Gaussin kaava

Gaussin kaava ( Gaussin relaatio , Gaussin yhtälö ) on kolmiulotteisen Riemannin avaruuden pinnan Gaussin kaarevuuden lauseke ympäröivän tilan pääkaarevuuden ja poikkileikkauksen kaarevuuden perusteella. Erityisesti, jos ympäröivä avaruus on euklidinen, niin pinnan Gaussin kaarevuus on yhtä suuri kuin tuossa pisteessä olevien pääkaarevien tulo.

Sanamuoto

Antaa olla kaksiulotteinen pinta kolmiulotteisessa Riemannin avaruudessa . Sitten $S$ $M$

K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),

missä

$K_{S}$ on pinnan Gaussin kaarevuus pisteessä , $S$ $x\in S$
$K_{M}(\sigma _{S}(x))$ on avaruuden poikkileikkauskaarevuus pisteen pintaa tangentin suunnassa , $M$ $\sigma _{S}(x)$ $S$ $x$
$\kappa _{1}(x)$ , ovat pinnan pääkaarevuus pisteessä $\kappa _{2}(x)$ $S$ $x.$

Yleistys korkeampiin ulottuvuuksiin

Kaava sallii yleistykset sisäkkäisen alilajikkeen mielivaltaiseen ulottuvuuteen ja koodiulottuvuuteen . Tässä tapauksessa alisarjan kaarevuustensori ilmaistaan avaruuden kaarevuustensorin rajoituksena aliavaruuteen, joka on tangenttiavaruuden tangentti, ja alisarjan toinen neliömuoto tangenttiavaruudessa k:n normaaliavaruuden arvoilla. : $S\alajoukko M$ $R_{S}$ $S$ $R_{M}$ $M$ $S$ $q_{S}$ $S$ $TS$ $S$

\langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +\langle q_{S}(Y,W),q_{S} (X,Z)\rangle -\langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z)\rangle .

[yksi]

On syytä pitää mielessä, että eri kirjoittajat määrittelevät kaarevuustensorin eri etumerkillä ja argumenttien järjestyksellä.

Katso myös

Gauss-Bonnet kaava

Muistiinpanot

↑ Postnikov M. M. Rimanova geometria M.: Factorial, 1998, s. 337.

Kirjallisuus

1. Postnikov M. M. Riemannin geometria Moskova: Factorial, 1998, s. 337.
2. Kobayashi Sh ., Nomizu K. Fundamentals of differential geometry, M.: Nauka, 1981, osa 2, s. 30.