Jatkuva näyttö

Jatkuva kartoitus ( jatkuva funktio ) on kartoitus avaruudesta toiseen, jossa määritelmäalueen läheiset pisteet menevät arvoalueen lähipisteisiin.

Yleisin määritelmä on muotoiltu topologisten avaruuksien kartoituksiin: kartoitus katsotaan jatkuvaksi, jos minkä tahansa avoimen joukon käänteiskuva on avoin. Muiden tyyppisten avaruuksien - metriavaruuksien , normiavaruuksien ja vastaavien avaruuksien - kartoitusten jatkuvuus on suora seuraus yleisestä (topologisesta) määritelmästä, mutta se on muotoiltu käyttämällä vastaavissa avaruuksissa määriteltyjä rakenteita - metriikka , normit ja niin edelleen. .

Matemaattisessa analyysissä ja kompleksisessa analyysissä , jossa tarkastellaan numeerisia funktioita ja niiden yleistyksiä moniulotteisten avaruuksien tapaukseen, funktion jatkuvuus esitellään rajojen kielellä : tällaiset jatkuvuuden määritelmät olivat historiallisesti ensimmäiset ja toimivat perustana yleisen käsitteen muodostuminen.

Jatkuvien tilojen välisten kartoitusten olemassaolo mahdollistaa tilan ominaisuuksien "siirtämisen" toiseen: esimerkiksi jatkuva kuva kompaktista tilasta on myös kompakti.

Jatkuvaa kartoitusta, jossa on käänteinen ja myös jatkuva kuvaus, kutsutaan homeomorfismiksi . Homeomorfismi synnyttää ekvivalenssirelaation topologisten avaruuksien luokassa ; toisilleen homeomorfisilla avaruuksilla on samat topologiset ominaisuudet, ja itse homeomorfismissa säilyneitä ominaisuuksia kutsutaan topologisilla invarianteilla .

Määritelmät

Yleisin määritelmä annetaan topologiassa .

Jatkuvuus topologisissa avaruudessa

Topologisesta avaruudesta topologiseen avaruuteen kartoituksen sanotaan olevan jatkuva , jos minkä tahansa avoimen joukon käänteiskuva on avoin, eli: $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$

\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}

. Jatkuvuus aliavaruudessa

Jos tarkastellaan jotakin joukon osajoukkoa , niin tässä joukossa indusoidaan luonnollisella tavalla topologia , joka koostuu kaikista mahdollisista joukon leikkauspisteistä topologiaan kuuluvien joukkojen kanssa . $A$ $X$ ${\mathcal {T}}_{A}$ $A$ ${\mathcal {T}}_{X}$

Kartta , joka on jatkuva joukossa , on jatkuva missä tahansa sen osajoukossa sille indusoidun topologian merkityksessä. $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $X$

Jatkuvuus pisteessä

Jatkuvuus pisteessä on muotoiltu naapurustojen kielellä ja se yhdistää määritelmäalueen pisteen lähiympäristöjärjestelmän arvoalueen vastaavan pisteen lähiöjärjestelmään.

Kartoitusta kutsutaan jatkuvaksi pisteessä , jos jollakin pisteen naapurustolla on pisteen naapuruus sellainen, että . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $x$ $V$ $f(x)$ $U$ $x$ $f(U)\alajoukko V$

Kuvaus on jatkuva jossakin joukossa silloin ja vain, jos se on jatkuva tietyn joukon jokaisessa pisteessä. [yksi]

Jos funktion toimialue täyttää ensimmäisen laskettavuusaksiooman , erityisesti metristen avaruuksien osalta, jatkuvuus pisteessä vastaa ns. peräkkäistä jatkuvuutta: jos , niin . Yleisessä tapauksessa peräkkäin jatkuvat käänteiskuvat peräkkäin suljetuista joukoista suljetaan peräkkäin, mikä on analoginen jatkuvan kuvauksen vastaavan määritelmän kanssa kuin ne, joissa suljettujen joukkojen käänteiset kuvat ovat suljettuja. $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$ $\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x)$

Vastaavat määritelmät

Seuraavat lausunnot ovat vastaavia:

jokaisen avoimen sarjan prototyyppi on avoin;
minkä tahansa suljetun joukon käänteiskuva on suljettu;
kartoitusalueen pisteen kunkin naapuruston käänteiskuva on määritelmäalueen vastaavan pisteen naapuruus;
minkä tahansa sarjan sulkemiskuva sisältyy tämän sarjan kuvan sulkemiseen ;
minkä tahansa joukon esikuvan sulkeminen sisältyy sulkemisen esikuvaan.

Siten kutakin näistä formulaatioista voidaan käyttää kartoituksen jatkuvuuden määritelmänä.

Jatkuvuus metrisissä ja normiavaruuksissa

Metrisissä avaruudessa topologian antaa metriikan määrittelemä eri "säteiden" avoimien pallojen perhe, joten yleinen määritelmä on muotoiltu tämän metriikan perusteella (" epsilon-delta " määritelmä):

Mapping metristä avaruutta metriseen avaruuteen sanotaan olevan jatkuva pisteessä, jos jokaiselle on olemassa sellainen, että jokaiselle sellainen , että Seuraava epäyhtälö pätee: . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y})$ $a$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $x\in X$ $\rho _{X}(x,a)<\delta$ $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon$

Normoiduille lineaariavaruuksille (mukaan lukien Hilbertin ja äärellisulotteiset euklidiset avaruudet) metriikka annetaan normilla, joten sama määritelmä annetaan normina.

Olkoon, on kartoitus normiavaruuksien välillä normien ja vastaavasti. Funktio on jatkuva pisteessä , jos mille tahansa luvulle on olemassa sellainen luku , että kaikissa sellaisissa pisteissä , että epäyhtälö pätee , $f\colon {N_{1}}\to {N_{2}}$ $\|{*}\|_{1}$ $\|{*}\|_{2}$ $f$ $a$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $x\in N_{1}$ $\|xa\|_{1}<\delta$ $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon$

Metriavaruudet (ja siten normiavaruudet) täyttävät laskettavuuden ensimmäisen aksiooman, joten tämä määritelmä vastaa peräkkäisen jatkuvuuden määritelmää.

Jatkuvat funktiot (funktionaaliset)

Lukuakselin tapauksessa normi on yleensä luvun moduuli, joten funktionaalin (tai ), jossa on mielivaltainen topologinen avaruus , jatkuvuuden määritelmä on seuraava: $f:X\rightarrow {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $X$

Funktionaalia kutsutaan jatkuvaksi pisteessä , jos jollakin on tämän pisteen naapurusto siten, että ehto täyttyy . $f$ $a\in X$ $\varepsilon > 0$ $\Sigma _{a}$ $\forall x\in \Sigma _{a}$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Jatkuvasti päällä olevien funktioiden (funktioiden) joukko on yleensä merkitty . Jatkuvien funktionaalisten funktioiden erikoistapaus ovat numeerisen argumentin jatkuvat funktiot. $X$ $C(X)$

Jatkuva numeerinen funktio

Anna (tai ). Funktio on jatkuva pisteessä, jos mille tahansa luvulle on sellainen luku , että ehto edellyttää . $f\colon {\mathbb {R}}\supset E\to {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $f$ $a$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $x\in E$ $|xa|<\delta$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Toisin sanoen funktio on jatkuva joukon rajapisteessä , jos sillä on raja tietyssä pisteessä ja tämä raja on sama kuin funktion arvo tietyssä pisteessä: $f$ $a$ $E$

f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{{x\to a}}f(x)=f(a)

Funktio on jatkuva joukossa, jos se on jatkuva tietyn joukon jokaisessa pisteessä. Tässä tapauksessa he sanovat, että luokka toimii ja kirjoittaa: tai tarkemmin, . $f$ $E$ $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R})$

Jatkuvan kartoituksen ominaisuudet

Minkä tahansa avoimen (suljetun) joukon täydellinen esikuva jatkuvassa kartoituksessa on avoin (suljettu) joukko

Kompaktin joukon kuva jatkuvassa kartoituksessa on kompakti joukko .

Kompaktijoukon jatkuva numeerinen funktio on rajoitettu ja saavuttaa ylä- ja alarajansa . Tämä ominaisuus on seurausta edellisestä.

Jatkuvan kartoituksen alla olevan yhdistetyn joukon kuva on yhdistetty joukko .

Tietzen lause . Mikä tahansa normaaliavaruuden suljetulle osajoukolle määritelty reaaliarvoinen jatkuva funktiovoidaan laajentaa jatkuvaksi funktioksi koko avaruudessa.

Jatkuvien kartoitusten koostumus on myös jatkuva kartoitus.
Jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden summa, erotus ja tulo ovat jatkuvia.
Lineaarisen kuvauksen jatkuvuus lineaarisesta topologisesta avaruudesta toiseen merkitsee sen rajallisuutta. Normi-avaruuksien tapauksessa lineaarisen kuvauksen jatkuvuus vastaa sen rajaavuutta.
Kivi-Weierstrass-lause (yleistys klassisesta Weierstrass-lauseesta ). Olkoon jatkuvien funktioiden avaruus kompaktissa Hausdorffin topologisessa avaruudessa . Olkoon vakioita sisältävä osajoukko , joka on suljettu funktioiden koostumuksen ja lineaarisen yhdistelmän suhteen ja joka sisältää myös sen tasaisesti suppenevien funktiojonojen rajat. Tässä tapauksessa, jos ja vain jos , On olemassa sellainen, että . $C(X)$ $X$ $B(X)$ $C(X)$ $B(X)=C(X)$ $\forall x_{1},x_{2}\in X$ $f\in B$ $f(x_{1})\not =f(x_{2})$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Homeomorfismi on jatkuva yksi-yhteen-kartoitus topologisesta avaruudesta toiseen, jossa on myös jatkuva käänteiskartoitus.
Tasainen jatkuvuus

Katso myös

Linkit

Matemaattiset etüüdit arkistoitu 18. lokakuuta 2011 Wayback Machinen sarjakuvassa jatkuvuudesta

Muistiinpanot

↑ Matemaattisessa analyysissä jatkuvuuden käsite muotoillaan ensin paikallisesti jossain vaiheessa ja joukon jatkuvuus määritellään jatkuvuudeksi annetun joukon jokaisessa pisteessä.

Kirjallisuus

Kelly JL Luku 3. Tuotteet ja tekijäavaruudet // Yleinen topologia = Yleinen topologia. - 2. painos - M .: Nauka, 1981. - S. 119-151. — 438 s.