittää että se on olemassa ja on sujuvasti tätä polkua pitkin yksin.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\gamma (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fa4a5d64e164410e4a18106677bebefe1a1f1b)
Yhdensuuntainen käännös palakohtaisesti sileää käyrää pitkin (mukaan lukien käyrät, joissa on itseleikkaukset) määritellään rinnakkaisten translaatioiden superpositioksi pitkin sen ei-itseleikkautuvia sileitä kappaleita.
Vektorin rinnakkaiskäännöksen käsitteen perusteella määritellään mielivaltaisen valenssin
tensorin rinnakkaiskäännöksen käsitteet.
Vektorien rinnakkaiskäännöksen ominaisuudet
- Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian mukaan mielivaltaisen lineaarisen ODE:n Cauchyn ongelman ratkaisu jatkuu loputtomiin mitä tahansa tasaista käyrää pitkin, joten määrittämällä alkupisteessä vektori ja osoittamalla rinnakkaismuunnospolun tämä vektori siirretään yksiselitteisesti mihin tahansa tämän polun pisteeseen.
- Käännettäessä vektoreita samaa polkua pitkin, kaikki niiden väliset lineaariset suhteet säilyvät.
- Vektorien siirto on reversiibeli: riittää, että siirrät loppuvektorit paluureittiä pitkin, jotta saadaan alkuperäiset vektorit.
- Kahden edellisen ominaisuuden seurauksena käy ilmi, että käyrän rinnakkaissiirron operaattori on avaruuksien ja lineaarinen isomorfismi .
![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
![{\displaystyle T_{\gamma (0)}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ee96fd3e525dce25b14f5b59408a16aa43825d)
![{\displaystyle T_{\gamma (1)}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d828e71ef848b686439e48808f65839cf43d69)
- Jos affiiniyhteys on yhdenmukainen metrisen tensorin kanssa Riemannin moninaisessa ( Levi-Civita-yhteys ), niin translaatiooperaattori on ortogonaalinen, eli se säilyttää vektorien pistetulot, niiden pituudet ja niiden väliset kulmat.
- Rinnakkaiskäännöksen tärkeä ominaisuus on myös käännöstuloksen riippumattomuus polun parametroinnista (vastaavat polut antavat saman tuloksen). Samanaikaisesti rinnakkainen käännös eri käyriä pitkin johtaa yleensä erilaisiin tuloksiin.
Aiheeseen liittyvät määritelmät
- Geodeettinen on tasainen polku, jonka tangenttivektori kussakin pisteessä saadaan tangenttivektorin rinnakkaissiirrolla mistä tahansa muusta pisteestä.
- Holonomiaryhmä on tangenttiavaruuden automorfismien ryhmä , jonka määrittelevät rinnakkaiset käännökset suljettuja palasittain sileitä käyriä pitkin. Lisäksi yhdistetylle jakosarjalle ja ovat aina konjugoituja.
![{\displaystyle \Phi _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40af481870152429602be6feac604dee3161eaad)
![T_{x}M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9a02a3b6f9a6808be3b99d0b27d1b97b4bb025)
![{\displaystyle \Phi _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40af481870152429602be6feac604dee3161eaad)
![{\displaystyle \Phi _{y))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebbf3ab35204b75a75045abe9daa2a23b00acdd)
Historia
Rinnakkaiskäännöksen käsitteen kehitys alkoi tavanomaisella rinnakkaisuudella euklidisessa tasossa, jolle
Minding osoitti vuonna 1837 mahdollisuuden yleistää se pinnan tapaukseksi esittelemänsä käsitteen avulla käyrän avaamisesta kone . Tämä Mindingin osoitus toimi lähtökohtana Levi-Civitalle , joka formalisoi tangenttivektorin analyyttisesti yhdensuuntaisen kuljetuksen pinnalla, havaitsi sen riippuvuuden vain pinnan metriikasta ja yleisti sen tämän perusteella välittömästi -ulotteisen Riemannin avaruuden tapaus (katso Levi-Civita-yhteys ) . Tämän käsitteen lisäyleistykset liittyvät yleisen yhteysteorian kehittämiseen.
![{\displaystyle \gamma \in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2e8910333957a110f6ab4c826676a934d2fd41)
![\mathbb {R} ^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Kirjallisuus
- Rashevsky PK Riemannin geometria ja tensorianalyysi. - Mikä tahansa painos.
- Kobayashi Sh., Nomizu K. Differentiaaligeometrian perusteet. — Novokuznetskin fysiikan ja matematiikan instituutti. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 .